Stokastisk reservsättning med Tweedie-modeller och bootstrap-simulering
|
|
- Mattias Forsberg
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Matematsk statstk Stockholms unverstet Stokastsk reservsättnng med Tweede-modeller och bootstrap-smulerng Totte Pkanen Examensarbete 2005:4
2 Postadress: Matematsk statstk Matematska nsttutonen Stockholms unverstet Stockholm Sverge Internet:
3 Stokastsk reservsättnng med Tweedemodeller och bootstrap-smulerng Totte Pkanen 1 Februar 2005 SAMMANFATTNING För att kunna täcka framtda kostnader för skador som dag ännu nte anmälts samt för skador som rapporterats men nte slutreglerats, avsätter vare försäkrngsbolag medel tll en ersättnngsreserv. Det fnns många tllvägagångssätt för att estmera storleken på reserven. Hstorskt sett har de flesta metoderna endast gett en punktskattnng av det totala reservbehovet. På senare år har det kommt fram en rad olka metoder som förutom punktskattnng även ger ett osäkerhetsmått för reserven. I denna stude undersöks tre olka generalserade lnära modeller, närmare bestämt Tweede-modellerna översprdd Posson, sammansatt Posson och Gamma, som genom bootstrap-smulerng ger en smulerad fördelnng för reserven. Metoderna ämförs med varandra och problem med algortmerna belyses. 1 E-post: Totte.pkanen@trygghansa.se Handledare: Esbörn Ohlsson, Anders Lndström 1
4 Stochastc clams reservng usng Tweede models and bootstrap smulaton ABSTRACT To be able to cover future expenses caused by clams ncurred but not reported and clams reported but not settled, a general nsurance company must allocate captal to a reserve. There are many approaches to estmate the sze of ths reserve. Hstorcally most of the methods have gven ust a pont estmate of the requred reserve. In recent years a number of methods has been ntroduced whch n addton to a pont estmate gves a measure of the uncertanty n the reserve. In ths study we examne the use of three dfferent generalzed lnear models, namely the Tweede models overdspersed Posson, compound Posson and Gamma, that together wth bootstrap smulaton gves a smulated dstrbuton for the reserve. The methods are compared to each other and problems wth the algorthms are dscussed. 2
5 FÖRORD Huvuddelen av denna undersöknng genomfördes under våren 2003 på försäkrngsbolaget Trygg-Hansa, aktuareenheten dvson Prvat, Affärsområde Sak, Stockholm. I anuar 2005 återupptogs arbetet med kompletterngar och vssa förändrngar som föld. Undersöknngen utgör ett examensarbete, omfattande 20 poäng för magsterexamen matematsk statstk på Matematsk-datalogska lnen, Stockholms unverstet. Jag vll med detta förord passa på att rkta ett tack tll Trygg-Hansa som och med erbudandet av arbetsplats och egen dator gav mg mölgheten att få en nblck arbetslvet. Stort tack även tll mn handledare på Trygg-Hansa, Anders Lndström, för rådgvnng och väglednng. Mn handledare på Stockholms Unverstet, Esbörn Ohlsson, skall också ha ett stort tack. Tll sst en eloge tll hela den dåvarande aktuaregruppen för trevlgt sällskap samt stöd, råd och tps längs vägen. 3
6 1 BAKGRUND UPPGIFT METODER ANTAGANDEN BOOTSTRAP-SIMULERING Bootstrap-algortmen steg för steg DATA UTVECKLINGSTRIANGLAR RESULTAT AV TILLÄMPNING PÅ DATA FRÅN TRYGG-HANSA MODELLERNAS ANPASSNING TILL DATA Försäkrngsklass cvl Försäkrngsklass trafk Försäkrngsklass olycksfall SKATTAD RESERV UTAN BOOTSTRAP PARAMETERN φ RESIDUALER NEGATIVA VÄRDEN I PSEUDOTRIANGLARNA SIMULERINGSSTEGET Fördelnngarnas utseende RESULTAT EFTER 1000 ITERATIONER Försäkrngsklass cvl Försäkrngsklass trafk Försäkrngsklass olycksfall SLUTSATSER APPENDIX PARAMETERBYTE I LOG-LINJÄRA MODELLEN PARAMETERSKATTNING OCH HAT -MATRISEN FÖRDELNINGAR Översprdd Posson, OdP Sammansatt Posson Gamma LITTERATUR
7 1 Bakgrund Inom sakförsäkrng händer det att det går lång td från att en skada nträffar tlls slutgltg ersättnng utgår från försäkrngsbolaget. Det kan hända att det går en lång td från skadetllfället tlls skadan anmäls tll bolaget eller att det tar lång td från att skadan anmälts tll bolaget tlls det avgörs vlka belopp som skall utbetalas. I slutet av en försäkrngsperod (vanlgen ett år eller ett kvartal) skall det bolagets bokslut framgå hur mycket medel som avsätts för dessa nträffade men cke slutgltgt reglerade skador. Denna avsättnng av kaptal kallas ofta för ersättnngsreserven. Ersättnngsreserven sn tur brukar delas upp reserv för nträffade men e rapporterade skador, IBNR (Incurred But Not Reported), och reserv för rapporterade men e slutreglerade skador, IBNER (Incurred But Not Enough Reported). Att bestämma denna ersättnngsreserv är ett statstskt problem. Data brukar vara uppställda en trangel kallad utvecklngstrangel där raderna representerar skadeår och kolumnerna utvecklngsår. Elementen utvecklngstrangeln representerar utbetalnngar gorda under utvecklngsår för skador nträffade under skadeår och betecknas y med motsvarande stokastska varabel Y,, = 1,2,... m. Utbetalnngar gorda under utvecklngsår är gorda 1 år efter det att skadan nträffade. Vanlgen antar man att alla skador är slutreglerade efter m år. För (,) med + m + 1 är y kända och den statstska uppgften är att utvdga trangeln tll en kvadrat nnehållande predktoner om framtda utbetalnngar. Trangeln som utgör framtda utbetalnngar kallas här för framtdstrangeln. utvecklngsår skadeår m-1 m 1 y 11 y 12 y 13 y 1,m-1 y 1,m 2 y 21 y 22 y 23 y 2,m-1.. m-1 y m-1,1 y m-1,2 m y m1 utvecklngsår skadeår m-1 m 1 y 11 y 12 y 13 y 1,m-1 y 1,m 2 y 21 y 22 y 23 y 2,m-1 Y 2,m.. m-1 y m-1,1 y m-1,2 Y m-1,3 Y m-1,m-1 Y m-1,m m y m1 Y m2 Y m3 Y m,m-1 Y m,m Fgur A: Utvecklngstrangel Fgur B: Utvecklngstrangel och Framtdstrangel Den totala ersättnngsreserven, R, består av summan av Y framtdstrangeln och skattas med R ˆ = ˆ + > m + y 1. Data är här alltså på nkrementell form så att utbetalt under år verklgen betyder utbetalt under år och nte fram tll och med år. Den kanske vanlgaste metoden för att bestämma ersättnngsreserven är Chan Laddermetoden. Metoden är en determnstsk metod som ger en punktskattnng för reserven. På senare år har flera metoder som förutom punktskattnng även ger predktonsfel och vssa fall fördelnng för totala reserven kommt fram. I England & Verrall (2002) görs en sammanställnng av en rad sådana så kallade stokastska reservsättnngsmetoder. England & Verrall (1999) föreslår en översprdd Posson GLM-modell som med bootstrap-smulerng ger en smulerad fördelnng med percentler för totala reserven. Pnhero, Andrade e Slva & Centeno (2002) utvdgar metoden från England & Verrall (1999) med att även undersöka en Gamma GLM-modell samt med en korrgerng av resdualerna som används vd bootstrapsmulerngen. Mack (1993) föreslår en fördelnngsfr metod för att beräkna predktonsfelet hos Chan Ladder-skattnngarna. 5
8 1.1 Uppgft I detta arbete söker v osäkerheten den totala reserven genom dess fördelnng. Arbetet är tänkt att kunna användas tll att möta kommande EU-lagstftnng för försäkrngsbolag. Lagstftnngen förväntas ställa kaptalkrav som bland annat kommer att bero på osäkerheten reserven. De undersökta modellerna är tre generalserade lnära modeller, GLM, som genom bootstrap-smulerng ger en smulerad fördelnng för totala ersättnngsreserven. Modellerna har logartmsk länkfunkton med den lnära strukturen log( µ ) = c + α + β och varansfunktonen v ( µ ) = µ där p detta arbete är 1, 1.5 eller 2. p Modeller med denna varansfunkton kallas för Tweede-modeller. Modellerna svarar mot fördelnngarna (översprdd) Posson (då p = 1), sammansatt Posson (p = 1.5) resp. Gamma (p = 1.5) varför modellerna detta arbete genomgående kommer att kallas för OdP, SaPo och Gamma även om det egentlgen bara är strukturen på varansfunktonen som är det vktga modellanpassnngen. Vlken aktuell fördelnng som varansfunktonen svarar mot har betydelse endast det ssta steget, smulerngssteget, där det smuleras från dessa fördelnngar framtdstrangeln. 2 Metoder Genom att ansätta en generalserad lnär modell kan ensklda predktoner göras för framtdstrangelns samtlga celler. Det är emellertd komplcerat eller bland omölgt att analytskt beräkna predktonsfelet hos skattnngen för totala reserven som är summan av framtdstrangelns element. Även de fall det går att beräkna predktonsfelet för summan så är dessa beräknngar bara approxmatva (Pnhero, Andrade e Slva & Centeno (2002)). Det är därför bootstrap-smulerng används detta arbete för beräknng av predktonsfelet. Förutom predktonsfelet ger smulerngen även en emprsk fördelnng ur vlken exempelvs percentler kan utläsas. 2.1 Antaganden V gör fölande antaganden. m = (A1) µ E[ Y ] = γ δ, där δ = 1 1. (A2) Y, oberoende då (, ) ( ', ' )., Y ' ' (A3) Fördelnngen för Y tllhör famlen EDM och har varansfunkton där 1,1.5, 2. p { } v ( µ ) = µ p Exponentella dspersonsmodeller, EDM, är famlen av fördelnngar vars frekvensfunkton yθ b( θ ) kan skrvas på formen f Y ( y) = exp + c( y; φ, w), se exempelvs Ohlsson & φ w Johansson (2003) för EDM:s användnng nom GLM. 6
