Centrala Gränsvärdessatsen:

Transkript

1 Föreläsnng V såg föreläsnng ett, att om v känner den förväntade asymptotska fördelnngen en gven stuaton så kan v med utgångspunkt från våra mätdata med hjälp av mnsta kvadrat-metoden fnna vlka parametrar för de asymptotska fördelnngen som bäst motsvarar våra mätdata, gången var: : Bestäm den förväntade asymptotska fördelnngen. Parametrarna för denna har ett samband med den underlggande verklgheten - det v vll mäta. : Gör en mätnng av den storhet som representeras av den asymptotska fördelnngen. 3: Använd mnsta kvadratmetoden för att bestämma vlka parametrar för den asymptotska fördelnngen som ger bäst överensstämmelse mellan teor och experment. Teorn ger oss en asymptotsk fördelnng Mätnngar ger oss en verklg fördelnng Mnsta kvadratmetoden låter oss bestämma vlka värden på de teoretska parametrarna som ger bästa överensstämmelsen ästa fråga blr då: - hur skulle v kunna defnera en asymptotsk fördelnng för tll exempel mätnngen av längden av en parkerngsfcka? Svaret ges av en vd första påseende märklg sats: Centrala Gränsvärdessatsen: Om v summerar ett stort antal slumpmässgt fördelade tal, så kommer den asymptotska fördelnngen för summan att gå mot en normalfördelnng Detta gäller oberoende av hur fördelnngen ser ut för de termer som ngår summan!! Föreläsnng

2 Exempel: Summera tal slumpvs fördelade mellan och : Den ursprunglga fördelnngen: Summan av tal: 5 termer termer För att förstå hur denna sats kan hjälpa oss så kan v betrakta resultatet av en mätnng som beroende av det sanna värdet tll vlket har adderats slumpvsa bdrag från ett stort antal okända (och en del kända) felkällor. Om v utgår från att det nte fnns några systematska effekter kommer postva fel vara lka vanlga som negatva. Resultatet av ett stort antal mätnngar kommer då att sprdas runt det sanna värdet, och fördelnngen av mätnngarna runt detta kommer att ha en form som ges av normalfördelnngen. ormalfördelnngen: f(x; m,s ) = -(x - m) exp ps Ó s Observera att denna fördelnng är normalserad tll ett. Egenskaper Maxmum vd x = m Symmetrsk runt x = m är s är ltet så blr exponenten stor -> lutnngen blr större är s är ltet så blr normalserngskonstanten större -> höjden vd toppen blr relatvt sett högre. Föreläsnng

3 .5 sgma =..5.5 sgma =.5 sgma = ormalfördelnngen har normalserngen. Uttrycker man ntegratonsgränser parametern s så har alla normalfördelnngar samma area nom dessa gränser - oberoende av vlka exakta värden m och s antar. Integrerar man en normalfördelnng mellan tll exempel -s och +s så är arean 68% av hela arean. Detta har betydelse när v tolkar f(x) som en sannolkhetsfördelnng - sannolkheten att hamna ntervallet [m- s, m+s] är 95% och så vdare. Föreläsnng 3

4 Tllbaks tll vår mätstuaton: Om det nte fnns stora systematska effekter så kan v alltså förvänta oss att våra mätresultat - efter ett stort antal mätnngar och under förutsättnng att det nte fnns systematska effekter - beskrvs av en normalfördelnng. V förväntar oss att m svarar mot det sanna värdet för den parameter v vll mäta, v kommer snart att se att s säger oss någontng om mätmetodens precson. Gvet mätdata, hur uppskattar v parametrarna m och s? Lösnngen lgger att v betraktar normalfördelnngen som en sannolkhetsdstrbuton för att göra observatonen x, gvet m och s. Om den underlggande dstrbutonen är en normalfördelnng med parametrarna m och s, så är sannolkheten för att göra observatonen x proportonell mot: B Oberoende sannolkheter: för oberoende händelser (sannolkheten av en händelse påverkas nte av utfallet de andra händelserna) är sannolkheten för seren lka med produkten av sannolkheterna för de ensklda händelserna. 5% 5% 5% Om våra mätnngar av x är oberoende, vlket v kommer att anta, så ges tydlgen sannolkheten för att observera just vår mätsere, x, x, x 3,, x av produkten av sannolkheterna för de ensklda mätnngarna: P(x, x, x 3,, x ) = P(x ) P(x ) P(x 3 ) P(x ) Föreläsnng 4

