Thomas Macks beräkning av standardfelet för reservavsättningar

Transkript

1 Thomas Macs beränng av standardfelet för reservavsättnngar Eva-Lena Tolstoy Rauto

2 Innehållsförtecnng 1. Inlednng...5. Teor Resdualplottar...6. Thomas Macs modell Svansfator Konfdensntervall Lognormalfördelnng Gammafördelnngen Stude Resultat Annan motorfordonsförsärng Konfdensntervall Relatva felet Trafförsärng Konfdensntervall Relatva felet Dsusson Slutsats Avslutnng Referenser Appendx Utbetalnngstranglar, B-euro, avrundade tal Resultat...3

3 Förord Jag vll taca mn handledare Helge Blaer, ansvarg atuare på If, för värdefulla synpunter och ommentarer. Dessutom vll jag taca alla hjälpsamma ollegor på If som har stöttat och hjälpt mg på ola sätt. Slutlgen vll jag ocså taca Dplomnämnden för deras synpunter och förslag på förbättrngar. 3

4 Sammanfattnng Beränng av reservavsättnngar an med ola metoder ge ola resultat och det är atuarens roll att bestämma vlen sattnng som anses vara den orreta. Chan-ladder-sattnngen används för att beräna utestående reserv. För att få en uppfattnng om osäerheten reservsattnngen beränas standardfelet enlgt Thomas Macs modell. V har tllämpat modellen både på en ortsvansad portfölj som annan motorfordonsförsärng och på en långsvansad portfölj som trafförsärngen. För den långsvansade portföljen har v nluderat en svansfator vd beränngen av reserven och standardfelet. V har även sattat onfdensntervall för de utestående reserverna, både för de enslda sadeåren och för summan av dessa, som utgör den totala reserven. Konfdensntervallen är sattade dels utfrån lognormalfördelnngen, dels med Wlson-Hlferty som är en numers approxmaton av gammafördelnngen. 4

5 1. Inlednng Ett sadeförsärngsbolag avsätter reserver för sador som har nträffat men där försärngsärendet ännu nte är slutreglerat. Det ommande solvensregelveret, Solvens, har sapat ett öat behov att unna satta osäerheten beränade reserver. Med anlednng av detta började v studera ola metoder för att unna satta osäerheten reservberänngarna. En ofta använd metod för att beräna sadereserver är chan-ladder-metoden. Metoden bygger på analys av sadehstor per sadeår och utveclngsår för att satta s.. utveclngsfatorer. För att satta osäerheten reserven valde v en metod framtagen av Thomas Mac som baserar sg på chan-ladder-sattnngen och tllämpade denna på två av våra försärngsportföljer. V har utgått från de teorer som Mac har sna modeller för att satta reserver, standardfelet hos dessa samt sattnng av deras onfdensntervall. För bolaget är det vtgt att reserverna för nträffade sador lgger på rätt nvå. För låga reserver nnebär att bolaget drabbas av avveclngsförluster och en rs att bolaget nte an lara av sna åtaganden. Om reserverna är för höga an följden bl att försärngsbolaget tar ut för höga premer och rserar därmed att förlora marnadsandelar och få mssnöjda under. Även av redovsnngstensa säl sa reservavsättnngarna vara på en orret nvå.. Teor Chan-ladder-metoden har fördelen att den fungerar utan nästan några antaganden så länge vlloret om oförändrat utbetalnngsmönster är uppfyllt. Metoden är determnsts och resultatet som erhålls är ett puntestmat. V utgår från en utveclngstrangel. Låt C vara det totalt acumulerade utbetalda beloppet för sadeår, 1, tll och med utveclngsår, 1. I detta fall avser både antalet sadeår och antalet år som det äldsta sadeåret är utveclat. Betrata C som en slumpmässg varabel som är änd om 1. Utgående från trangeln sattas den totala sadeostnaden C och den utestående reserven R C C, 1 för sadeår,...,. Vd chan-ladder-sattnng antas det fnnas utveclngsfatorer f1,..., f 1 0 med (.1) E( C, 1 C1,..., C ) = C f, 1 1, 1 1. Dessa utveclngsfatorer (.) f C 1 1 C F = f sattas vägd chan-ladder som C, C, där F C / C, 1 1, 1 1, är de, 1 ndvduella utveclngsfatorerna. I ovägd chan-ladder sattas utveclngsfatorerna med F * 1 det ovägda medelvärdet f. Företrädesvs används vtade medelvärden från (.) för att satta utveclngsfatorerna. På så sätt tar man hänsyn tll ola volymer för ola sadeår, då vterna är proportonella mot de acumulerade utbetalnngarna C. Den totala 5