9 Antagande (A1) nnebär att de utbetalda skadebeloppen modelleras multplkatvt där parametern γ tolkas som en nvåparameter, eller mer specfkt förväntade totala skadekostnaden, för skadeår. Parametern δ tolkas som förväntade proportonen skadekostnad som uppstår under utvecklngsår. Antagande (A2) nnebär helt enkelt att utbetalnngarna olka celler antas vara oberoende och antagande (A3) att de har en varans proportonell mot väntevärdet upphöt tll p. Logartmerng av (A1) bägge leden ger (A1 ) log( µ ) = log( γ ) + log( δ ), där log( δ ) = 0, som genom ett lämplgt m = 1 parameterbyte (se appendx för detaler) och reducerng av en parameter kan skrvas som (A1 ) log( µ ) = c + α + β, där α = β = Antagandena (A1), (A2) och (A3) defnerar en generalserad lnär modell, GLM, se McCullagh & Nelder (1989). 2.2 Bootstrap-smulerng Bootstrap-smulerng som en datorbaserad statstsk metod ntroducerades av Efron Metoden ersätter analytska beräknngar av fördelnng och predktonsfel hos parametrar och statstkor med en smulerngsalgortm. Smulerngsalgortmen går ut på att ur ett gvet stckprov återskapa många nya stckprov genom slumpmässgt urval med återläggnng. En ntrodukton tll bootstrap-metoden fnns Efron & Tbshran (1993). Det fnns olka sätt att gå tll väga bootstrap-algortmen. Här används den typ som kallas för resdual-bootstrap (Efron & Tbshran, 1993) som nnebär att man skapar nya pseudostckprov genom urval med återläggnng bland resdualerna stället för urval bland sälva observatonerna. För detta krävs en resdualdefnton som gör att resdualerna kan betraktas som oberoende och lka fördelade. Här används den standardserade Pearsonresdualen (1) r st r, pearson = φ ˆ(1 h ) där h är dagonalelementet hat -matrsen för observaton y (se appendx för defnton y µ ˆ av hat -matrsen) och r, pearson = är den ostandardserade Pearsonresdualen. v( µ ˆ ) + 2 r + m 1, pearson Sprdnngsparametern φ skattas med Pearsonskattnngen φ ˆ = där df df = n p = antal observatoner antal parametrar är antalet frhetsgrader modellen. ( ) Ur (1) kan y lösas ut vlket ger * (2) y = r φˆ v( µ ˆ )(1 h ) + µ ˆ. 7
10 Bootsrap-smulerngen börar med att v ur vårt stckprov y r (utvecklngstrangeln) först skapar n resdualer. Sedan skapas genom slumpmässgt urval med återläggnng bland * resdualerna en ny pseudotrangel y r genom relatonen * (2 ) y = r φˆ ' ' v( µ ˆ )(1 h ) + µ ˆ där r ' ' nnebär slumpmässgt vald resdual. På denna psuedotrangel applceras modellen, parametrar skattas och predktoner för vare cell framtdstrangeln görs genom b yˆ exp{ ˆ ˆ ˆ = c + α + β }, + > m + 1. Denna procedur upprepas B gånger och ndex b anger aktuellt teratonsnummer. När predktoner framtdstrangeln gorts smuleras vare cell framtdstrangeln ur den aktuella modellens fördelnng med predktonerna yˆ som väntevärden och parametern φ som skattas vare teratonssteg utgör en parameter den aktuella fördelnngen som det smuleras ur (se appendx för exakt utseende hos fördelnngarna). Sedan summeras dessa smulerade värden framtdstrangeln och v har efter B teratoner B stycken skattade reserver. V får även en emprsk fördelnngsfunkton för obs x totala reserven Fˆ ( x) = # ur vlken percentler kan utläsas. B b Smulerngen sker alltså två steg. I första steget smuleras en pseudotrangel fram genom slumpmässgt urval bland resdualerna. I det andra steget sker smulerng ur den aktuella fördelnngen framtdstrangelns alla celler. Tanken är att fånga upp dels varatonen parameterskattnngarna och dels varatonen framtden. England & Verrall (2002, kaptel 7) uttrycker detta som Predcton varance = Estmaton varance + Process varance. En bootstrap-algortm som efter det första steget skattar den total reserven genom summan av framtdstrangelns celler fångar bara felet parameterskattnngarna och mssar därmed varatonen krng de framtda väntevärdena. 8
11 2.2.1 Bootstrap-algortmen steg för steg I schemat nedan är bootstrap-algortmen llustrerad steg för steg. Steg 1 Startprocedur Ansättnng av modell med skattnng av parametrarna Parametrarna pearsonskattnngen. c, α, β, (, = 1,2 m) och φ. c, α, β skattas med quas-lkelhood (se appendx) och φ med Beräknng av anpassade värden µˆ utvecklngstrangeln ( + m + 1). Beräknng av de standardserade resdualerna enlgt (1): r st = y φˆ v( µ ˆ µ ˆ )(1 h. ) Steg 2 Smulerng, upprepas B gånger Substeg estmatonsfelet * Skapande av en pseudotrangel y r * genom relatonen y = r φˆ ' ' v( µ ˆ )(1 h ) + µ ˆ för vare plats utvecklngstrangeln där resdualerna r ' ' väls genom slumpmässgt urval med återläggnng bland resdualerna från steg 1. Ansättnng av modell och skattnng av parametrarna c, α, β, (, = 1,2 m) och φ. Predktoner för alla celler framtdstrangeln genom b b b ˆ exp ˆ ˆ ˆ b y = c + α + β, + > m +. { } 1 Substeg processfelet Skapande av smulerade värden b sm y ˆ,, (+ > m+1), där b anger teratonssteg och sm att den är smulerad, alla celler framtdstrangeln. Smulerngen sker från aktuell fördelnng med predktonerna från substeg 2.1 som väntevärden. 9
12 Beräknng av bootstrap-smulerad total reserv Steg 3 Resultat efter B teratoner b R ˆ = y. b, sm ˆ + > m+ 1 1 B Skattnng av standardavvkelsen för reserven med sr = = ( Rˆ b b R) 1 B 1 Skattnng av fördelnngen för reserven med den emprska fördelnngen 2. obs x Fˆ ( x) = #. B Beräknng av percentler hos den framsmulerade fördelnngen. Percentlerna defneras här genom λ α = [ αb] där α är en sannolkhet och funktonen [x] betyder heltalsdelen av x. Percentlen är då observaton nummer λ α det ordnade stckprovet av smulerade reserver. 3 Data Data som används detta arbete är utvecklngstranglar för tre försäkrngsklasser hos Trygg- Hansa, cvl, trafk, resp. olycksfall. För att skydda Trygg-Hansa är beloppen omräknade tll fantasenheten a-mark. Tranglarna avser utbetalt skadebelopp och beloppen är avrundade tll närmaste heltal. Med utbetalt skadebelopp menas här bokade utbetalnngar. I praktken skulle en cell kunna vara negatv eftersom det bland förekommer negatva utbetalnngar det vll säga nbetalnngar tll bolaget. Detta sker exempelvs då bolaget betalar ut för en trafkskada som senare tllfaller ett annat försäkrngsbolag varvd bolaget får tllbaks det utlagda beloppet. De negatva utbetalnngarna är små förhållande tll de postva varför negatva cellvärden uppstår mycket sällan och förekommande fall hamnar bland de allra ssta utvecklngsåren då utbetalnngarna går mot noll. Aktuella data från Trygg-Hansa nnehåller nga negatva värden. Att det praktken skulle kunna hända att cellvärden är negatva är dock ett problem som måste övervägas noga. Skall modellerna tllåta negatva värden eller skall de bygga på att alla data är postva och betrakta negatva värden, om de förekommer, som fel data. I det senare fallet måste data usteras. Även om aktuella data från Trygg-Hansa enbart nnehåller postva värden blr detta problem aktuellt vd bootrap-smulerngen då vssa pseudotranglar nnehåller negatva värden. Detta dskuteras vdare avsntt Utvecklngstranglar I datatrangel 1, 2 och 3 återfnns de tre utvecklngstranglarna på nkrementell form. I cell (,) står utbetalt skadebelopp under utvecklngsår för skadeår. 10
13 Skade- Utvecklngsår år Datatrangel 1: Utvecklngstrangel. Försäkrngsklass cvl. Enhet a-mark. Skade- Utvecklngsår år Datatrangel 2: Utvecklngstrangel. Försäkrngsklass trafk. Enhet a-mark. Skade- Utvecklngsår år Datatrangel 3: Utvecklngstrangel. Försäkrngsklass olycksfall. Enhet a-mark. De tre tranglarna har lte olka egenskaper. Trafktrangeln består av betydlgt större värden än de två andra och betraktas som e avslutad med vlket menas att utbetalnngar för de aktuella skadeåren förväntas fortsätta bortom det ssta utvecklngsåret trangeln. Tranglarna har också olka dmenson där cvl-trangeln har den mnsta dmensonen. 11
14 4 Resultat av tllämpnng på data från Trygg-Hansa Anpassnng av modellerna och smulerng sker med hälp av programvaran SAS. Först undersöks modellernas anpassnng tll data där resdualplottar för de olka modellerna redovsas och dskuteras. Sedan utförs sälva bootstrap-smulerngen för de olka metoderna och resultaten redovsas. 4.1 Modellernas anpassnng tll data För att studera modellernas anpassnng tll data plottades de standardserade pearsonresdualerna r, enlgt (1), mot sna anpassade värden µˆ. Enlgt modellen kan dessa st betraktas som oberoende och lka fördelade med väntevärde 0 och varans 1. För ett tllfredsställande resultat skall nga mönster fnnas bland dem utan det skall se ut som ett ämt brus krng 0-axeln. Avvkelser från detta kan tyda på att modellen är felaktg på något sätt, se exempelvs McCullagh & Nelder (1989) kap. 12. På fölande sdor är de standardserade pearsonresduelarna plottade mot µˆ för alla modeller alla försäkrngsklasser. 12
15 4.1.1 Försäkrngsklass cvl Fgur 1 (tll vänster): Standardserade pearsonresdualer plottade mot µˆ. Modell OdP. Försäkrngsklass cvl. Fgur 2 (tll höger): Standardserade pearsonresdualer plottade mot µˆ. Modell SaPo. Försäkrngsklass cvl. Fgur 3: Standardserade pearsonresdualer plottade mot µˆ. Modell Gamma. Försäkrngsklass cvl. 13
16 4.1.2 Försäkrngsklass trafk Fgur 4 (tll vänster): Standardserade pearsonresdualer plottade mot µˆ. Modell OdP. Försäkrngsklass trafk. Fgur 5 (tll höger): Standardserade pearsonresdualer plottade mot µˆ. Modell SaPo. Försäkrngsklass trafk. Fgur 6: Standardserade pearsonresdualer plottade mot µˆ. Modell Gamma. Försäkrngsklass trafk. 14
