1. Anpassningstest. Chi-Square test. Multinomial experiment. Multinomial experiment. Vad gör g r ett anpassningstest?

Transkript

1 Ch-Square test 1. Anpassnngstest 1. Anpassnngstest (Goodness of Ft). Oberoendetest (Independence Test) Vad gör g r ett anpassnngstest? Hur bra passar en statsts modell tll observerade data? (är modellen bra?) Följer observatonerna en förmodad fördelnng? 1. Är mna data normalfördelade?: Kolmogorov Smrnov test (Mntab) Shapro Wl test Anderson Darlng test.... Multnomal experment: Får jag resultat som jag förväntar mg enlgt mn modell?: Pearson's ch-square test, Goodness of Ft test Multnomal experment Modell: rättvs tärnng, dvs. p =1/6 xperment: astar tärnngen 1 (=n) gånger expected =p n observed Med detta resultat handen: Kan jag fortfaranda tro att mn modell (rättvs tärnng) stämmer?... eller måste jag förasta denna (noll)hypotes? Summan över råden måste vara 1 en restrton Multnomal experment n testvarabel som mäter sllnaden Om resultatet hade vart som tabellen nedan hade jag väl förastad nollhypotesen (rättvs tärnng) expected =p n observed o = 1 Var går gränsen? Vlet värde får sllnaden mellan observed och expected maxmalt ha för att bbehålla H? (Hur mäts sllnaden överhuvudtaget?) v behöver en fördelnng för sllnaden, dvs. sannolheten att en vss sllnad uppstår! Om denna sannolhet är lten, förastar v H. 1 observed values O expected values Fördelnngen av denna testvarabel an ränas ut, gvet att nollhypotesen gäller (och att n är stor) Ch-Square fördelnngen ( ) OBS: Testvarabeln är -fördelad och allas ofta ocså

2 mäter sllnaden tll nollhypotesen Pearson's ch-square test Fördelnngen för testvarabeln är änd under H v an räna ut hur sannolt varje värde av testvarabeln är. V förastar nollhypotesen (dvs. modellen) om var observaton leder tll ett -värde som är mycet osannolt under H (t.ex < 5%) O O Sllnad mellan modell och observaton lten lten O O Sllnad mellan modell och observaton stor stor Densty,14,1,1,8,6,4,, Dstrbuton Plot Ch-Square; df=6 1,6,5 är alltd postv och nollhypotesen förastas för stora värden upper tal test O rt 1 testvarabel upper tal PDF beror påp antalet frhetsgrader Antalet frhetsgrader förf -testet Densty,5,4,3,,1 Dstrbuton Plot Ch-Square df antalet celler (6 för tärnngen) df df 1 antalet lnjära restrtoner (1 för tärnngen: summa för en råd = n) r p antalet parametrar som sattas för att få en modell, oftast är det bara så här, dvs. r=1 och p= Förutsättnngarttnngar bara om n är stor har summan en -fördelnng 5 varje cell slumpmässgt stcprov (som vanlgt) I don t t le mondays... Hjärtattac (n= patenter): Boomtown Rats O alla 5 söndag måndag tsdag onsdag torsdag fredag lördag Rsen jämnfördelad eller är måndag farlgare?

3 H p p p p p p p 1 : n n p 8.57 expected 7 n 5 oay 1 O Om hjärtattac är jämnfördelade och man regstrerar fall, så sulle det bl omrng 8/9 per dag H förastas nte! Tabell ce symmetrs!.5 rt tabell.5 Mntab Stat / Tables / Ch-Square Goodness-of-Ft Test chsquare.mpj O Mntab Ch-Square Goodness-of-Ft Test for Observed Counts n Varable: O Hstorcal Test Contrbuton Category Observed Counts Proporton xpected to Ch-Sq 1 4 8,57, ,5714, ,57, ,5714 1, ,57, ,5714, ,57, ,5714, ,57, ,5714, ,57, ,5714, ,57, ,5714,643 N DF Ch-Sq P-Value 6 3,63,77 Nollhypotesen förastas nte, högt p-värde. -1 hade v förut P-värdet Kvantl,14,1 Dstrbuton Plot Ch-Square; df=6,14,1 Dstrbuton Plot Ch-Square; df=6 Graph / Probablty Dstrbuton Plot / Vew Probablty Shaded area / Probablty =,5 Densty,1,8,6 Slh. att testvarabeln blr så stor som det blev eller ännu mera extremt Densty,1,8,6,4,, 3,63,77,4,, 1,6,5 det var värdet för testvarabeln det var vad v ocså httade tabellen f.5 6

