1. Inledning s Teori bakom reversionspendeln s. 3

Transkript

1 Abstract In ths master's thess the problem of determnn the uncertanty for an estmator of an unknown parameter s consdered. The case we study s the estmaton of ravty usn a reversble pendulum. Ths nvolves the estmaton of the pont where two reresson lnes ntersect. The estmated ravty s a functon the coordnates of ths pont. One way to determne the uncertanty of ths estmator s to use bootstrap methods. In ths paper three dfferent bootstrap methods are consdered. To compare these three methods the bas and the standard devaton of the methods are evaluated. The results show that all three methods are qute satsfyn but one method s a lttle better than the others.

2 Innehållsförtecknn. Inlednn s.. Teor bakom reversonspendeln s Bestämnn av tyndacceleratonen s. 3. Modellantaande s Resultat för rörl e s Resultat för fast e s Beräknn av tyndacceleratonen s Bestämnn av osäkerheten s Bootstrapmetoder s. 9. Bootstrap med ornaldata s. 6. Smulernsstude s Smulerade dataset s Skattnn av med smulerat dataset s Bootstrap med smulerat dataset s Sammanfattnn s. 7 Referenser s. 9 Appendx s. Appendx s. Appendx 3 s. 6

3 . Inlednn I detta examensarbete betraktas problemet med att bestämma osäkerheten hos en skattnn av en okänd parameter. Det fall v kommer att studera äller skattnnen av tyndacceleratonen med hälp av en reversonspendel. Generellt är en skattnn en funkton baserad på ett antal observatoner. Om funktonen är komplcerad leder detta tll svårheter med att bestämma osäkerheten. Utående från ett observerat datamateral kan man skapa fktva datauppsättnnar. För vare fktv datauppsättnn kan v blda enskattnn så kallad bootstrapskattnn av tyndacceleratonen. Förhoppnnsvs kommer dfferensen mellan bootstrapskattnnen och det skattade värdet baserat på det observerade datamateralet att uppföra s unefär som dfferensen mellan skattnnen och den okända parametern. Genom att blda måna bootstrapskattnnar kan v blda oss en uppfattnn om osäkerheten hos skattnnen. För att öra mätnnar som tllodoser oss med ett datamateral för bestämnn av tyndacceleratonen används en så kallad reversonspendel. I kaptel fnns en utförl beskrvnn av den bakomlande teorn om reversonspendeln och en utförl beskrvnn av hur man med reversonspendeln kan anskaffa de behövla mätvärdena. Kaptel 3 behandlar hur man skattar tyndacceleratonen och vlka modeller som ansätts för att öra detta mölt. Man har valt att använda enkel lnär reresson och utfrån dessa modeller kan man sedan beräkna fram ett skattat värde för tyndacceleratonen. I kaptel 4 föler en beskrvnn av tre olka bootstrapmetoder som kommer att betraktas denna rapport. För en av bootstrapmetoderna vsar v att vet ett datamateral kommer fördelnnen för dfferensen mellan bootstrapskattnnen och tyndacceleratonen att konverera mot samma fördelnn som dfferensen mellan tyndacceleratonsskattnnen och den sanna tyndacceleratonen ör när antalet mätnnar växer. Resultatet av bootstrapmetoden med de olka metoderna fnns samlade kaptel och kaptel6. Skllnaden är att kaptel är bootstrap utförd på verkla data medan kaptel 6 har v använt oss av smulerade dataset där v har kontroll på den sanna fördelnnen för skattnnen. I dessa kaptel fnns ämförelser mellan metoderna s hur de skler s mellan varandra men även ämförelser med den asymptotska fördelnnen. V fann att de tre bootstrapmetoderna som användes funerade bra varav en av metoderna av en anns bättre resultat än de andra.