17 4.1.3 Försäkrngsklass olycksfall Fgur 7 (tll vänster): Standardserade pearsonresdualer plottade mot µˆ. Modell OdP. Försäkrngsklass olycksfall. Fgur 8 (tll höger): Standardserade pearsonresdualer plottade mot µˆ. Modell SaPo. Försäkrngsklass olycksfall. Fgur 9: Standardserade pearsonresdualer plottade mot µˆ. Modell Gamma. Försäkrngsklass olycksfall. Vad det gäller försäkrngsklass cvl är det svårt att se något drekt mönster bland 2 observatonerna. Mölgen kan en parabel på formen x skönas för OdP- och SaPomodellen för stora µˆ där v har få observatoner. Tendensen är störst för OdP-modellen. Spännvdden för resdualerna verkar öka med µˆ för OdP samtdgt som den ser ganska konstant ut för SaPo medan den för Gamma mölgen verkar sunka. På försäkrngsklass trafk har v en tät svärm med resdualer för låga µˆ och en lte glesare svärm längre bort på µˆ -axeln. Resdualerna är kraftgt konformade för Gamma-modellen. SaPo-modellens resdualer ser ut att föla en lne på formen kx den bortre glesare svärmen. OdP-resdualerna ser bra ut. 15
18 På försäkrngsklass olycksfall har v ett ämnt resdualspektrum för OdP-modellen varefter kon-utseendet ökar med ökande p varansfunktonen. För Gamma-modellen ser resdualerna ut att avta med ökande µˆ för alla tre försäkrngsklasser vlket kan tyda på en för hög potens varansfunktonen. Tydlgast är detta olycksfall. Det som mest ser ut som ett skolboksexempel av oberoende lkafördelade observatoner är OdP-resdualerna för olycksfall. Där får man hälp av att resdualerna är ämnt fördelade med avseende på µˆ. Modellerna OdP och SaPo ser hyfsade ut alla tre fallen och mölgen ser OdP-modellen bättre ut än SaPo. Kanske skulle p = 1.25 eller lknande ge bäst anpassnng. 4.2 Skattad reserv utan bootstrap Metoderna ger lte olka skattnngar av den totala reserven och resultaten skler sg för de olka försäkrngsklasserna. I tabell 10 ges skattnngarna av den totala reserven för alla metoder. I tabell 11 uttrycks skattnngarna som procent av OdP-skattnngen (som alltd är samma som Chan Ladder-skattnngen). V ser att försäkrngsklass cvl ger metoderna stort sett samma skattnng av reserven, SaPo-skattnngen är anngen större än OdP och Gammaskattnngen ännu lte större, dock bara crka 1.7% större än OdP. I försäkrngsklass trafk är skllnaderna större där SaPo ger en 8.6% större skattnng än OdP och Gamma 18.2% större än OdP. I försäkrngsklass cvl är skllnaderna annorlunda. Där ger SaPo och Gamma anngen lägre skattnngar än OdP, SaPo knappt 1% och Gamma drygt 2% lägre. OdP SaPo Gamma Cvl Trafk Olycksfall Tabell 10: Skattade reserver för alla metoder. OdP SaPo Gamma Cvl Trafk Olycksfall Tabell 11: Skattade reserver för alla metoder som procent av OdP. Den stora skllnaden på försäkrngsklass trafk är anmärknngsvärd. Skattnngen av totala reservbehovet är nästan 20% större med Gamma än med OdP. Annars är det svårt att se några mönster, två fall växer reservbehovet med växande p och ett fall sunker den. 4.3 Parametern φ Vd ansättnng av modellerna skattades parametrarna c, α, β genom maxmerng av quaslkelhooden (se appendx). Parametern φ skattades genom pearsonskattnngen 2 2 r, pearson 1 ( y µ ˆ ) φ ˆ = = där varansfunktonen v (µ) u är m + m+ 1 n p n p v( µ ˆ ) v ( µ ) = µ, 1.5 v ( µ ) = µ resp. 2 v ( µ ) = µ för de tre modellerna OdP, SaPo och Gamma. 16
19 Skattnngen avφ för de tre modellerna steg 1 bootstrap-algortmen fnns tabell 12 där v ser mycket varerande värden. Skllnaderna beror på att varansfunktonen är nämnare pearsonresdualen och ger därför mndre pearsonresdualer med ökande p. Fölaktlgen blr även φˆ mndre. OdP SaPo Gamma Cvl Olycksfall Trafk Tabell 12: Skattade φ :n steg Resdualer Vd skapandet av de standardserade Pearsonresdualerna steg 1 bootstrap-algortmen blr resdualerna r 1 nordöstra hörnet och r 1 sydvästra hörnet lka med noll eftersom st m µ ˆ 1m = y 1m och ˆ m1 = ym 1 st m µ per defnton. Dessa resdualer betraktas nte som observatoner från den underlggande stokastska varabeln och tas därför nte med bland resdualerna ur vlka urval med återläggnng sker. V tror helt enkelt nte på att v har två observatoner som passar perfekt varför v skulle förlora varaton om dessa noll-resdualer togs med smulerngen. Statstska data om de resulterande resdualmängderna efter det nledande bootstrap-steget återfnns Tabell 13. Medelvärdet hamnade nära 0 och standardavvkelsen nära 1 överlag, som väntat. n-2 medelv. st. avv. mn max Cvl OdP SaPo Gamma Trafk OdP SaPo Gamma Olycksfall OdP SaPo Gamma Tabell 13: Data om resdualerna från steg 1 bootstrap-algortmen 4.5 Negatva värden pseudotranglarna Även om aktuella data från Trygg-Hansa nte nnehåller negatva värden är problemet med negatva värden utvecklngstrangeln värt att dskutera. För några av modellerna uppstod relatvt ofta negatva värden pseudotranglarna (se fgur 14). Dessa kan uppstå om den slumpmässgt valda resdualen är stor och negatv, se relaton (2 ). Vd en sådan stuaton kan parametrar skattas genom quas-lkelhood med det mndre stränga kravet att kolumnsummorna skall vara postva fallet OdP och Gamma. När negatva värden 17
20 pseudotrangeln uppstår sker detta dock oftast någonstans den nordöstra delen av trangeln varför kolumnsumman med stor sannolkhet blr negatv då detta sker. I fallet SaPo tllåts negatva värden men problem uppstår då SAS skall skatta parametrar. Den teratva skattnngsprocessen som SAS använder sg av (se appendx) konvergerar nte alltd varför en korrgerng även SaPo-fallet var nödvändg. Här valdes den pragmatska lösnngen att nte tllåta några negatva värden över huvud taget. Vd ett negatvt värde pseudotrangeln ersattes den med ett annat värde. I fallet OdP och SaPo ersattes negatva värden pseudotranglarna med värdet noll. I Gammafallet ersattes negatva värden pseudotranglarna med talet 100 alla tre försäkrngsklasserna. Hur England & Verrall (2001) och andra löst problemet framgår nte ur deras uppsatser. Att ersätta negatva värden med postva nnebär att en del av den totala varatonen underskattas vlket bör beaktas vd analyserna efter smulerngen. Specellt om negatva värden uppstår ofta. I tabell 14 nedan redovsas hur ofta ett negatvt värde uppstod pseudotranglarna. I fallet OdP var detta ett relatvt stort problem där det för försäkrngsklass cvl skedde 2728 gånger på olka ställen trangeln och för försäkrngsklass olycksfall 885 gånger. För modellen SaPo var det också ett problem där det försäkrngsklass cvl var en resdual ( r = ) som gav upphov tll de negatva värdena. För Gamma-modellen uppstod nte negatva värden cvl eller trafk medan en mycket stor resdual ( r = ) spökade försäkrngsklass olycksfall. Att negatva värden nte uppstod så ofta försäkrngsklass trafk beror på att den ursprunglga trangeln har genomgående höga värden. Värdena för de sena utvecklngsåren har nte gått ner mot noll än. OdP SaPo Gamma Cvl 2728 gånger 253 gånger olka r alltd r= nga negatva värden olka ställen utv.år 7 och framåt Trafk 46 gånger r <= nga negatva värden nga negatva värden alltd nordöstra hörnet Olycksfall 885 gånger 189 gånger 357 gånger r <= r<= alltd r= utv. år 6 och framåt utv.år 10 och framåt utv. år 2 och framåt Tabell 14: Förekomst av negatva värden pseudotranglarna under 1000 teratoner. 4.6 Smulerngssteget Det är först vd smulerngen framtdstrangeln som fördelnngsantagandet gör sg gällande. Vd ansättnng av modellen räckte det med specfkaton av varansfunkton men här måste v ha en fördelnng att smulera från. Smulerngen framtdstrangeln med de predkterade värdena som väntevärden skedde på fölande sätt. I fallet OdP; för att smulera från en översprdd Possonfördelnng med väntevärde y smulerades från en possonfördelad b 18
21 b y b varabel med väntevärde multplcerat med φˆ. Indexet b anger aktuellt b φˆ teratonsnummer. För vare ny pseudotrangel skattas dspersonsparametern φ om på nytt. I fallet SaPo smulerades två steg (se appendx om hur SaPo-varabeln är uppbyggd). Först b 2 p ( y ) b sm smulerades ett m fram från en possonfördelnng med väntevärde varefter y, ˆb φ (2 p) m(2 p) erhölls genom smulerng ur en gammafördelnng med parametrarna α = och p 1 ˆb b p 1 sm β = φ ( p 1)( y ). I Gammafallet erhölls y, genom smulerng från en 1 gammafördelnng med parametrarna α = och β b φˆ att 2 E [Y ] = αβ och Var ( Y) = αβ. b = φˆ b y där gammafördelnngen är sådan b Fördelnngarnas utseende Modellen OdP är specell genom att stödet för fördelnngen beror på sprdnngsparametern φ. Gvet parametern φ hamnar stödet på talen φ n, n = 1, 2,3.... Fördelnngarna som det smuleras från framtdstrangeln ser märklga ut om φ är stort förhållande tll väntevärdet µ vlket är fallet alla tre försäkrngsklasserna. En typsk framtdstrangel försäkrngsklass cvl för OdP-modellen är den som beräknas på den ursprunglga utvecklngstrangeln, se fgur 15. utvecklngsår skadeår Fgur 15: Framtdstrangel beräknad på ursprungsdata. Försäkrngsklass cvl, modell OdP. Parametern φ skattades här tll 2156 och v ser att för utvecklngsår 9 och 10 är samtlga värden lägre än detta och att värdena utvecklngsåren 7, 8, 11 och 12 bara är anngen större än Då värdena framtdstrangeln, som fungerar som väntevärden den fördelnng som det smuleras ur, lgger närheten av φ ser fördelnngarna konstga ut. I fgur 16 och 17 fnns två OdP-fördelnngar plottade som llustrerar detta. Fördelnngarna har stora punktmassor ett fåtal punkter där sannolkhetsmassan är störst y = 0 om µ är mndre än φ. 19