6 sadeostnaden R C, 1 Csattas C C, 1 f... f 1 1 och reserven R sattas ( f... f 1). Dessutom görs antagandet att 1 1 C,..., C j 1,..., C j för ola sadeår j är oberoende. (.3) varablerna 1 C och.1 Resdualplottar Ett sätt att försära sg om att chan-ladder-sattnngen går att tllämpa på en gven utbetalnngstrangel är att plotta dess resdualer. Det är lätt att rta upp dessa plottar, men tdsrävande att analysera alla plottar. V har av tdssäl hoppat över detta vtga moment, men ger ändå ett exempel. Först plottas C, 1 på y-axeln mot C på x-axeln, för,..., 1. Sedan dras en rät lnje med lutnng f genom orgo. Detta upprepas separata plottar för alla utveclngsår, åtmnstone så länge det fnns tllräclgt med data. Chanladder-sattnngen är tllämpbar om alla punter är slumpmässgt fördelade, dvs. det nte går att urslja något mönster de upprtade plottarna. I nedanstående exempel har v för trafförsärngsportföljen valt =1, dvs. utbetalnngarna under andra utveclngsåret plottas mot första utveclngsåret för sadeår = 1987,..., 005. C C1 Fgur.1 Plot av C mot C 1 trafförsärngsportföljen.. Thomas Macs modell V sa nu försöa satta medelvadratfelet MSE C ) med hjälp av Thomas Macs stoastsa modell. För härlednng av formler och bevs hänvsar v tll Mac som har härlett och verferat nedanstående sna artlar, se Mac (1993) och Mac (1999). Mac antar nte någon parametrs modell för underlggande data. Sattnngen av utveclngsfatorerna görs med vägd chan-ladder-sattnng (.). Mac vsar att utveclngsfatorerna är en väntevärdesrtg sattnng under förutsättnng att (.1) är uppfyllt. Det är vtgt att omma håg att medelvadratfelet beränas under vlloret att man änner all data som man ( f 6

7 observerat så långt, eftersom man endast vll satta felet den framtda slumpmässgheten. Följande antagande om varans lgger tll grund för chan-ladder-metoden, (.4) Var ( C, 1 C1,..., C ) C, 1, 1 1. Mac har en sats för som gvet (.1), (.3) och (.4) vsar att = C C C, 1 f, 1, är en väntevärdesrtg sattnng av, 1. V behöver en sattnng även för 1. Mac föreslår att om f 1 =1 och om man antar att sadeutveclngen är avveclad efter -1 år, an man sätta 1=0. Om nte, föreslår han att man extrapolerar den vanlgtvs exponentellt avtagande seren 1,, 3, med ytterlgare ett tal genom att räva att 3 1. Det gäller åtmnstone så länge 4 3 >. Detta leder tll 1= mn, mn 3,. 3 Det här problemet exsterar nte om man antar att de använda tranglarna är färdgutveclade, vlet nnebär att man antar att det nte fnns någon varans den ssta fatorn. V har nu ommt fram tll den för våra beränngar vtga sattnngen av medelvadratfelet MSE ( R ) för vart och ett av sadeåren. Under antagandena (.1), (.3) och (.4) har Mac bevsat en sats som säger att standardfelet s. C ), som samtdgt är standardfelet av R C C, 1 sattnngen av reserven R C C, 1,ges av formeln 1 (.5) 1 1 ( s. C )) MSE( R ) C där 1 f C C j j 1 C C C,, 1, 1 f... f, , är sattade värden för framtda C och C. Formel (.5) an srvas om på nedanstående form 1 ( s. C )) C (( s. F )) ( s. f )) ) / f där ( s. F )) 1 ( 1 ( s. e.( f )) är en sattnng av Var f ) / j 1 av Var F C,..., C ) och ( C. är en sattnng j 7