4 . Teor bakom reversonspendeln För att få en nskt hur man med hälp av en reversonspendel klarar att öra en uppskattnn av tyndacceleratonen föler en teoretsk bakrund som beskrver hur man ör detta mölt. En pendel som består av en punktformad massa upphänd en oelastsk tråd brukar betecknas som en matematsk pendel. För små värden på utslasvnkeln så blr peroden svännnstden för en matematsk pendel T l π () där l är pendelländen. Ur denna ekvaton kan bestämmas om T och l är kända. En fyssk pendel defneras som en stel kropp som är upphänd krn en axel som nte år enom masscentrum MC. Se fur. Fur. Furen föreställer en fyssk pendel med massan m som är upphänd punkten P. Avståndet mellan P och MC betecknas med r och utslasvnkeln med θ. Pendeln sväner vertkalplanet. Peroden för den fysska pendeln ser ut som T I p π () mr där m är massan I p är tröhetsmomentet med avseende på upphännnspunkten P och r är avståndet mellan P och MC. En ämförelse av ekvaton () och () vsar att peroden är densamma för de båda pendlarna om I p l mr (3) 3

5 där l kallas den fysska pendelns ekvvalenta pendelländ och är alltså den länd en matematsk pendel skall ha för att sväna med samma perod som den fysska. Ur ekvaton () kan v utläsa hur l och därmed T ändras när r ändras. Om man använder parallellaxelsatsen (se Steners Sats Maron Thornton[]) förtydlas detta. Satsen aner hur tröhetsmomentet I P med avseende på punkten P relateras tll tröhetsmomentet I MC med avseende på MC under förutsättnn att rotatonsaxlarna är parallella dvs. I p I MC + mr. Genom att ersätta I P ekvaton (3) erhålls I MC + mr l mr I MC mr + r. (4) Det som bör uppmärksammas från ekvaton (4) är att det enda som er en skllnad perodtden är olka avstånd r från masscentrum. En lösnn tll ekvaton (4) es om man skrver om ekvatonen tll en andraradsekvaton r I l r + m MC som er två lösnnar tll r för vare vet värde på l nämlen r och r. Rötternas summa kommer att vara lka med l dvs. r + r l. Nu kan man se att om man httar två svännnsaxlar på olka avstånd från MC men med samma perod så blr summan av axelavstånden tll MC lka med pendelns ekvvalenta länd l. Det är detta faktum som används för att bestämma tyndacceleratonen med den s.k. reversonspendeln. Nedan fnns en bld (fur ) som vsar reversonspendeln som används samband med mätnnar. Fur. Reveronspendeln består av en pendelstån med två mot varandra vända ear och som pendeln roterar krn. Den ena är fast och den andra är rörl. Tdmätnnen sker elektronskt och avstånden mellan 4

6 earna ställs n mot en speelförsedd stållnal. Reversonspendeln består av en stålstav med lka stora cylndrar fästa vardera änden. Den ena cylndern är av plast och den andra är av stål. Syftet med att ha två lka stora cylndrar är att luftmotståndet skall vara lka oberoende vlken av de två earna som pendeln sväner krn. De olka densteterna för cylndrarna har mätstratesk betydelse och bestämmer MC:s läe. Då peroderna för svännnar krn båda een är lka betyder det att avståndet r + r mellan earna är lka med den ekvvalenta pendelländen l. Genom att öra ett antal mätserer kan peroden T och avståndet l bestämmas på ett norant sätt. Tyndacceleratonen kan nu bestämmas ur ekvaton () utan att den besvärla beräknnen av tröhetsmoment för pendeln behöver utföras. 3. Bestämnn av tyndacceleratonen En raf av hur peroden svännnstden beror på länden av den reversonspendel v använder llustreras fur 3. Vd mätnnarna fnns två olka perodtder som er den ekvvalenta pendelländen. Den vänstra av de två skärnnspunkterna är dock ontressant eftersom de båda svännnsaxlarna befnner s på unefär samma avstånd från masscentrum. Detta medför att tröhetsmomentet blr okänt och svårbestämt vlket leder tll problem med att bestämma l och därmed ur ekvaton (). Genom att väla den höra skärnnspunkten undvks detta problem. Notera att öknnen är postv nära den höra skärnnspunkten för båda kurvorna när l ökar. Fur 3. Grovbestämnn av skärnnspunkterna mellan svännnstderna hos pendlarna med rörl och fast e.