22 Frekvensfunkton, OdP, ph=2156, m=2000 sannolkhet y Fgur 16: Frekvensfunkton för en OdP-fördelad s.v. Frekvensfunkton, OdP, ph=2156, m= sannolkhet y Fgur 17: Frekvensfunkton för OdP-fördelad s.v. Sannolkhetsmassan lgger på punkterna n 2156, n = 0,1,2... med en stor sannolkhet nollan fgur 16 då µ = 2000 vlket känns onaturlgt då det som smuleras är framtda utbetalnngar. Fördelnngen borde vara kontnuerlg eller åtmnstone approxmatvt kontnuerlg så att punkterna för stödet lgger tätt. I försäkrngsklass olycksfall är fenomenet densamma att φ är stort relaton tll framtdstrangelns värden men dock nte lka stort. I en typsk framtdstrangel beräknad på ursprungsdata där φ skattades tll 969 är det bara ssta kolumnen framtdstrangeln som nnehåller värden mndre än det. I fördelnngarna SaPo och Gamma beror nte fördelnngarnas stöd på parametern φ. Där ser fördelnngarna mer rmlga ut även för mndre värden framtdstrangeln. Eftersom frekvensfunktonen för en SaPo-fördelad stokastsk varabel har ett komplcerat utseende (se appendx) återfnns fgur 18 en smulerad frekvensfunkton för en SaPo-fördelad varabel med väntevärde 1500 och sprdnngsparameter skattad tll 9.58 då SaPo-modellen applcerades på den ursprunglga utvecklngstrangeln för försäkrngsklass cvl. Då Gamma- 20
23 modellen anpassades på samma utvecklngstrangel skattades φ tll och en bld av frekvensfunktonen för en gammafördelad stokastsk varabel med väntevärde 1500 och sprdnngsparameter fnns fgur 19. Fgur 18: Smulerad frekvensfunkton för en SaPo-fördelad s.v. Gamma-täthet, ph=0.066, mu= f(y) Sere y Fgur 19: Frekvensfunkton för Gamma-fördelad s.v. 4.7 Resultat efter 1000 teratoner b I denna undersöknng valdes B = 1000 teratoner varvd 1000 smulerade totala reserver Rˆ erhölls. I det fölande undersöker v predktonsfelet, medelvärdet, fördelnngarnas utseende 21
24 och percentler fördelnngarna för respektve metod för de tre försäkrngsklasserna. Predktonsfelet som gäller som en skattnng av estmatonsfelet + processfelet för totala b reserven skattades med standardavvkelsen av Rˆ genom formeln 1000 =1 b 2 b 1000 ( R R) R s = b = där 1 = b R är medelvärdet av de smulerade skattade reserverna. Percentler den emprska fördelnngen erhölls genom observaton nummer λ α det ordnade stckprovet av smulerade reserver där λ α = [ α 1000] och α är procentnvån. # obs x Den emprska fördelnngen erhölls genom Fˆ ( x) =. Den emprska 1000 b frekvensfunktonen för totala reserven erhölls genom att plotta ett hstogram över Rˆ Försäkrngsklass cvl I tabell 20 ser v percentler hos den framsmulerade fördelnngen samt medelvärdet, standardavvkelsen och varatonskoeffcenten, som är standardavvkelsen delat med medelvärdet, för försäkrngsklass cvl efter 1000 teratoner. På ssta raden redovsas modellens ursprunglgt predkterade totala reserv. Percentler OdP SaPo Gamma Medelv St.avv Std/Medelv Modell Tabell 20: Percentler och standardavvkelse efter 1000 teratoner. Försäkrngsklass cvl. Modellerna ger olka varaton där OdP ger mnst och SaPo anngen större varaton. Gamma varerar mer än dubbelt så mycket som de övrga. Medelvärdena lgger ganska nära det ursprunglgt skattade för alla tre modellerna vlket tyder på att bootstrap-smulerngen här nte verkar ha någon större bas vad det gäller skattnng av väntevärdet. Att Gamma har en dubbelt så stor standardavvkelse som de andra är anmärknngsvärt. Hstogram över smulerade reserver för respektve metod redovsas fgur 21, 22 och 23. Hstogrammen är plottade samma skala. 22
25 Fgur 21: Hstogram över smulerad totala reserver. Modell OdP, försäkrngsklass cvl. Fgur 22: Hstogram över smulerad totala reserver. Modell SaPo, försäkrngsklass cvl. 23
26 Fgur 23: Hstogram över smulerad totala reserver. Modell Gamma, försäkrngsklass cvl Försäkrngsklass trafk Percentler, medelvärden och andra statstska data efter 1000 bootstrap-teratoner på utvecklngstrangeln för försäkrngsklass trafk återfnns tabell 24. Varatonen som del av väntevärdet är samma storleksordnng för alla tre modellerna, omkrng 7%. För alla tre modellerna lgger det smulerade väntevärdet nära (nom ± 1% av) det predkterade värde som modellen ursprunglgen ger. Väntevärdena skler sg dock kraftgt åt såsom tdgare påpekats. Percentler OdP SaPo Gamma Medelv St.avv Std/Medelv Modell Tabell 24: Percentler och andra data efter 1000 teratoner. Försäkrngsklass trafk. Resultatet av smulerngarna, för försäkrngsklass trafk, form av hstogram återfnns fgur 25, 26 och
27 Fgur 25: Hstogram över smulerade totala reserver. Modell OdP, försäkrngsklass trafk. Fgur 26: Hstogram över smulerade totala reserver. Modell SaPo, försäkrngsklass trafk. 25
28 Fgur 27: Hstogram över smulerade totala reserver. Modell Gamma, försäkrngsklass trafk Försäkrngsklass olycksfall Percentler och annat efter smulerngarna för försäkrngsklass olycksfall fnns fgur 28. OdP ger störst väntevärde, SaPo lte mndre och Gamma mnst. Varatonen är som försäkrngsklass cvl klart störst för modell Gamma. OdP har mnst varans och SaPo anngen större. Percentler OdP SaPo Gamma Medelv St.avv Std/Medelv Modell Fgur 28: Percentler och andra data efter 1000 teratoner. Försäkrngsklass olycksfall. Resultatet av smulerngarna, för försäkrngsklass olycksfall, form av hstogram återfnns fgur 29, 30 och
29 Fgur 29: Hstogram över smulerade totala reserver. Modell OdP, försäkrngsklass olycksfall. Fgur 30: Hstogram över smulerade totala reserver. Modell SaPo, försäkrngsklass olycksfall. 27
30 Fgur 31: Hstogram över smulerade totala reserver. Modell Gamma, försäkrngsklass olycksfall. 28
31 5 Slutsatser I tabell 32 sammanfattas resultatet av smulerngarna. Där återfnns medelvärdet av smulerngarna samt medelvärdet delat med modellens predkterade värde och varatonskoeffcenten uttryckta procent. OdP SaPo Gamma Cvl Medelvärde Medelv./Modell Varatonskoeff Trafk Medelvärde Medelv./Modell Varatonskoeff Olycksfall Medelvärde Medelv./Modell Varatonskoeff Tabell 32: Smulerngsresultat. Smulerngarna för alla modeller alla försäkrngsklasser ger ett medelvärde som lgger ganska nära det som modellen ger ursprunglgen. Den största basen är för modell Gamma försäkrngsklass cvl där smulerngarnas medelvärde är 1.3% större än modellens väntevärde. Detta ndkerar att smulerngsproceduren är relatvt bas-fr vad det gäller predkton av modellens ursprunglga väntevärde trots problemen med negatva väntevärden pseudotranglarna (se kaptel 4.5). Modellerna ger olka väntevärden utan något entydgt samband. I två fall av tre växer väntevärdet med växande p varansfunktonen dvs. OdP, som ger samma skattnng som Chan Ladder, ger mnst reserv, SaPo lte större och Gamma störst. Detta var fallet för försäkrngsklass cvl och trafk. Skllnaderna är relatvt små försäkrngsklass cvl där Gamma ger 1.7% större skattad reserv än OdP medan de är större försäkrngsklass trafk där motsvarande skllnad är 18.2%. I det trede fallet, för försäkrngsklass olycksfall, sunker väntevärdet med ökande p där Gamma ger mnst reserv SaPo lte större och OdP störst där Gamma-modellens reserv är 2.2% mndre än OdP:s. Varatonskoeffcenten varerar mellan metoderna och försäkrngsklasserna. Gamma ger störst varatonskoeffcent alla klasser. OdP har lägst varatonskoeffcent klass cvl och olycksfall där SaPo lgger ganska nära men något över. I försäkrngsklass trafk är SaPomodellens varatonskoeffcent anngen mndre än hos OdP-modellens. Största skllnaderna varaton är försäkrngsklass cvl där varatonskoeffcenten är mer än dubbelt så stor för Gamma ämfört med OdP och SaPo och mnsta skllnaderna fnns försäkrngsklass trafk där standardavvkelserna lgger nära varandra, varatonskoeffcenterna är 7.1, 6.7 resp. 7.3 procent. Om man betraktar 90-, 95-, 97,5- och 99%-percentlen för alla tre metoderna alla tre försäkrngsklasser är resultatet entydgt. OdP ger mnst percentl, SaPo lte större och Gamma störst. Mölgen kan 1000 teratoner vara på gränsen tll för lte. Tttar v på Gamma-smulerngarna fgur 23 och 31 ser det ut som att den framsmulerade fördelnngen nte rktgt har konvergerat. 29
32 Analysen av plottade resdualer kaptel 4.1 talar för OdP-modellen eller en modell med p nära ett. Problemen med många negatva värden pseudotranglarna däremot samt det märklga utseendet hos fördelnngarna det smuleras ur framtdstrangeln talar emot OdPmodellen. De kraftgt konformade resdualerna samt den stora varansen hos Gammamodellen tyder på att varansantagandet med p = 2 kan vara för stort. Gammamodellen känns överlag anngen nstabl. SaPo-modellens resdual-plottar är nte helt tllfredsställande. Däremot känns fördelnngarna det smleras ur framtdstrangeln rmlga och problemet med negatva värden pseudotranglarna är nte lka stort som OdP. I ett val mellan de tre modellerna OdP, SaPo med p = 1.5 och Gamma blr rekommendatonen att väla modell SaPo. Den känns naturlg då den uppstår genom ett possonfördelat antal gammafördelade varabler och v här en gven cell har ett stokastskt antal utbetalnngar av varerande storlek. Mölgen skulle en modell med p någonstans mtt emellan 1 och 1.5 vara bäst. På senare td har metoder och framförallt programvaror för att skatta p kommt som gör att en metod skulle kunna vara att först skatta p och sedan stoppa n den en sådan här smulerngsalgortm SAS. I ett försök, egentlgen utanför ramen för detta arbete, skattades p med hälp av programvaran Emblem tll 1.42, 1.42 och 1.65 för olycksfall, trafk respektve cvl. 30