8 Parametrarna f och j1 sattas enlgt ovan. Ur detta får man sattnngsfelet s. f ) / C och slumpfelet s. F ) / C för 1 eller j / för s. F ) C 1. Notera att slumpfelet beror av sadeår. Standardfelet av R, s. R ), är vadratroten ur medelvadratfelet MSE R ). Ofta vll man även ha standardfelet för den totala reservsattnngen R R (... R. I det här fallet an man nte bara addera värdena av ( s. R )),, eftersom de är orrelerade va de gemensamma sattnngarna av f och. Mac har bevsat en sats som säger att medelvadratfelet av den totala reservsattnngen R R... R an gvet (.1), (.3) och (.4) sattas som 1 / f ( s. R)) MSE( R) ( s. R )) C ( C j). Roten ur denna j 1 1 C n n1 formel ger oss predtonsfelet för den totala reserven. Ovanstående formel tar hänsyn tll orrelatonen mellan de ndvduella sadeåren och an användas för att beräna onfdensntervall för den totala reserven R..3 Svansfator Sadeutveclngen för sadeår är nte alltd avslutad efter år. Tll exempel an det fnnas brstande dataunderlag, eller portföljen är nte tllräclgt mogen. Därför används bland en s.. svansfator f ult 1 för att satta den slutgltga sadeostnaden C, ult med, ult C f ult, för sadeår,...,. C 1 Även det äldsta sadeåret =1, som v tdgare har betratat som färdgutveclat, får en sattad utestående reserv R 1 C 1 f ûlt 1 ). Svansfatorn sätts av atuaren som gör en egen värderng av vad hon eller han tror den framtda sadeutveclngen ommer att bl. Enlgt Mac (1999) an formel (.5) srvas på nedanstående reursva form ( s. C, 1 )) C (( s. F )) ( s. f )) ) ( s. C )) f s. C, 1 ) 0. Ovanstående formel an srvas om för att nludera en svansfator Notera att för ( s. C, ult )) C (( s. F, ult )) ( s. fult )) ) ( s. C )) f ult F, f och är ndex ult detsamma som. f ( med startvärde ult,. För C är stället ndex ult detsamma som 1. Förutom svansfatorn ult sa ytterlgare två värden f 8