7 Den slutla fnbestämnnen av skärnnspunkten örs ett ntervall närheten av den höra skärnnspunkten fur 3. I vårt fall blr ntervallet meter. Data som används vd framtann av dessa båda modeller har fem mätvärden på vare pendelländ. Mätvärdena som v erhöll vd den slutla fnbestämnnen av skärnnspunkten för de båda een presenteras som tabell Appendx. För att uppskatta skärnnspunkten kan v utnytta reressonsanalys. 3. Modellantaande Eftersom v studerar ett kort ntervall ( ) kan v anta att kurvorna är nåorlunda lnära dvs. att v kan använda enkla lnära reressonsmodeller. V plottar mätdata se fur 4 för att få en uppfattnn hur det ser ut. För rörl e ser man ett tydlt lnärt samband men det för fast e är det nte lka lnärt. Rörl e Fast e Svännnstd Rörl 9 94 Svännnstd Fast Länd Länd Fur 4. Mätdata för rörl respektve fast e. Låt oss ansätta fölande reressonsmodeller för de båda een: y k + x x) + ε där ε k N( σ ) k () ( k där y-koordnaten är svännnstd x-koordnaten är pendelländ och x.9m är medelvärdet för de pendelländerna. För att beräkna de skattade värdena på och för respektve modell används mnsta kvadratskattnnar som kan hämtas ur t.ex. Blom [] och ser ut som: ( x x)( yk y ) k y yk. (6) k ( x x) k Gvet reressonsmodellen () kan v bestämma en teoretsk formel för tyndacceleratonen. Den ekvvalenta pendelländen l kan bestämmas på fölande sätt + ( l x) + ( l x) l ( ) + x( ). 6

8 Den teoretska formeln för tyndacceleratonen kan nu bestämmas från ekvaton () och blr ( ) 4π ( )( ) + x( ) ) ( ) Fölaktlen skattas med ( ) (7) där är motsvarande reressonsskattnnar Resultat för rörl e Enkel lnär reresson av fölande modellanpassnn: y ( x ) där x.9. (8) x Här erhålles ett relatvt bra värde på förklarnsraden nämlen 8.%. Skattnnen av standardavvkelsen σ blr s.43 och en resdualanalys presenteras fur. Resdual Model Danostcs Normal Plot of Resduals I Chart of Resduals 6 3SL7 Resdual Resdual X SL-E Normal Score Observaton Number Hstoram of Resduals Resdual Resdual - Resduals vs. Fts Ft Fur. Resdualplottar vd modellanpassnn för rörl e. V ser att resdualerna verkar vara normalfördelade men blden nere tll höer tyder på heteroskedaststet dvs. varansen beroende av x-varabeln. Man kan använda vktad reressonsanalys för att undkomma detta problem men det används e här. För att verfera att resdualerna är normalfördelade örs ett normalfördelnnstest (Anderson-Darln). Testet er ett p-värde på.787 >. och v kan alltså nte förkasta hypotesen att de är normalfördelade. När man har replkat på sna predktorer kan det vara lämplt att öra ett lack-of-ft test dvs. testa om v har ett enkelt lnärt samband mot att sambandet är en odtyckl funkton x. Detta nnebär att resdual error kvadratsumma delas upp pure error kvadratsumma (fel nom replkat) och lack-of-ft error kvadratsumma. Sedan kan man använda F-testet för att se om modellen är lämpl. Nollhypotesen som testas är H : modellen är sann. För modellen 7

9 erhålls ett F-värde. och p-värdet för F-testet blr.39 >. alltså kan v e förkasta hypotesen att sambandet är enkelt lnärt Resultat för fast e Enkel lnär reresson er fölande modellanpassnn: y.96 +.( x ) där x.9. (9) x Förklarnsraden blr 4.4% som är annen sämre än den som erhölls med rörl e. Skattnnen av standardavvkelsen för denna modell blr s.374 och en resdualanalys presenteras fur 6. Resdual Model Danostcs Normal Plot of Resduals I Chart of Resduals 3SL87E-4 Resdual Resdual 6 X Normal Score - Observaton Number -3SL-88E-4 Hstoram of Resduals Resdual Resdual Resduals vs. Fts 9 Ft 9 Fur 6. Resdualplottar vd modellanpassnn för fast e. V ser att resdualerna verkar normalfördelade och att resdualerna är homoskedastska dvs. de beror nte av x-varabeln. Även här örs ett normalfördelnnstest(anderson-darln) för resdualerna. Vd normalfördelnnstest för resdualerna får man ett p-värde.94 och v kan nte förkasta att de är normalfördelade. Vd lack-of-ft analysen som örs för att testa hypotesen att sambandet är enkelt lnärt erhåller v ett p-värde. <. dvs. v förkastar hypotesen rmltvs borde modellen e accepteras. 3.. Beräknn av tyndacceleratonen De skattade värdena på konstanterna och för modellerna plus respektve modells skattade standardavvkelse sammanfattas tabell. Tabell. Skattade konstanter för reressonsmodellerna. Rörl e.94 Fast e s.43. s.374 När v nu känner skattnnen av och för de båda modellerna kan v nu erhålla ett skattat värde för tyndacceleratonen enom ekvaton (7) dvs. 8