33 6 Appendx 6.1 Parameterbyte log-lnära modellen Parameterbytet för att gå från den log-lnära strukturen (*) log( µ ) = log( γ ) + log( δ ), där log( δ ) = 0 tll m = 1 1 = β1 = (**) log( µ ) = c + α + β, där α 0 sker genom att låta c+ α m β = e ( e ), c log( γ 1δ 1), α = log( γ / γ 1), β = log( δ / δ1) β e = δ = = 1 m γ. β e = Parameterskattnng och hat -matrsen Vd parameterskattnng sker först en övergång från trangelform tll lstform så att v har r T m( m +1) observatonerna y en lång vektor y = ( y1, y2,..., y n ) där n = är antalet 2 observatoner utvecklngstrangeln. Observatonerna y ordnas så att de hamnar r T enlgt y = ( y11, y12,..., y1 m, y21,..., y m 1). Den generalserade lnära modellen skrvs då på formen r r g ( µ ) = Xβ m( m + 1) där funktonen g är log, X är den (2m 1) -dmensonella desgnmatrsen 2 T nnehållande ettor och nollor, och β r = ( β,..., ) 1 β 2m 1 är parametervektorn nnehållande r T parametrarna c, α och β omdöpta och ordnade enlgt β = ( c, α 2,..., α m, β 2,..., β m ). Då r r exempelvs m = 4 har v g ( µ ) = Xβ log( µ log( µ log( µ log( µ log( µ log( µ log( µ log( µ log( µ log( µ ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) β β β β = β β β β β 9 Skattnngen av parametrarna c, α och β genom vanlg maxmum lkelhood sker genom maxmerng av lkelhoodfunktonen r r 1 l ( θ ; φ, y) = ( y + θ b( θ )) c( y, φ). Teorn nedan är hämtad ur Ohlsson & Johansson φ (2003). 31
34 Derverng av denna med avseende på l β 1 = φ y µ v( µ ) g ( µ x ) = β blr efter upprepad användnng av kederegeln p 1 y µ log( µ ), v( µ ) = µ = x p 1. φ µ { g( µ ) = } Nollstället tll dessa 2 m + 1 dervator ger SAS genom Newton-Raphson-metoden enlgt r r r 2 l (*) β k + 1 = β k H s där H (Hessanen) är matrsen av andradervator och s är β β vektorn av förstadervator tll lkelhooden. H ges av T H = X W X där X är desgnmatrsen och W 0 är en dagonalmatrs vars element på rad ges av v( µ ) g ( µ ) + v ( µ ) g ( µ ) 1 w0 = we + ( y µ ) där w 2 3 e =. 2 φ( v( µ )) ( g ( µ )) v( µ )( g ( µ )) Hatmatrsen defneras här, enlgt SAS default, som Hatmatrs = W där W = W0 om algortmen slutade första steget och W e annars. 0 1/ 2 X k T 1 T 1/ 2 ( X WX ) X W Maxmum quas lkelhood-skattnng av parametrarna sker på samma sätt. Enlgt teorn nnebär Maxmum quas lkelhood att parametrarna skattas genom maxmerng av quaslkelhood-funktonen Q( µ, y) = Q = = r r r r µ y t µ y t ( µ, y) dt y dt stället för y p φv( t) φt den vanlga log-lkelhooden. Denna fungerar som en äkta log-lkelhood vad det gäller estmaton av parametrarna, se Olsson & Johansson (2003) kap 3, och ger samma parameterskattnngar som maxmum lkelhood. Fördelen med quas-lkelhood är att fördelnng nte behöver specfceras utan det räcker med specfkaton av varansfunktonen. 6.3 Fördelnngar Översprdd Posson, OdP Varansfunktonen v ( µ ) = µ svarar mot en översprdd possonfördelnng. Gvet φ är frekvensfunktonen för en översprdd Posson varabel y φ y log( µ ) µ y y y log( µ ) µ φ f Y ( y) = exp log( φ) log! = exp + log där φ φ φ φ y! φ y = φ n, n {0,1,2 K}, och 0 annars. För dessa fördelnngar gäller att Var (Y ) = φµ Var (Y) = φ µ det vll säga standardavvkelsen är proportonell mot µ Sammansatt Posson 32
35 Då 1 < p < 2 v µ p ( µ ) = vsar Jørgensen (1997) att fördelnngen blr yθ b( θ ) f Y ( y) = exp + c( y; φ, p) där φ 1 p 1 ( p 2) /( p 1) 1/(1 p) µ b( θ ) = ( θ (1 p) ), µ = b'( θ ) = ( θ (1 p)) θ = och 2 p 1 p n n 1 φ ( b( φ / y)) log > ( ) då y 0 n= 1 y Γ n(2 p) /( p 1) n! c( y; φ, p) =. 0 annars Denna fördelnng uppkommer på fölande sätt: n Antag att Z = = X 1 där X ~ d Ga( α, β ) och N ~ Po( m) samt N och X oberoende. Med 2 Ga(α,β) menas här gammafördelnng med E [X ] = αβ och Var ( X ) = αβ. Parametrarna α och β gammafördelnngen samt m possonfördelnngen väls 1 enlgt 2 2 p p p µ α =, β = φ( p 1) µ och m =. Den stokastska varabeln Z har då ovan p 1 φ(2 p) p nämnda fördelnng. För dessa fördelnngar gäller att Var( Y) = φµ Var φµ p ( Y) = Gamma Tätheten för en gammafördelad stokastsk varabel är y 1 α 1 1 β y fy ( y; α, β ) = y e = exp ( α 1) log( y) log( Γ( α)) α log( β ) = α Γ( α) β β 1 φ y( 1/ µ ) log( µ ) y = { φ = 1/ α, µ = αβ } = exp + log( ) = φ φ φ( Γ(1/ φ)) yθ b( θ ) = { θ = 1/ µ, b ( θ ) = log( 1/ θ )} = exp + c( y; φ). φ 2 För denna fördelnng gäller att Var ( Y) = φµ Var( Y ) = φ µ d v s standardavvkelsen är proportonell mot väntevärdet. 33
36 Ltteratur Efron, B. & Tbshran, R. J., An Introducton to the Bootstrap. Chapman and Hall. England, P. D. & Verrall, R. J., Stochastc clams reservng n general nsurance. Presenterat nför Insttute of actuares, 28 anuar England, P. D. & Verrall, R. J., Analytc and bootstrap estmates of predcton errors n clams reservng. Mathematcs and Economcs, Elsever, vol. 25(3). England, P. D., Addendum to Analytc and bootstrap estmates of predcton errors n clams reservng. Research report no. 138 Cty Unversty London. Jørgensen, Bent, The theory of dsperson models. Chapman and Hall, New York. Mack, T., Dstrbuton-free calculaton of the standard error of chan-ladder reserve estmates. ASTIN Bulletn, 23, No.2. McCullagh, P. & Nelder J.A., Generalzed lnear models, second edton. Chapman and Hall. Ohlsson, E. & Johansson, B., Prssättnng nom sakförsäkrng med Generalserade lnära modeller. Olsson, U., Generalzed lnear models, an appled approach. Studentltteratur. Pnhero, P. J. R., Andrade e Slva, J. M. & Centeno, M., Bootstrap methodology n clams reservng. SAS Insttute, SASOnlneDocument. 34
Test av anpassning, homogenitet och oberoende med χ 2 - metod
Matematsk statstk för STS vt 00 00-05 - Bengt Rosén Test av anpassnng, homogentet och oberoende med χ - metod Det stoff som behandlas det fölande återfnns Blom Avsntt 7 b sdorna 6-9 och Avsntt 85 sdorna
Läs merCentrala Gränsvärdessatsen:
Föreläsnng V såg föreläsnng ett, att om v känner den förväntade asymptotska fördelnngen en gven stuaton så kan v med utgångspunkt från våra mätdata med hjälp av mnsta kvadrat-metoden fnna vlka parametrar
Läs merFlode. I figuren har vi också lagt in en rät linje som någorlunda väl bör spegla den nedåtgående tendensen i medelhastighet för ökande flöden.
Hast Något om enkel lnjär regressonsanalys 1. Inlednng V har tdgare pratat om hur man anpassar en rät lnje tll observerade talpar med hjälp av den s.k. mnsta kvadratmetoden. V har också berört hur man
Läs merExperimentella metoder 2014, Räkneövning 5
Expermentella metoder 04, Räkneövnng 5 Problem : Två stokastska varabler, x och y, är defnerade som x = u + z y = v + z, där u, v och z är tre oberoende stokastska varabler med varanserna σ u, σ v och
Läs merBeräkna standardavvikelser för efterfrågevariationer
Handbok materalstyrnng - Del B Parametrar och varabler B 41 Beräkna standardavvkelser för efterfrågevaratoner och prognosfel En standardavvkelse är ett sprdnngsmått som anger hur mycket en storhet varerar.
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 6. Regression & Korrelation. (LLL Kap 13-14) Inledning till Regressionsanalys
Fnansell Statstk (GN, 7,5 hp,, HT 8) Föreläsnng 6 Regresson & Korrelaton (LLL Kap 3-4) Department of Statstcs (Gebrenegus Ghlagaber, PhD, Assocate Professor) Fnancal Statstcs (Basc-level course, 7,5 ECTS,
Läs merSlumpvariabler (Stokastiska variabler)
Slumpvarabler Väntevärden F0 Slutsatser från urval tll populaton Slumpvarabler (Stokastska varabler) En slumpvarabel är en funkton från utfallsrummet tll tallnjen Ex kast med ett mynt ggr =antalet krona
Läs merTentamen i Dataanalys och statistik för I den 5 jan 2016
Tentamen Dataanalys och statstk för I den 5 jan 06 Tentamen består av åtta uppgfter om totalt 50 poäng. Det krävs mnst 0 poäng för betyg, mnst 0 poäng för och mnst 0 för 5. Eamnator: Ulla Blomqvst Hjälpmedel:
Läs mera) B är oberoende av A. (1p) b) P (A B) = 1 2. (1p) c) P (A B) = 1 och P (A B) = 1 6. (1p) Lösningar: = P (A) P (A B) = 1
Lösnngar tll tentamen: Matematsk statstk och sgnalbehandlng (ESS0), 4.00-8.00 den 4/-009 Examnator: Serk Sagtov (Kursansvarg: Ottmar Crone) Tllåtna hjälpmedel: Tabell "Beta", utdelad formelsamlng, valfr
Läs merFÖRDJUPNINGS-PM. Nr 6. 2010. Kommunalt finansierad sysselsättning och arbetade timmar i privat sektor. Av Jenny von Greiff
FÖRDJUPNINGS-PM Nr 6. 2010 Kommunalt fnanserad sysselsättnng och arbetade tmmar prvat sektor Av Jenny von Greff Dnr 13-15-10 Kommunalt fnanserad sysselsättnng och arbetade tmmar prvat sektor Inlednng Utförsäljnng
Läs merEn reservberäkningsmetodik baserad på enskilda skador
Matematsk statstk Stockholms unverstet En reservberäknngsmetodk baserad på ensklda skador Elze Wästanfors Eamensarbete 005:3 Postadress: Matematsk statstk Matematska nsttutonen Stockholms unverstet 06
Läs merFORMELSAMLING HT-15 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMS086 & MASB02. Sannolikhetsteori. Beskrivning av data
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING HT-15 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMS086 & MASB0 Sannolkhetsteor Följande gäller för sannolkheter: 0
Läs merENKEL LINJÄR REGRESSION
Fnansell statstk, vt 0 ENKEL LINJÄR REGRESSION Ordlsta tll NCT Scatter plot Dependent/ndependent Least squares Sum of squares Resdual Ft Predct Random error Analyss of varance Sprdnngsdagram Beroende/oberoende
Läs mer1. a Vad menas med medianen för en kontinuerligt fördelad stokastisk variabel?