9 sattas. Det första är en sattnng av s. f ult ), dvs. hur långt sljer estmatet ult från sanna värdet av f genomsntt. Den andra sattnngen avser s ) för motsvarande slumpfel ult. F,ult Var ( F,ult ), dvs. hur långt ommer varje ensld F, ult slja från f ult sntt. Den senare har v valt för sadeåret 3 och den används sedan för att beräna s ). F,ult f för övrga sadeår. Slutlgen erhålls den reursva formeln som v har använt vårt program för att satta den totala reserven för alla sadeår tllsammans, startvärde =1, ( s. C, 1 )) ( s. C )) f C ( s. F )) ( C ) ( s. f )) Konfdensntervall Eftersom fördelnngsfuntonen underlggande data nte är änd måste ytterlgare antaganden göras för att unna satta ett onfdensntervall för den utestående reserven. Det ovan beränade standardfelet s. R ) för reserven lgger tll grund för sattnngen av osäerheten när v sapar onfdensntervall. Enlgt Mac behöver v änna fördelnngsfuntonen för R. Så långt har v bara sattnngarna R och s. R ) av väntevärdet och standardavvelsen för denna fördelnng. Om antalet utestående sador är tllräclgt stort an man enlgt centrala gränsvärdessatsen anta att fördelnngen är normalfördelad med väntevärde la med puntsattnngen av R och standardavvelsen la med standardfelet s. R ). Ett symetrst 90 % onfdensntervall för R beränas som ( R s. R ), R 0,95 s. R 0,95 an därmed vara mycet sev även om )). Sattnngen R är en ce-lnjär funton av C C, och har ha en symetrs fördelnng, vlet heller nte nödvändgtvs är sant. I praten an därför fördelnngsfuntonen för R vara mycet sev. Därför väljer v att ttta på två andra fördelnngar stället för normalfördelnngen; lognormalfördelnngen och gammafördelnngen. Dessa båda fördelnngar tar hänsyn tll sevheten hos fördelnngen på ett mer realstst sätt än normalfördelnngen. Att välja en lognormal fördelnng stället för normalfördelnngen förhndrar ocså att man får en negatv nedre onfdensgräns, dvs. man undver ett onfdensntervall som nnehåller negatva reserver. En negatv reserv nnebär det här fallet att förväntade nbetalnngar överstger förväntade utbetalnngar. Normalt sett är detta nte en rmlg slutsats och även om så är fallet enstaa fall, vll en förstg atuare undva negatva reserver..4.1 Lognormalfördelnng Då vår fördelnngsfunton är sev tllämpar v lognormalfördelnngen på den. Den oända fördelnngen R sattas med en lognormalfördelnng med parametrarna och, där exp Om man löser detta för R och exp och (exp 1 ) får man = ( s. R )). 9

10 (.6) ( s. R )) ln 1 och R (.7) ln( R ). Med ovanstående formel sa v beränas ett 90 % onfdensntervall för varje 0,95 och R. Först tar v som motsvarar 95 % percentl hos normalfördelnngen. Sedan sätter v n värdena av från (.6) och (.7) exp, vlet är 95 % percentl hos 0, 95 lognormalfördelnngen, och därmed ocså approxmatvt hos fördelnngen av R. För att beräna en nedre 5 % percentl gör v på motsvarande sätt som med 95 % percentl fast med. Genom att ta dfferensen mellan de nu erhållna övre och nedre onfdensgränserna 0,05 erhålls onfdensntervallet som motsvarar 95 % - 5 % = 90 %. V är ntresserade av onfdensntervallet för den totala reserven R R 1... R. Först beränar v den övre 95 % onfdensgränsen för den totala utestående reserven R. Precs som ovan är lognormalfördelnngen med parametrarna och en approxmaton av fördelnngen hos R. Genom att tllämpa det numersa värdet av s. R) / R formel (.6) erhålls en sattnng av. På samma sätt som ovan erhålls en 95 % percentl som exp R *exp /. V betecnar värdet av den erhållna övre 95 % 0,95 0,95 percentlen med Y. Nu fördelar v det totala belopp Y på sadeår,..., 1 på ett sådant sätt att v får samma onfdensgräns för varje sadeår. Varje onfdensgräns motsvarar en specell percentl t hos normalfördelnngen. Motsvarande percentl för fördelnngen av R är enlgt ovan R *exp t, med som (.6). Nu återstår bara att satta t så att R *exp t = Y, dvs. det numersa värdet av den övre 95 % percentlen för den 1 totala reserven som v tdgare ränat ut. Värdet på t beränas Excel med hjälp av funtonen Solver. Det erhållna värdet på t motsvarar en percentl hos lognormalfördelnngen. Denna percentl utgör den övre onfdensgränsen för vart och ett av sadeåren. Medan den totala reserven har en övre onfdensgräns på 95 % har vart och ett av de ngående sadeåren en gemensam lägre onfdensgräns. För att erhålla den nedre onfdensgränsen gör v på motsvarande sätt. Först beränar v den nedre 5 % onfdensgränsen för den totala utestående reserven. Sedan fördelar v det beloppet över de ndvduella sadeåren på samma sätt som ovan. V får ett värde på t och beränar vlen percentl det motsvarar. Genom att ta dfferensen mellan de nu erhållna övre och nedre percentlerna erhålls onfdensntervallet för varje sadeår, som motsvarar 95 % - 5 % = 90 % onfdensntervall för den totala reserven..4. Gammafördelnngen Som en jämförelse tll lognormalfördelnngen tttar v även på en approxmaton av gammafördelnngen. Approxmatoner är nte la tdsrävande som reursva metoder. När approxmatonen tllämpas på fördelnngsfuntonen F sa tllägg tll väntevärdet och 10