10 4π ( ) 4π ( )( ) ( + x ) ( ) (.96.94)(.66.) +.9(.66.) ) ( ) m/s. 4. Bestämnn av osäkerheten När man bestämt en skattnn ĝ av är det naturlt att undersöka hur fördelnnen tll ĝ ser ut. Känner v fördelnnen kan v bestämma osäkerheten skattnnen blda konfdensntervall och så vdare. För att uppskatta fördelnnen fnns det olka tllväaånssätt. V kommer att betrakta olka så kallade bootstrapmetoder för att skatta fördelnnen för. V studerar även en asymptotsk lösnn dvs. en uppskattnn av fördelnnen för ĝ där asymptotsk teor används. 4. Bootstrapmetoder Bootstrap är en metod som prncp skapar nya fktva datauppsättnnar enom drann med återlänn från det ursprunla datamateralet. För vare sådan fktv datauppsättnn kan v sedan blda en fktv uppskattnn av en så kallad bootstrapskattnn. Idén är att sådana fktva skattnnars avvkelse från ĝ skall unefär bete s som. Genom att blda måna bootstrapskattnnar av kan v med t.ex. emprska fördelnnsfunktonen få en uppfattnn om fördelnnen för. Tre olka varanter av bootstrapmetoden dvs. olka sätt att skapa fktva datauppsättnnar beskrvs nedan och vd samtla tre metoderna så utår v från de ornal observatonerna på fast respektve rörl e. Bootstrapmetod. Utående från vårt observerade data och reressonsanpassnnar kan v skapa stycken resdualer för både den rörla och den fasta een dvs. e y ( x x)... k.... k k k Därefter drar man slumpvs stycken resdualer betecknade e... e från e... e med återlänn vlket medför bl.a. att man kan ta samma resdual flera åner. För vare draen resdual e k sätter man n dem respektve modell för att erhålla ett fktvt dataset. V får y + k k ( x x) e k y + k k.96 +.( x x) e k 9

11 där x k ( ) är pendelländen och x (.9m) är medelvärdet av pendelländerna. För de båda een kommer man att få fem smulerade perodländer på var och en av de fem pendelländerna. För att sedan beräkna de skattade värdena på och för vare dataset används samma formler som tdare dvs. ) ( ) )( ( k k k x x y y x x k k y. För att erhålla det skattade värdet ĝ (bootstrapreplkat) för används uttrycket ( ) ( )( ) ( ) ( ). 4 π + x Denna procedur upprepas för vare nytt fktvt dataset man smulerar. Bootstrapmetod. I metod väler man slumpvs stycken värden med återlänn från respektve dataset. I det här fallet kommer man nte nödvändtvs att få fem observatoner på vare pendelländ. Detta nnebär att medelvärdet på pendelländerna kommer att varera för vare nytt data man plockar vd smulernen. Det medför sn tur efter att man har skattat och enlt (6) får använda en nytt uttryck för att beräkna tyndacceleratonen dvs. ( ) ( )( ) ( ) ( ) 4 π + x x där och x x är medelvärdet av pendelländerna för rörl respektve fast pendelländ. För att erhålla ett skattat värde på tyndacceleratonen används slutlen samma tllväaånssätt som för metod. Bootstrapmetod 3. En varant av metod är att man drar fem observatoner på vare pendelländ med återlänn. Anlednnen tll detta är att man vll ha fem observatoner per pendelländ. Detta örs för både den fasta och rörla een. För att sedan erhålla ett bootstrapreplkat används samma tllväaånssätt som vd den första metoden. Detta är de tre bootstrapmetoderna v kommer att betrakta. För bootstrap metod kommer v att vsa att fördelnnen för ( ) n och den betnade fördelnnen för ( ) n vet den observerade datauppsättnnen konvererar mot