4 Vlet värde v avver hur mycet från vara förvf rväntnngar? Jämförelse observed och expected Chart of Contrbuton to the Ch-Square Value by Category, 4 Chart of Observed and xpected Values xpected Observed Contrbuted Value 1,5 1,,5 andel tll : en stolpe = en summand Value 3, Category söndag måndag tsdag onsdag torsdag fredag lördag Category på måndag sljer sg det observerade värdet mest från förväntnngen Var fåglarna f söer s frö Antagandet (modell): Fåglarna föredrar nte någon sorts träd, de söer frö alla träd med jämn sannolhet ju mer träd av en vss sort föreommer, desto mer fåglar fnns där... xperment: n=156 fåglar observerades en sog Oregon ädelgran furu ust gran lär summa ronornas volym 54% 4% 5% 1% 1% expected 156,54=84,4 156,4=6,4 156,5=7,8 156,1=1, observed n 5 oay O rt sammanfattat 5 n=156 ädelgran furu ustgran/lär expected 84,4 6,4 9,36 observed Densty,5,4,3,,1, Ch-Square; df= H förastas.,5 5,99 Mannan, R.W., and.c. Meslow Brd populatons and vegetaton characterstcs n managed and oldgrowth forests, northeastern Oregon. J. Wldl. Manage. 48: för lten!! Mntab Stat / Tables / Ch-Square Goodness of Ft Results for: brd_pooled Mntab Ch-Square Goodness-of-Ft Test for Observed Counts n Varable: Obs Hstorcal Test Contrbuton Category Observed Counts Proporton xpected to Ch-Sq ,4,54 84,4, ,4,4 6,4 4, ,36,6 9,36,5954 N DF Ch-Sq P-Value 156 7,4181,4 P<.5: Nollhypotesen förastas. Uppenbarlgen föredrar fåglarna vssa träd.

5 Jämförelse observed/expected Måste man sammanfatta cellerna om n<5? Chart of Observed and xpected Values xpected Observed Man får alla fall en varnng. 6 Value Category 1 3 Hstorcal Test Contrbuton Category Observed Counts Proporton xpected to Ch-Sq ,4,54 84,4, ,4,4 6,4 4, ,8,5 7,8, ,56,1 1,56 3,81641 Som det ser ut, föredrar fåglarna ategor, alltså furu. Här fnns fler fåglar än förväntad under H. N DF Ch-Sq P-Value ,5934,4 1 cell(s) (5,%) wth expected value(s) less than 5. Mendel s s experment Mendel s s Law A a Allel A är domnant Om Mendel s lag gäller, så förväntar man sg en proporton 3:1 för runda:ynlga. Man observerade 43 runda och 133 ynlga ett sådant experment. Mendel orsade bara heterozygota bönor (allel-frevenserna är båda.5): A a A AA Aa a Aa aa Genotyper AA och Aa blr runda, bara genotyp aa blr ynlg. Om Mendel s lag gäller, så förväntar man sg en proporton 3:1 för runda:ynlga. rund ynlg O ¾= ¼= Ingen sgnfant sllnad mellan observed/expected. Ingen motsats tll modellen, dvs. ngen förastnng av Mendels lag genom detta försö. rt O xempel från changed! Hardy-Wenberg Wenberg-qulbrum Ofta vet man doc nte allel-frevenserna (p,q) från början som Mendels experment (där man hade p=q=.5 eftersom bara heterozygota bönor används) HW säger doc att allel-frevenserna förblr onstant Sattnng av allel-frevenserna Callmorpha domnula Lnnaeus, 1758 HW female A(p) a(q) A(p) AA(p ) Aa(pq) male a(q) Aa(pq) aa(q ) f ( AA) p f ( Aa) pq f ( aa) q Genotype Whtespotted(AA) Intermedate (Aa) Lttle spottng (aa) (=n) Number p ~ obs( AA).5obs( aa) och obs( AA).5obs( aa) p.97 n 161 q 1 p.93 a A q ~ obs( aa).5obs( aa)

6 Genotype Hardy-Wenberg Wenberg-qulbrum Whtespotted(AA) Intermedate (Aa) Lttle spottng (aa) (=n) Number xpected: p.97 ( AA) n p ( Aa) n pq ( aa) n q q Testvarabel: O Antalet frhetsgrader och det rtsa värdet O V har 3 celler, men v förlorar 1 df för en lnjär restrton och 1 df för en sattnng (allmänt för HW-test: df = antalet genotyper mnus antalet alleler) rt V förastar nte nollhypotesen att populatonen är HW.