Tentamenskrvnng: TMS45 - Grundkurs matematsk statstk och bonformatk, 7,5 hp. Td: Onsdag den 9 august 2009, kl 08:30-2:30 Väg och vatten Tesen korrgerad enlgt anvsngar under tentamenstllfället. Examnator:
Läs merMätfelsbehandling. Lars Engström
Mätfelsbehandlng Lars Engström I alla fyskalska försök har de värden man erhåller mer eller mndre hög noggrannhet. Ibland är osäkerheten en mätnng fullständgt försumbar förhållande tll den precson man
Läs merThomas Macks beräkning av standardfelet för reservavsättningar
Thomas Macs beränng av standardfelet för reservavsättnngar Eva-Lena Tolstoy Rauto 008-05-09 1 Innehållsförtecnng 1. Inlednng...5. Teor...5.1 Resdualplottar...6. Thomas Macs modell...6.3 Svansfator...8.4
Läs merVinst (k) 1 1.5 2 4 10 Sannolikhet 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 ( )
Tentamen Matematsk statstk Ämneskod-lnje S1M Poäng totalt för del 1 5 (8 uppgfter) Poäng totalt för del 3 (3 uppgfter) Tentamensdatum 9-3-5 Kerstn Vännman Lärare: Robert Lundqvst Mkael Stenlund Skrvtd
Läs merUtbildningsavkastning i Sverige
NATIONALEKONOMISKA INSTITUTIONEN Uppsala Unverstet Examensarbete D Författare: Markus Barth Handledare: Bertl Holmlund Vårtermnen 2006 Utbldnngsavkastnng Sverge Sammandrag I denna uppsats kommer två olka
Läs merFörklaring:
rmn Hallovc: EXTR ÖVNINR ETIND SNNOLIKHET TOTL SNNOLIKHET OEROENDE HÄNDELSER ETIND SNNOLIKHET Defnton ntag att 0 Sannolkheten för om har nträffat betecknas, kallas den betngade sannolkheten och beräknas
Läs merVALUE AT RISK. En komparativ studie av beräkningsmetoder. VALUE AT RISK A comparative study of calculation methods. Fredrik Andersson, Petter Finn
ISRN-nr: VALUE AT RISK En komparatv stude av beräknngsmetoder VALUE AT RISK A comparatve study of calculaton methods Fredrk Andersson, Petter Fnn & Wlhelm Johansson Handledare: Göran Hägg Magsteruppsats
Läs merDödlighetsundersökningar på KPA:s
Matematsk statstk Stockholms unverstet Dödlghetsundersöknngar på KPA:s bestånd av förmånsbestämda pensoner Sven-Erk Larsson Eamensarbete 6: Postal address: Matematsk statstk Dept. of Mathematcs Stockholms
Läs merArbetslivsinriktad rehabilitering för sjukskrivna arbetslösa funkar det?
NATIONALEKONOMISKA INSTITUTIONEN Uppsala Unverstet Uppsats fortsättnngskurs C Författare: Johan Bjerkesjö och Martn Nlsson Handledare: Patrk Hesselus Termn och år: HT 2005 Arbetslvsnrktad rehablterng för
Läs merF13. Förra gången (F12) Konfidensintervall och hypotesprövning Chi-tvåtest. Stratifierat urval
Konfdensntervall och hypotesprövnng Ch-tvåtest F3 Förra gången (F) Stratferat urval Dela n populatonen homogena ata med avseende på atferngsvarabeln Välj atferngsvarabel som har ett samband med undersöknngsvarabeln
Läs merDel A Begrepp och grundläggande förståelse.
STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM Tentamensskrvnng Expermentella metoder, 12 hp, för kanddatprogrammet, år 1 Onsdagen den 17 jun 2009 kl 9-1. S.H./K.H./K.J.-A./B.S. Införda betecknngar bör förklaras och uppställda
Läs merPrimär- och sekundärdata. Undersökningsmetodik. Olika slag av undersökningar. Beskrivande forts. Beskrivande forts. 2012-11-08
Prmär- och sekundärdata Undersöknngsmetodk Prmärdataundersöknng: användnng av data som samlas n för första gången Sekundärdata: användnng av redan nsamlad data Termeh Shafe ht01 F1-F KD kap 1-3 Olka slag
Läs merMatrismodellen vs Two-part regressionsmodeller -effekter på Region Skånes resursfördelning-
Statstska nsttutonen Matrsmodellen vs Two-part regressonsmodeller -effekter på Regon Skånes resursfördelnng- Av: Jennfer Ercsson Uppsats Statstk 15 hp Nvå 61-90 poäng September 2007 Handledare: Mats Hagnell
Läs merSammanfattning. Härledning av LM - kurvan. Efterfrågan, Z. Produktion, Y. M s. M d inkomst = Y >Y. M d inkomst = Y
F12: sd. 1 Föreläsnng 12 Sammanfattnng V har studerat ekonomn påp olka skt, eller mer exakt, under olka antaganden om vad som kan ändra sg. 1. IS-LM, Mundell Flemmng. Prser är r konstanta, växelkurs v
Läs merModellering av antal resor och destinationsval
UMEÅ UNIVERSITET Statstska nsttutonen C-uppsats, vt- 2005 Handledare: Erlng Lundevaller Modellerng av antal resor och destnatonsval Aron Arvdsson Salh Vošanovć Sammanfattnng V har denna uppsats analyserat
Läs merBlixtkurs i komplex integration
Blxtkurs komplex ntegraton Sven Spanne 7 oktober 998 Komplex ntegraton Vad är en komplex kurvntegral? Antag att f z är en komplex funkton och att är en kurva det komplexa talplanet. Man kan då beräkna
Läs merFÖRDJUPNINGS-PM. Nr 6. 2010. Kommunalt finansierad sysselsättning och arbetade timmar i privat sektor. Av Jenny von Greiff
FÖRDJUPNINGS-PM Nr 6. 20 Kommunalt fnanserad sysselsättnng och arbetade tmmar prvat sektor Av Jenny von Greff Dnr 13-15- Kommunalt fnanserad sysselsättnng och arbetade tmmar prvat sektor Inlednng Utförsäljnng
Läs merBeräkna standardavvikelser för efterfrågevariationer
Handbok materalstyrnng - Del B Parametrar och varabler B 41 Beräkna standardavvkelser för efterfrågevaratoner och prognosfel En standardavvkelse är ett sprdnngsmått som anger hur mycket en storhet varerar.
Läs merTentamen i MATEMATISK STATISTIK Datum: 8 Juni 07
Tentamen MATEMATISK STATISTIK Datum: 8 Jun 0 Kurser: MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK 6H3000 (TEN2), 6L3000 (TEN2), MATEMATIK2 MED MATEMATISK STATISTIK 6H2208 (TEN2) MATEMATISK STATISTIK 6A2111 (TEN1);
Läs merKVALITETSDEKLARATION
2019-06-17 1 (8) KVALITETSDEKLARATION Statstk om kommunal famlerådgvnng 2018 Ämnesområde Socaltänst Statstkområde Famlerådgvnng Produktkod SO0206 Referenstd År 2018 2019-06-17 2 (8) Statstkens kvaltet...
Läs merEn studiecirkel om Stockholms katolska stifts församlingsordning
En studecrkel om Stockholms katolska stfts församlngsordnng Studeplan STO CK HOLM S K AT O L S K A S T I F T 1234 D I OECE S I S HOL M I ENS IS En studecrkel om Stockholm katolska stfts församlngsordnng
Läs merCiteringsstudie av natur och samhällsvetenskapliga institutioner vid Stockholms universitet,
Cterngsstude av natur och samhällsvetenskaplga nsttutoner vd Stockholms unverstet, 2008 2010 Per Ahlgren, Stockholms unverstetsbblotek 1 Inlednng I förelggande rapport redogörs för en bblometrsk stude,
Läs merFöreläsning G70 Statistik A
Föreläsnng -2 732G70 Statstk A Kaptel 2 Populatoner, stckprov och varabler Sd -46 2 Populaton Den samlng enheter (exempelvs ndvder) som v vll dra slutsatser om. Populatonen defneras på logsk väg med utgångspunkt
Läs merMos. Statens väg- ochtrafi V" NationalRoad&Traffic Research Institute- $-58101Li: Lä & t # % p. i E d $ åv 3 %. ISSN
f y ä M f ; * I) > t ; + Mos -2'2 2 42/9 halkat :4 11980) S l a,th 4. VD /-/ N =0O0U% 2 ISSN 0347-6049 S 3 ä at HP 3 TP Fa e s % Statens väg- ochtraf V" NatonalRoad&Traffc Research Insttute- $-58101L:
Läs merFond-i-fonder. med global placeringsinriktning. Ett konkurrenskraftigt alternativ till globalfonder? En jämförelse med fokus på risk och avkastning.
Uppsala Unverstet Företagsekonomska nsttutonen Magsteruppsats HT 2009 Fond--fonder med global placerngsnrktnng Ett konkurrenskraftgt alternatv tll globalfonder? En jämförelse med fokus på rsk och avkastnng.