12 samma normalfördelnn när n växer. För ändla datauppsättnnar uppför s n n ör. förhoppnnsvs ( ) Låt oss sammanfatta detta en sats. unefär som ( ) Sats : Anta att modellerna kan skrvas som y + x x) + ε där ε k N(σ ) k ( k > m n x k k m och ( ) n x k x n k och. Anta också att det exsterar ändla konstanter h och h > så att sup x h n nf h. V har då att F ( ) N( σ ) och vet en datauppsättnn kommer sannolkhet där ( ) σ n F ( ) N( σ ) ( ) ( ) σ + σ M + σ + ( ) + σ M och M m m ( x k x) ( x x) k. Bevs av satsen fnns Appendx. Notera att vllkoren betyder att x-värdena får e la för lånt från varandra om de ör det kan man e heller använda enkel lnär reresson vd skattnn av tyndacceleratonen (se fur 3). Varansenσ skattas enom att substtuera - och -parametrarna mot sna respektve skattnnar och σ och σ substtueras mot s.43 respektve s.374. För n behöver man även veta hur dervatorna ser ut för att kunna beräkna varansen för ( ) och. Bestämnnen av dervatorna kan öras t.ex. med prorammet Maple eller Mathematca och sälva dervata uttrycken skrvs e ut här eftersom de blr väldt låna. Värdena för respektve dervata vårat fall blr

13 -.6946π π.96776π π. När man beräknat dessa fyra kan man sedan öra den slutla beräknn för att erhålla n. varansen för ( ) σ ĝ ĝ ĝ ĝ M + s + s + s s M blr Detta er att standardavvkelsen för den asymptotska fördelnnen av n( ) Bootstrap med ornal data Man är ntresserad av att skatta fördelnnen för ĝ - där är den sanna tyndacceleratonen. Detta kan man uppskatta med hälp av bootstrap. Eftersom man nte känner så uppskattar man ĝ - med - där ĝ är skattnnen baserad på ornal stckprovet och är vare bootstrapreplkat. Beräknnen av ĝ ordes kaptel 3 som av resultatet ĝ Med de erhållna värdena från mätnnarna (se Appendx ) så ordes en stude med de tre olka bootstrapmetoderna som presenterades kaptel 4. Prorammen som utför beräknnarna är skrvna Pascal. Som slumptalsenerator används en enerator föreslaen av Marsala och Zaman [3] där fyra startvärden måste anes. Vd alla tre metoderna så används upprepnnar. Skattnnen av basen och standardavvkelsen beräknas enlt: bas ĝ ( ) respektve s ( ) n där är medelvärde av bootstrapreplkaten. Men för att kunna ämföra standardavvkelsen med den asymptotska lösnnen där beräknnen ordes för n( ) kommer v att multplcera s med där är antalet observatoner från ornal data. Ett (-) %-t konfdensntervall för skattnnen beräknas på fölande sätt. Ranordna alla bootstrapreplkat storleksordnn. V får ( ) ()... (). Blda sedan konfdensntervallet på formen ( ). ( / ) ( / )

14 Om v väler 9%-a konfdensntervall ser det ut som ( ). ( 977) Nedan föler tabell 3 med resultaten över de tre olka metoderna för två olka startvärden för enerern av bootstrapreplkat. Tabell 3. Skattnn av bas och standardavvkelse med ornal data. Metod Startvärden (Marsala) Bas Standardavvkelsen (s ) KFIV (9%) (Bootstrap) ( ) ( ) (3 9 ) ( ) ( ) ( ) (3 9 ) ( ) 3 ( ) ( ) 3 (3 9 ) ( ) Som man kan utläsa av tabellen verkar det nte nåon större skllnad mellan de tre metoderna. V får en lten bas för samtla tre metoderna och tttar man på standardavvkelsen ler den annen höre än den asymptotskt beräknade standardavvkelsen(.98444) kaptel 4. Den metod som er den lästa standardavvkelsen är metod. I fur 7 fnns hstoram över samtla tre metoder utående från ornal data. Metod Metod () : : Metod : Fur 7. Hstoram för bootstrapskattnnarna av med de tre bootstrapmetoderna. Alla tre hstorammen för de olka metoderna ndkerar att data kan vara normalfördelat. Det kan vara ntressant att undersöka hur stor varatonen är mellan de olka metoderna. 3