5 Ê P(seren) = Á ps exp -(x - m) ˆ Ê Ó s Á Ë ps exp -(x - m) ˆ Ê Ó s Á Ë Ë Ê LÁ ps exp -(x - m) ˆ Ó s Ë ps exp -(x - m) 3 ˆ Ó s L Uttrycket ger oss sannolkheten att observera vår mätsere x, x, x 3,, x gvet parametrarna m och s för den underlggande fördelnngen. V bestämmer nu vlka värden på m och s som ger oss den största sannolkheten att observera just vår mätsere genom normal maxmerng: m = -(x - m) P - (x - m) P +L = -  ( ) = x - m P Vllkoret att denna dervata är noll ger oss då ett estmat för m: m = f  ( x - m ) = f m^ = =  = x Den bästa uppskattnngen av parametern m ges alltså av medelvärdet för alla ngående storheter. V gör nu samma optmerng för parametern s: s = - 4ps -Â( x - m) Â( x - m) -Â( x - m) ( ps / + exp + exp = ) s ( ps ) / s 3 s Ó Ó = - s + x - m Ó s 3 Â( ) -Â( x - m) exp s ps Ó ( ) / s = f s^ = Â(x - m) I detta uttryck betecknar m det sanna värdet på denna parameter. Eftersom detta värde oftast är okänt så får v approxmera det med vårt bästa estmat - medelvärdet. Man kan vsa (det görs nte kursen) att detta medför att v får ett något modferat uttryck för estmatet: s^ =  (x - - x) = s Föreläsnng 5

6 Även om v nte strkt vsar att uttrycket modferas på det här sättet så kan v ntutvt förstå att det är rktgt: - För en enda mätt punkt kan v nte ha någon uppfattnng om sprdnngen (om v nte vet runt vlket värde denna enda punkt är sprdd). Rent matematskt motsvarar uttrycket denna förväntnng eftersom s detta fall blr av typen /, alltså ej defnerat. är v har mätt punkter fnns det frhetsgrader (v återkommer senare tll detta begrepp), det vll säga det fnns oberoende fakta att tllgå. Men när v ersätter m med medelvärdet så använder v data tll att beräkna medelvärdet, vlket gör att v bara har - frhetsgrader kvar. I prncp kan v varje gång x dyker upp ersätta det med x = x - x = Vlket demonstrerar att det bara fnns -  oberoende varabler kvar. Så vad betyder s? Om v tolkar normalfördelnngen som den asymptotska fördelnngen för en mätnng så betyder det att sannolkheten för att vår mätnng skall ge ett resultat ntervallet [x, x+dx] lka med arean under kurvan mellan dessa värden eller: ( ) = f (y)dy P x' Œ[ x, x + dx] : m Där f(y) betecknar normalfördelnngen centrerad krng m x + dx Ú x Gör v en mätnng är sannolkheten att den hamnar nom ± sgma från det sanna värdet 68%. Så s, eller estmatet för s, säger hur stor sprdnngen krng det sanna värdet, det är en egenskap hos mätmetoden. Föreläsnng 6

7 ågra ord på vägen nu när n skall börja mäta: Tag det lugnt! Fem mnuter tjänade på övnngslab kostar ofta en halvtmme datasalen när man försöker reda ut vad man egentlgen gjorde däruppe. Förbered er Väl uppe på övnngslabb, med labbkompsen flåsande nacken är det för sent att läsa n vad man skall göra. Släng ngentng! Inga lösa lappar! Det fnns hur många exempel som helst på att det efterhand dyker upp frågor som man nte tänkt på. Inte ens när laboratonen är redovsad och godkänd kan man vara säker på att man nte något annat sammanhang vll gå tllbaks tll det man gjort för att förstå någon aspekt av det. Av samma skäl skall allt föras n logboken, nte skrvas upp på lösa lappar som sedan ofrånkomlgt försvnner. Dokumentera upptställnngen och yttre varabler! Era antecknngar skall vara så fullständga att n kan komma tllbaks och göra om dentskt samma försök - samma mätnstrument, samma fjädrar, resstorer mm mm. Detta kan vara enda sättet att undersöka resultat som efterhand ser konstga ut, om någon frågasätter era resultat måste n kunna säga antngen att n kan eller att n nte kan reproducera dem. får nte hamna en stuaton där n nte vet om n tror på ert resultat eller nte. Dokumentera under arbetets gång! På samma sätt som det är vktgt att dokumentera de yttre förutsättnngarna så är det vktgt att dokumentera arbetets gång. I vlken ordnng gjordes mätnngarna. Ofta kan man t ex msstänka att mätnstrument drvt under arbetets gång. Har man koll på vlken ordnng man gjort vad är det enkelt att kontrollera. Beräkna delresultat! Lstan på laboratonsrapporter som mynnar ut de här resultaten verkar helt ormlga men nu efterhand kan jag nte förstå vad som gck fel... är lång. Se tll att dn rapport nte hamnar där! Grova överslagsberäknngar och enkla dagram gjorda under laboratonens gång kan ofta avslöja om det smugt sg n någon katt bland hermelnerna. Vänd om! V kommer att bereda er möjlgheten att ttta upp på labbet dagen efter om n behöver kolla något. Under självständngt arbete på schemat är labb- och datorsalar bokade för kursen och assstenterna fnns huset. Msstänker man att något gått galet bör man gå tllbaks och göra en kontrollmätnng Föreläsnng 7