Läs merKompenserande löneskillnader för pendlingstid
VTI särtryck 361 2004 Kompenserande löneskllnader för pendlngstd En emprsk undersöknng med Svenska data Konferensbdrag från Transportforum 8 9 januar 2003 Lnköpng Gunnar Isacsson VTI särtryck 361 2004
Läs merUndersökning av vissa försäkringsantaganden i efterlevandepension för anställda i kommuner och landstinget och dess påverkan på prissättningen
Matematsk statstk Stockholms unverstet Undersöknng av vssa försäkrngsantaganden efterlevandepenson för anställda kommuner och landstnget och dess påverkan på prssättnngen Ilkay Gölcük Eamensarbete 7:5
Läs merStresstest för försäkrings- och driftskostnadsrisker inom skadeförsäkring
PROMEMORIA Datum 007-1-18 FI Dnr 07-1171-30 Fnansnspektonen Författare Bengt von Bahr, Younes Elonq och Erk Elvers P.O. Box 6750 SE-113 85 Stockholm [Sveavägen 167] Tel +46 8 787 80 00 Fax +46 8 4 13 35
Läs merStresstest för försäkrings- och driftskostnadsrisker inom skadeförsäkring
PROMEMORIA Datum 01-06-5 Fnansnspektonen Författare Bengt von Bahr, Younes Elonq och Erk Elvers Box 6750 SE-113 85 Stockholm [Sveavägen 167] Tel +46 8 787 80 00 Fax +46 8 4 13 35 fnansnspektonen@f.se www.f.se
Läs mersaknar reella lösningar. Om vi försöker formellt lösa ekvationen x 1 skriver vi x 1
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR KOMPLEXA TAL Inlednng Ekvatonen x 1 har två reella lösnngar, x 1, dvs x 1, medan ekvatonen x 1 saknar reella lösnngar Om v försöker formellt lösa ekvatonen x 1 skrver v x 1
Läs merFördelning av kvarlåtenskap vid arvsskifte
NATIONALEKONOMISKA INSTITUTIONEN Uppsala unverstet Magsteruppsats Författare: Lars Björn Handledare: Henry Ohlsson HT 2008 Fördelnng av kvarlåtenskap vd arvsskfte En analys av ntergeneratonella fnansella
Läs merFK2002,FK2004. Föreläsning 5
FK00,FK004 Föreläsnng 5 Föreläsnng 5 Labbrapporter Korrelatoner Dmensonsanalys Denna föreläsnng svarar mot kap. 9 (Taylor) Labbrapporter Feedback+betyg skckas morgon. Några tps ett dagram hjälper alltd
Läs merPostadress: Internet: Matematisk statistik Matematiska institutionen Stockholms universitet 106 91 Stockholm Sverige
"!# " $ % &('*),+.-0/0%'&%3)5476 8 &(' 9;: +@),>BA % &C6D% &E>>):D4 F GIHJGLKMONQPRKTSVUXW Y[Z]\8 &4^>_\0%"à&b+ & c
Läs merIntroduktionsersättning eller socialbidraghar ersättningsregim betydelse för integrationen av flyktingar? 1
UPPSALA UNIVERSITET Natonalekonomska Insttutonen Examensarbete D-uppsats, Ht-2005 Introduktonsersättnng eller socalbdraghar ersättnngsregm betydelse för ntegratonen av flyktngar? 1 Författare: Henrk Nlsson
Läs merPartikeldynamik. Fjädervåg. Balansvåg. Dynamik är läran om rörelsers orsak.
Dynamk är läran om rörelsers orsak. Partkeldynamk En partkel är en kropp där utsträcknngen saknar betydelse för dess rörelse. Den kan betraktas som en punktmassa utan rotaton. Massa kan defneras på två
Läs mer1. Inledning s Teori bakom reversionspendeln s. 3
Abstract In ths master's thess the problem of determnn the uncertanty for an estmator of an unknown parameter s consdered. The case we study s the estmaton of ravty usn a reversble pendulum. Ths nvolves
Läs merFöretagsrådgivning i form av Konsultcheckar. Working paper/pm
Workng paper/pm 2012:02 Företagsrådgvnng form av Konsultcheckar En effektutvärderng av konsultcheckar nom ramen för regonalt bdrag för företgsutvecklng Tllväxtanalys har uppdrag att utvärdera effekterna
Läs merLönebildningen i Sverige 1966-2009
Rapport tll Fnanspoltska rådet 2008/6 Lönebldnngen Sverge 1966-2009 Andreas Westermark Uppsala unverstet De åskter som uttrycks denna rapport är författarens egna och speglar nte nödvändgtvs Fnanspoltska
Läs merSammanfattning, Dag 1
Sammanfattnng, Dag 1 V började med en sammanfattnng om vad v redan hade lärt oss från Matematk I Sedan fortsatte v (nästan punkt för punkt) resonera vad v skulle kunna göra mer och vsade vart v kunde komma
Läs merProjekt i transformetoder. Rikke Apelfröjd Signaler och System rikke.apelfrojd@signal.uu.se Rum 72126
Projekt transformetoder Rkke Apelfröjd Sgnaler och System rkke.apelfrojd@sgnal.uu.se Rum 72126 Målsättnng Ur kursplanen: För godkänt betyg på kursen skall studenten kunna använda transformmetoder nom något
Läs merDAGLIGVARUPRISERNA PÅ ÅLAND
Rapport 2000:1 DAGLIGVARUPRISERNA PÅ ÅLAND - EN KOMPARATIV ANALYS I pdf-versonen av denna rapport saknas enkätblanketterna (blaga 2). En fullständg rapport pappersformat kan beställas från ÅSUB, tel. 018-25490,
Läs merInnehåll: har missbrukat jämfört med om man inte har. missbrukat. Risk 1 Odds Risk. Odds 1 Risk. Odds
22 5 Innehåll:. Rsk & Odds. Rsk Rato.2 Odds Rato 2. Logstsk Regresson 2. Ln Odds 2.2 SPSS Output 2.3 Estmerng (ML) 2.4 Multpel 3. Survval Analys 3. vs. Logstsk 3.2 Censurerade data 3.3 Data, SPSS 3.4 Parametrskt
Läs merNär vi räknade ut regressionsekvationen sa vi att denna beskriver förhållandet mellan flera variabler. Man försöker hitta det bästa möjliga sättet
Korrelaton När v räknade ut regressonsekvatonen sa v att denna beskrver förhållandet mellan flera varabler. Man försöker htta det bästa möjlga sättet att med en formel beskrva hur x och y förhåller sg
Läs merBalansering av vindkraft och vattenkraft i norra Sverige. Elforsk rapport 09:88
Balanserng av vndkraft och vattenkraft norra Sverge Elforsk rapport 09:88 Mkael Ameln, Calle Englund, Andreas Fagerberg September 2009 Balanserng av vndkraft och vattenkraft norra Sverge Elforsk rapport
Läs merBeräkning av Sannolikheter för Utfall i Fotbollsmatcher
Natonalekonomska Insttutonen Uppsala Unverstet Examensarbete D Författare: Phlp Jonsson Handledare: Johan Lyhagen VT 2006 Beräknng av Sannolkheter för Utfall Fotbollsmatcher Oddsen på dn sda Sammanfattnng
Läs merKlarar hedgefonder att skapa positiv avkastning oavsett börsutveckling? En empirisk studie av ett urval svenska hedgefonder
NATIONALEKONOMISKA INSTITUTIONEN Uppsala unverstet Examensarbete C Författare: Sara Engvall och Matylda Hussn Handledare: Martn Holmén Hösttermnen 2006 Klarar hedgefonder att skapa postv avkastnng oavsett
Läs merN A T U R V Å R D S V E R K E T
5 Kselalger B e d ö m n n g s g r u vattendrag n d e r f ö r s j ö a r o c h v a t t e n d r a g Parameter Vsar sta hand effekter Hur ofta behöver man mäta? N på året ska man mäta? IPS organsk Nngspåver
Läs merAtt identifiera systemviktiga banker i Sverige vad kan kvantitativa indikatorer visa oss?
Att dentfera systemvktga banker Sverge vad kan kvanttatva ndkatorer vsa oss? Elas Bengtsson, Ulf Holmberg och Krstan Jönsson* Författarna är verksamma vd Rksbankens avdelnng för fnansell stabltet. Elas
Läs merViltskadestatistik 2014 Skador av fredat vilt på tamdjur, hundar och gröda
Vltskadestatstk 214 Skador av fredat vlt på tamdjur, hundar och gröda RAPPORT FRÅN VILTSKADECENTER, SLU 215-1 Vltskadestatstk 214 Skador av fredat vlt på tamdjur, hundar och gröda Rapport från Vltskadecenter,
Läs merPartikeldynamik. Dynamik är läran om rörelsers orsak.
Partkeldynamk Dynamk är läran om rörelsers orsak. Tung och trög massa Massa kan defneras på två sätt. Den ena baserar sg på att olka massor attraheras olka starkt av jordens gravtaton. Att två massor är
Läs merPrissättningen av bostadsrätter: Vilka faktorer påverkar priserna, vad är riktpriset för en lägenhet?
Handelshögskolan Stockholm Insttutonen för Redovsnng och Rättsvetenskap Examensuppsats nom Redovsnng och fnansell styrnng Hösten 2006 Prssättnngen av bostadsrätter: Vlka faktorer påverkar prserna, vad
Läs merTentamen (TEN2) Maskininlärning (ML) 5hp 21IS1C Systemarkitekturutbildningen. Tentamenskod: Inga hjälpmedel är tillåtna
Intellgenta och lärande system 15 högskolepoäng Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Tentamen (TEN2) Masknnlärnng (ML) 5hp 21IS1C Systemarktekturutbldnngen Tentamenskod: Tentamensdatum: 2017-03-24 Td:
Läs merPerformansanalys LHS/Tvåspråkighet och andraspråksinlärning Madeleine Midenstrand 2004-04-17
1 Inlednng Jag undervsar tyskar på folkhögskolan Nürnberg med omgvnngar. Inför uppgften att utföra en perforsanalys av en elevtext lät mna mest avancerade elever skrva en uppsats om vad de tyckte var svårt
Läs merOptimering i samband med produktionsplanering av, och materialförsörjning vid, underhåll av flygmotorer
Optmerng samband med produktonsplanerng av, och materalförsörjnng vd, underhåll av flygmotorer Nclas Andréasson 1 och Torgny Almgren 2 1. Matematk Chalmers teknska högskola 412 96 Göteborg 31-772 53 78
Läs merLösningar modul 3 - Lokala nätverk
3. Lokala nätverk 3.1 TOPOLOGIER a) Stjärna, rng och buss. b) Nät kopplas ofta fysskt som en stjärna, där tll exempel kablar dras tll varje kontorsrum från en gemensam central. I centralen kan man sedan
Läs merKOMMISSIONENS DELEGERADE FÖRORDNING (EU) / av den
EUROPEISKA KOMMISSIONEN Bryssel den 1.6.2018 C(2018) 3302 fnal KOMMISSIONENS DELEGERADE FÖRORDNING (EU) / av den 1.6.2018 om ändrng av delegerad förordnng (EU) 2015/35 vad gäller beräknngen av lagstadgade
Läs mer2B1115 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 2004 Omtentamen Måndagen den 23:e aug, 2005, kl. 9:00-14:00
(4) B Ingenjörsmetodk för IT och ME, HT 004 Omtentamen Måndagen den :e aug, 00, kl. 9:00-4:00 Namn: Personnummer: Skrv tydlgt! Skrv namn och personnummer på alla nlämnade papper! Ma ett tal per papper.