15 Om man för vare metod ör to skattnnar av tyndkonstanten på samma sätt som tdare och sedan ämför standardavvkelsen mellan vare skattnn kan man få ett svar på vlken metod som har mnst sprdnn. För att beräkna standaravvkelsen mellan skattnnarna för metoderna används denna formel s m ( σ σ ) n (8) där σ är den skattade standardavvkelsen för vare fktvt dataset och σ är medelvärdet för alla to standardavvkelserna nom en metod. Resultaten över analysen för metoderna fnns samlade tabell 4 nedan. Tabell 4. Jämförelse mellan bootstrapmetoderna. Metod Medelstandardavvkelse Standardavvkelse mellan ( ŝ m ) Asymptotsk (s) Medelbas Som tabellen vsar är metod den som har den mnsta sprdnnen av de tre. Det man kan säa om de två andra metoderna är att för att få samma norannhet med metod som för metod måste man använda fem åner så måna upprepnnar och för metod 3 behöver man använda dubbelt så måna upprepnnar. Jämför v standardavvkelsen mot den asymptotska lösnnen(.98444) ser v att den blr större här för samtla tre metoder. 6. Smulernstuder En analys som kan vara ntressant är att ämföra vad som händer om v smulerar ett dataset dvs. antar att modellen är sann och beräknar skattnn av bas och standardavvkelsen. 6. Smulerade dataset Nu vll v smulera stycken mätvärden fem på var och en av de fem pendelländerna som kommer att e oss ett nytt dataset. Detta uppnås enom att smulera ett värde på ε där v valt att sätta standardavvkelsen tll.4 och sedan stoppa n värdet reressonsmodellen som v har ansatt sen tdare(se kaptel 3). För att enerera slumptalen från Normalfördelnn med väntevärde noll och varans ett (N()) så används en procedur som kallas Polar Marsalasmetoden(se t.ex. Ross [4]). 4

16 För att nu erhålla det smulerade värdet på ε multplcerar man bara det erhållna slumptalet från N() med standardavvkelsen.4. Denna procedur upprepas åner för båda modellerna. Fölaktlen kommer man att erhålla nya mätvärden på perodländen för samtla pendelländer för de båda olka een enom att stoppa n värdet respektve reressonsmodell. Rörl: Fast: y k ( x x) + ε k y k.96 +.( x x) + ε k k k därε k är smulerade slumptal. Nu kan man erhålla ett smulerat dataset med så måna observatoner man vll på vare pendelländ. I vårat fall har v valt fem observatoner på vare pendelländ( ) dvs. totalt stycken observatoner. 6. Skattnn av med smulerat dataset När v har ett smulerat dataset vll v nu ta fram en skattnn av fördelnnen på ĝ på samma sätt som kaptel 3. För att kunna htta skärnnspunkten x för vare nytt smulerat dataset så skattar v och för de båda een utfrån vare ensklt smulerat dataset. Skattnnarna av och är de samma som kaptel 3. När man sedan har beräknat skattnnarna så använder man s av samma tllväaånssätt som tdare fast med skattade värden för att få ett nytt skattat värde på (ekvaton 7). Denna procedur upprepas för vare smulerat dataset. När man sedan har önskat antal skattnnar kan man blda s en uppfattnn hur fördelnnen för den teoretska skattnnen av tyndacceleratonen ser ut. Det skattade värdet på tyndacceleratonen är ett medelvärde från vare skattat ĝ. Vd vare körnn så smuleras dataset. Det betyder att skattnnen av tyndacceleratonen es av. I tabell fnns resultat från två körnnar av prorammet. Bas och standardavvkelsen beräknas enlt (9) bas ĝ ( ) s ( ) n där ĝ är vare enskld skattnn av medan är medelvärdet. Från kaptel 3 har v bestämt tll och det är detta värde som använts v beräknn av bas. Som tdare multplceras s med. Ett approxmatvt (-) %-t konfdensntervall för baserat på ett stckprov es av Tabell. Resultat av teoretsk skattnn. ± λ / s.