11 standardavvelsen hos fördelnngsfuntonen F, sevheten x ngå beränngen. Metoden fungerar så länge sevheten hos fördelnngen nte är alltför stor, dvs. 0 x 1,. En approxmerande fördelnngsfunton erhålls genom att tllämpa en lämplg symmetrserngstransformaton av den aggregerade sadebeloppsvarabeln X. Det gör man för att elmnera sevheten hos fördelnngsfuntonen F, och sedan tllämpa normalapproxmatonen på den transformerade fördelnng. Det antas att sadeostnaden X är sammansatt Possonfördelad, dvs. sadestorleen är summan av ett Possonfördelat antal sador där sadestorleen har en annan gven fördelnng. Poängen är att göra en transformaton som ger en symmetrs fördelnng, använda normalfördelnngen på denna och transformera tllbaa. Wlson-Hlferty är en numers approxmaton tll gammafördelnngen, se Dayn et al (1994) sd Wlson-Hlferty (WH) approxmatonen av fördelnngsfuntonen F ges av F( X ) N ( y) N ( W ( x)), där x är den standardserade varabeln x ( X x ) / x, N är Normalfördelnngen, F är fördelnngsfuntonen för sammansatt Possonfördelnng och WH-transformatonen är 1/ 3 1 W ( x) c1 c ( x c 3), c1 3 g, 3 / 3 c g, c g 3g 3 och g. För gammafördelnngen är /. x x x Ofta är värdet av F(X) gvet och motsvarande X efterfrågas. Genom att lösa ovanstående evaton, erhålls följande beränngssteg Lös y från N(y)=F(X) Sätt x ( ) ( y c 1) c 3 c Sätt X x x x V löser y för att erhålla den onfdensgräns v valt normalfördelnngen, t.ex. N(y)=F(X)=0,95. WH fungerar även för negatva värden på X. x 3. Stude V har använt nrementella utbetalnngstranglar våra analyser. Utbetalnngstranglarna är brutto och nte dsonterade. V har tagt fram både årstranglar och vartalstranglar. Sffrorna är omvandlade tll en egen valuta som v allar för B-euro. Denna onverterng av tranglarna påverar nte beränngen av relatva felet, men det blr smärre sllnader resultaten för onfdensntervallen. Då v har gjort samma omvandlng av sffrorna alla utbetalnngstranglar och sedan jämför resultaten mot varandra har detta nte någon betydelse. V har tttat på annan motorfordonsförsärng (annan motor) som är en portfölj med relatvt ort avveclng, en s.. ortsvansad portfölj. Som jämförelse har v ocså tttat på trafförsärngen (traf) som utgör en s.. långsvansad portfölj. I Sverge har v en trafförsärngslagstftnng som säger att "Sadas förare eller passagerare motordrvet fordon som är traf, utgår trafsadeersättnng från trafförsärngen för fordonet." Trafförsärngen ersätter bland annat framtda nomstförluster tll sadeldande. Ersättnngar form av nomstförluster tar ofta lång td att reglera och det tar många år nnan 11