Läs merTillämpningar av dekomposition: Flervaruflödesproblemet. Flervaruflödesproblemet: Lagrangeheuristik
Tllämpnngar av dekomposton: Flervaruflödesproblemet v = mn j: x k c k x k xj k = r k för alla N, k C (1) x k b för alla (, j) A (2) j:(j,) A x k 0 för alla (, j) A, k (3) Struktur: Om man relaxerar kapactetsbvllkoren
Läs merRiktlinjer för avgifter och ersättningar till kommunen vid insatser enligt LSS
Rktlnjer för avgfter och ersättnngar tll kommunen vd nsatser enlgt LSS Beslutad av kommunfullmäktge 2013-03-27, 74 Rktlnjer för avgfter och ersättnngar tll kommunen vd nsatser enlgt LSS Fnspångs kommun
Läs merJag vill tacka alla på företaget som har delat med sig av sina kunskaper och erfarenheter vilket har hjälpt mig enormt mycket.
Förord Detta examensarbete har utförts på uppdrag av nsttutonen för Industrell produkton på Lunds Teknska Högskola, och genomförts på företaget. Jag vll tacka alla på företaget som har delat med sg av
Läs merEkonomihögskolan Lunds Universitet Vårterminen 2006. Priset på Poker. En studie av efterfrågeelasticiteten på Internetpoker.
Natonalekonomska Insttutonen Kanddatuppsats Ekonomhögskolan Lunds Unverstet Vårtermnen 006 Prset på Poker En stude av efterfrågeelastcteten på Internetpoker Författare Tony Krstensson Dag Larsson Handledare
Läs merEn kort introduktion till principalkomponenttransformation och kanonisk diskriminantanalys av multispektrala data
Januar 22 ISSN 65-942 Metodrapport Tomas Hallberg En kort ntrodukton tll prncpalkomponenttransformaton och kanonsk dskrmnantanalys av multspektrala data x 2 σ A σ W σ W2 x Sensorteknk Box 65 58 Lnköpng
Läs merOljeprisets inverkan på oljerelaterade aktier
EKONOMIHÖGSKOLAN Lunds unverstet Kanddatuppsats Januar 2009 Oljeprsets nverkan på oljerelaterade akter Handledare: Hossen Asgharan Författare: Sebastan Valentnsson Fredrk Ohlson SAMMANFATTNING I denna
Läs mer5.4 Feluppskattning vid lösning av ekvationssystem.
Vetenskaplga beräknngar III 58 5.4 Feluppskattnng vd lösnng av ekvatonssystem. V har tdgare påpekat, att pvot -elementen bör vara olka noll, för att man skall kunna tllämpa Gauss elmnerngsmetod. Men det
Läs merEffekter av kön, ålder och region på sjukpenningen i Sverige
Lunds unverstet Statstska nsttutonen Effekter av kön, ålder och regon på sjukpennngen Sverge -en varansanalys Rkke Berner Uppsats statstk 0 poäng Nvå 6-80 poäng Oktober 006 Handledare: Mats Hagnell Abstract
Läs merAlmedalsveckan 2011. Snabba fakta om aktuella ämnen under Almedalsveckan 2011 2-3 6-7 8-9. Ungas ingångslöner. Stark som Pippi? Löner och inflation
Almedalsveckan 11 Snabba fakta om aktuella ämnen under Almedalsveckan 11 Stark som Ppp? 2-3 Ungas ngångslöner Välfärdsföretagen 8-9 Löner och nflaton Närmare skattegenomsnttet 1 5 Studemotverade eller
Läs merGymnasial yrkesutbildning 2015
Statstska centralbyrån STATISTIKENS FRAMTAGNING UF0548 Avdelnngen för befolknng och välfärd SCBDOK 1(22) Enheten för statstk om utbldnng och arbete 2016-03-11 Mattas Frtz Gymnasal yrkesutbldnng 2015 UF0548
Läs merSkoldemokratiplan Principer och guide till elevinflytande
Skoldemokratplan Prncper och gude tll elevnflytande I Skoldemokratplan Antagen av kommunfullmäktge 2012-02-29, 49 Fnspångs kommun 612 80 Fnspång Telefon 0122-85 000 Fax 0122-850 33 E-post: kommun@fnspang.se
Läs merNågot om beskrivande statistik
Något om beskrvade statstk. Iledg I de flesta sammahag krävs fakta som uderlag för att komma tll rmlga slutsatser eller fatta vettga beslut. Exempelvs ka det på ett företag ha uppstått dskussoer om att
Läs mer2 Jämvikt. snitt. R f. R n. Yttre krafter. Inre krafter. F =mg. F =mg
Jämvkt Jämvkt. Inlednng I detta kaptel skall v studera jämvkten för s.k. materella sstem. I ett materellt sstem kan varje del, partkel eller materalpunkt beskrvas med hjälp av dess koordnater. Koordnatsstemet
Läs merBankernas kapitalkrav med Basel 2
RAPPORT DEN 16 jun 2006 DNR 05-5630-010 2006 : 6 Bankernas kaptalkrav med Basel 2 R A P P o r t 2 0 0 6 : 6 Bankernas kaptalkrav med Basel 2 R a p p o r t 2 0 0 6 : 6 INNEHÅLL SAMMANFATTNING 31 RESULTAT
Läs merIndustrins förbrukning av inköpta varor (INFI) 2008
STATISTISKA CENTRALBYRÅN 1(97) Industrns förbruknng av nköpta varor (INFI) 2008 NV0106 Innehåll SCBDOK 3.1 0 Admnstratva uppgfter 0.1 Ämnesområde 0.2 Statstkområde 0.3 SOS-klassfcerng 0.4 Statstkansvarg
Läs mer732G70 Statistik A. Föreläsningsunderlag skapad av Karl Wahlin Föreläsningsslides uppdaterade av Bertil Wegmann
732G70 Statstk A Föreläsnngsunderlag skapad av Karl Wahln Föreläsnngssldes uppdaterade av Bertl Wegmann Insttutonen för datavetenskap (IDA) Lnköpngs unverstet vt 2016 Kaptel 2 Populatoner, stckprov och
Läs merLektion 8 Specialfall, del I (SFI) Rev 20151006 HL
Lekton 8 Specalfall, del I (SFI) Rev 0151006 HL Produktvalsproblem och cyklsk planerng Innehåll Nvå 1: Produktval (LP-problem) (SFI1.1) Cyklsk planerng, produkter (SFI1.) Nvå : Maxmera täcknngsbdrag (produktval)
Läs merFörstärkare Ingångsresistans Utgångsresistans Spänningsförstärkare, v v Transadmittansförstärkare, i v Transimpedansförstärkare, v i
Elektronk för D Bertl Larsson 2013-04-23 Sammanfattnng föreläsnng 15 Mål Få en förståelse för förstärkare på ett generellt plan. Kunna beskrva olka typer av förstärkare och krav på dessa. Kunna förstå
Läs merför alla i Landskrona
, den 3 september LANDSKRDlHLA 2015 STAD K015/[\flUf STYRELSEN 201509 0 7 Ank. Darenr. ldossenr. Moton: Utrymme för alla Regerngen beslutade antalet maj 2008 nleda ett urbant bostadråden männskor de mest
Läs merSteg 1 Arbeta med frågor till filmen Jespers glasögon
k r b u R pers s e J n o g ö s gla ss man m o l b j a M 4 l 201 a r e t a m tude teg tre s g n n v En ö Steg 1 Arbeta med frågor tll flmen Jespers glasögon Börja med att se flmen Jespers glasögon på majblomman.se.
Läs merA2009:004. Regional utveckling i Sverige. Flerregional integration mellan modellerna STRAGO och raps. Christer Anderstig och Marcus Sundberg
A2009:004 Regonal utvecklng Sverge Flerregonal ntegraton mellan modellerna STRAGO och raps Chrster Anderstg och Marcus Sundberg Regonal utvecklng Sverge Flerregonal ntegraton mellan modellerna STRAGO
Läs merIndustrins förbrukning av inköpta varor INFI
Statstska centralbyrån SCBDOK 3.2 (37) Industrns förbruknng av nköpta varor INFI 2003 NV006 Innehåll 0 Allmänna uppgfter... 2 0. Ämnesområde... 2 0.2 Statstkområde... 2 0.3 SOS-klassfcerng... 2 0.4 Statstkansvarg...
Läs merHur har Grön Flagg-rådet/elevrådet arbetat och varit organiserat? Hur har rådet nått ut till resten av skolan?
I er rapport dokumenterar n kontnuerlgt och laddar upp blder. N beskrver vad n har gjort, hur n har gått tllväga arbetsprocessen och hur eleverna fått nflytande. Här fnns utrymme för reflektoner från elever
Läs merArbetskraftskostnadsindex 2008=100
Handböcker 47b Arbetskraftskostnadsndex 2008=100 Användarens handbok Handböcker 47b Arbetskraftskostnadsndex 2008=100 Användarens handbok Helsngfors 2013 Förfrågnngar: Pekka Haapala Hanna Jokmäk +358 9
Läs merOptimering av underhållsplaner leder till strategier för utvecklingsprojekt
Opterng av underhållsplaner leder tll strateger för utvecklngsprojekt Ann-Brh Ströberg 1 och Torgny Algren 1. Mateatska vetenskaper Chalers teknska högskola och Göteborgs unverset 41 96 Göteborg 31-77
Läs merFaradays lag. ger. Låt oss nu bestämma den magnetiska energin för N st kopplade kretsar. Arbetet som kretsarnas batterier utför är
9. Magnetsk energ Faradays lag [RM] ger E dφ dt (9.5) dw k IdΦ + RI dt (9.6) Batterets arbete går alltså tll att bygga upp ett magnetskt flöde Φ och därmed motverka den bromsande nducerade spännngen, och
Läs merNyföretagande inom den offentliga sektorn ett lönelyft för de anställda Johan Kreicbergs och Carl Oreland
www.svensktnarngslv.se storgatan 19, 114 82 stockholm, telefon 08-553 430 00 Nyföretagande nom den offentlga sektorn ett lönelyft för de anställda Johan Krecbergs och Carl Oreland Maj 2009 Innehåll 1 Innehåll
Läs merKonsoliderad version av
Konsolderad verson av Styrelsens för ackredterng och teknsk kontroll föreskrfter (STAFS 1993:16) om EEG-märknng av flaskor som tjänar som mätbehållare (STAFS 2011:7). Ändrng nförd t.o.m. STAFS 2011:7 Föreskrfternas
Läs merTNK049 Optimeringslära
TNK049 Optmerngslära Clas Rydergren, ITN Föreläsnng 10 Optmaltetsvllkor för cke-lnjära problem Icke-lnjär optmerng med bvllkor Frank Wolfe-metoden Agenda Optmaltetsvllkor för cke-lnjära problem Grafsk
Läs merMätfelsbehandling. Medelvärde och standardavvikelse
Mätfelsbehandlng I alla fskalska försök har de värden an erhåller er eller ndre hög noggrannhet. Ibland är osäkerheten en ätnng fullständgt försubar förhållande tll den precson an vll ha. Andra gånger
Läs mer