17 Startvärden Bas Standardavvkelsen (s) (Marsala) Resultatet er en lten bas och en standardavvkelse som ler närheten av de tdare resultaten. Om v tttar på hstorammen nedan så kan v få en nblck på hur fördelnnen ser ut Fur 8. Hstoram för bootstrapskattnn av. Båda hstorammen vsar att man skulle kunna ana normalfördelnn för skattnnen. 6.3 Bootstrap med smulerat dataset En ntressant undersöknn är att även öra bootstrap med ett smulerat dataset. V smulerar to olka dataset på samma sätt som beskrvts ovan sekton 6.. Sedan utförs bootstrap med var och en av de tre metoderna från kaptel 4 på respektve dataset. För vare smulerat dataset beräknas även det asymptotska värdet för standardavvkelsen. V tttar även här på hur stor varatonen blr mellan metoderna när v beräknar basen. Vd beräknn av standardavvkelse ŝ m mellan metoderna används ekvaton (8). Beräknnen av standardavvkelsen beräknas på samma sätt som tdare. Nedan föler tabell 6 med resultaten över studen där v har beräknat medelvärdet för de olka varablerna från de to dataseten. Resultaten för vare ensklt smulerat dataset fnns Appendx 3. Tabell 6. Jämförelse mellan de tre bootstrapmetoderna med smulerat dataset. Metod Standardavvkelse (s) Standardavvkelse mellan ( ŝ m ) Asymptotsk (s) Medelbas Tabellen vsar att det nte är nåon större skllnad mellan metoderna. Det man kan säa är att metod har annen större medelstandardavvkelse än de andra men metoden har den mnsta sprdnnen dvs. man måste använda fler upprepnnar med de andra metoderna för att få samma norannhet. För samtla tre metoder så ler standardavvkelsen lte läre än för den skattade standardavvkelsen (se tabell ) och det samma äller för den asymptotska standardavvkelsen som även den underskattar. 6

18 Det man kan utläsa ur tabellen från Appendx 3 är att det blr relatvt stora skllnader beroende på vlket dataset man utför bootstrap med. Det man kan påpeka är att metod alltd har en neatv bas som är lten medan för metod och 3 växlar tecknet för basen som är betydlt större här än metod. I fur 9 studeras hstorammen för respektve metod när v använder dataset. Metod Metod : :... Metod :... Fur 9. Hstoram vd skattnn av med smulerade dataset. Alla tre hstorammen ndkerar en tydl normalfördelnn för alla tre metoderna. 7. Sammanfattnn Här föler en kort sammanfattnn av våra resultat. De mätvärdena för fast respektve rörl e som erhölls med reversonspendeln vd bestämnn av skärnnspunkten användes sedan för att ansätta två reressonsmodeller. V använde enkla lnära reressonsmodeller eftersom ntervallet ( ) är ltet och det av fölande resultat: Rörl : y ( x x) Fast : y.96 +.( x x) där x.9. Med hälp av dessa två modeller kan man sedan erhålla en skattnn av tyndacceleratonen. Det skattade värdet på tyndacceleratonen utående från det data v hade tllänlt blr m/s. 7

19 För att ta reda på hur bra skattnnen ĝ är av användes bootstrap. Tre olka bootstarpmetoder betraktades. Även en asymptotsk lösnn för att beräkna standardavvkelsen för fördelnnen för n( ). Resultatet av dessa beräknnar av en skattnn av standardavvkelsen som blev Med de tre bootstrapmetoderna skattades fördelnnen och standardavvkelsen för n( ) med ornal data och även med smulerade dataset. Resultatet av detta llustrerades delvs tabell 4 och tabell 6 och man kan sammanfatta resultaten som: Metod är den vars bas är mnst påverkbar beroende vlket dataset man använder. Metoden är den som har läst standardavvkelse ämfört med de andra metoderna vd bootstrap med ornaldata och det blr nen nämnvärd skllnad på standardavvkelsen med smulerade dataset. Sprdnnen mellan skattnnarna är mnst för metod oberoende vlket dataset som används. Metod och 3 uppför s relatvt lka vd bootstrap med ornal data har båda metoderna en anns större standardavvkelse och bas än metod. Gemensamt för båda metoderna är en läre standardavvkelse än metod när man använder smulerade dataset dvs. tvärtom mot för med ornaldata. Däremot blr sprdnnen mellan skattnnarna betydlt större när man använder smulerade dataset än med ornal data. Den metod som är mnst känsl beroende på vlket dataset som används verkar vara metod och det är den metod som er den bästa norannheten. Tack Ja skulle vla tacka mn handledare Lef Nlsson för hans hälp ntresse och stöd under examensarbetets ån. 8