12 en sadeårgång an anses vara helt slutreglerad. Totalt har v analyserat fem ola portföljer. För annan motor har v analyserat en årstrangel och motsvarande vartalstrangel för sadeår 000 tll 006. För traf har v analyserat en årstrangel för sadeår V har ocså gjort analyser på traf både som årstrangel och vartalstrangel för sadeår När v för annan motor delar upp utbetalnngarna årstrangeln (Fgur 9.1 Appendx) tll vartalstrangeln (Fgur 9.) uppstår ett beränngsproblem. För äldsta sadevartalet (=000:1) har ngen ut- eller nbetalnng sett under det ssta utveclngsvartalet (=8) och därför blr den observatonen noll trangeln. För att undva dvson med noll våra beränngar har v flyttat en rona från näst ssta utveclngsvartalet tll ssta utveclngsvartalet för det äldsta sadevartalet. I utbetalnngstrangeln med vartalsdata föreommer negatva observatoner. Negatva observatoner orsaas av att nbetalnngar från bl.a. andra försärngsbolag, överstger utbetalda belopp under vssa utveclngsvartal. Av förstghetssäl har v valt att betrata detta som enslda händelser och tllåter nte negatva reserver beränngarna. För den ortsvansade portföljen annan motor behövs ngen svansfator då det äldsta sadeåret utbetalnngstrangeln betratas som färdgutveclat, dvs. det tllommer nga ytterlgare utbetalnngar på den sadeårgången. För trafportföljen däremot sa v välja en svansfator f ult. V utgår från den årlga trangeln med utbetalnngar från och med sadeår 1987 tll och med sadeår och utveclngsår 006 (Fgur 9.3). V betratar utveclngsfatorerna tabell 9.3 Appendx och ser hur dessa utveclar sg för För lgger utveclngsfatorerna och pendlar mellan 1,01 och 1,03. Man sulle därför unna tro att en svansfator storlesordnngen 1,0 är rmlg. Dvs. att för äldsta sadeåret återstår att betala ut ett belopp som motsvarar % av httlls utbetalt belopp för sadeårgången. Av erfarenhet vet v att 1,0 är en för låg svansfator för den svensa trafportföljen som är extremt långsvansad. Vd sdan av de utbetalnngstrnglar som v har använt detta arbete fnns uppgfter om sador nträffade 1986 och tdgare. Beränar genomförda på det materalet vsar att det fortfarande återstår många år med utbetalnngar även för det äldsta sadeåret vår trangel, dvs Från dessa sdoberänngar har v fått svansfatorn 1, som v använder vår analys av trafportföljen. Svansfatorn 1, an tolas som att det återstår ytterlgare 10 år med utbetalnngar där vart och ett av dessa år har svansfatorn 1,0 (1,010=1,). Då v vll göra en jämförelse mellan en årstrangel och en vartalstrangel har v problemet att ett nytt sadesystem nfördes Det fnns ompletta vartalstranglar från sadeår 199. V har därför beränat en svansfator tll analysen av sadeåren som svansfator 1, från årstrangeln multplcerat med de 5 ssta utveclngsfatorerna från årstrangeln och får fatorn 1,31. För trafportföljen antar v dessutom ett sattnngsfel på 0,013, samt ett slumpfel på 0, 03 för sadeår 3. Värdena på de två ola felen har v valt genom att studera resultatet tabell 9.3. V har valt samma sattnngsfel och slumpfel för alla tre traftranglarna. När v tllämpar lognormalfördelnngen väljer v onfdensgränser för den totala reservsattnngen. V väljer 95 % som övre onfdensgräns och 5 % som nedre onfdensgräns. Enlgt metoden med lognormalfördelnng får v ett onfdensntervall som är 95 % - 5 % = 90 % för den totala reservsattnngen. De enslda sadeårens övre respetve nedre onfdensgräns beränas utgående från värdet av den erhållna övre 95 % percentlen respetve undre 5 % percentlen för den totala reserven. V får samma onfdensgräns för varje sadeår. f 1

13 För Wlson-Hlferty approxmatonen av gammafördelnngen sattar v ett 90 % onfdensntervall för vart och ett av sadeåren samt för den totala reservsattnngen. Det gör v genom att sätta N(y)=F(X)=0,95 som övre onfdensgräns normalfördelnngen och N(y)=F(X)=0,05 som nedre onfdensgräns. WH approxmatonen fungerar så länge sevheten hos fördelnngen nte är alltför stor, dvs. 0 x 1,. I våra beränngar har v lagt n en ontroll som gör att de fall sevheten är för stor avbryts beränngarna och något onfdensntervall beränas nte. Då detta nträffar för mer än hälften av sadeåren våra analyser av annan motor har v valt att utöa gränsen för sevheten och tllåter att 0. x 4. Resultat En jämförelse av resultaten för de ola motorportföljerna och de ola utbetalnngstranglarna är sammanställd tabell 4.1. Tabellen nnehåller fem ola portföljer och första olumnen vsar chan-ladder-sattnngen av totala reserven för alla sadeåren summerat. Kolumnen mtten nnehåller det relatva felet, dvs. voten mellan standardfelet och chan-laddersattnngen av totala reserven, procent. Ssta olumnen vsar övre och nedre onfdensgräns, samt utränat onfdensntervall, för vart och ett av de ngående sadeåren då fördelnngen antas vara lognormal och den totala reserven har 90 % onfdensntervall. Enlgt den metod som besrvts avsntt.4.1 väljer v först 95 % som övre onfdensgräns för den totala reserven. Med hjälp av funtonen "Solver" Excel sattar v värdet på t. Genom att se vlen percentl värdet på t motsvarar hos lognormalfördelnngen erhålls den övre gränsen som fnns angven nedanstående tabell. Den nedre onfdensgränsen sattas på motsvarande sätt. Fler sadeår eller sadevartal leder tll lägre onfdensgräns. Tabell 4.1 Sammanfattnng av resultat Portfölj Total reserv, alla sadeår Relatva felet = s. R )/ R Konfdensgräns, enslda sadeår lognormalfördelnng Annan motor, årstrangel ,15 % 9 %-9 %=8 % Annan motor, vartalstrangel ,4 % 88 %-15 %=73 % Traf, årstrangel ,11 % 75 %-8 %=47 % Traf, årstrangel ,89 % 80 %- %=58 % Traf, vartalstrangel ,30 % 74 %-33 %=41 % Ytterlgare resultaten återfnns Appendx Annan motorfordonsförsärng För annan motorfordonsförsärng ger vartalstrangeln en högre total reserv än årstrangeln. Kvartalstrangeln har ocså ett större relatvt fel och ett bredare onfdensntervall. I årstrangeln nnehåller ett gvet sadeår och ett gvet utveclngsår en mängd utbetalnngar, observatoner. Då årstrangeln bryts ner tll en vartalstrangel ommer dessa observatoner att delas upp 16 estmat. Kvartalstranglarna har därför färre observatoner per estmat än årstranglarna vlet medför att beränngarna blr mer osära med vartalstrangeln, specellt för de yngsta sadevartalen som är mnst utveclade. I vårt exempel är reserven för enbart 13

14 sadeår 006 vartalstrangeln, , större än den totala reserven sattad med årstrangeln. Det beror främst på den höga utveclngsfatorn f 1 =1,97 vartalstrangeln Konfdensntervall För den totala reserven har v beränat 90 % onfdensntervall både med Wlson-Hlferty approxmatonen och med antagande om en lognormal fördelnng. Den totala bredden för onfdensntervallet är något smalare med lognormal (15 15) än med WH (15 69) för årstrangeln. Även för vartalstrangeln är onfdensntervallet något smalare med lognormal, se tabell 4.. Både den övre respetve nedre onfdensgränsen för lognormal lgger över motsvarande gränser som v har för WH, dvs. onfdensntervallet är försjutet mot en högre reserv. De båda tranglarna ger ungefär samma nedre onfdensgräns för den totala reserven, med WH för årstrangeln och med WH för vartalstrangeln. Men onfdensntervallet är 38 % bredare för reserven sattad med vartalstrangeln än med årstrangeln. Tabell 4. Sammanställnng av onfdensntervall, annan motor Portfölj Årstrangel Kv. trangel Total reserv WH 95 % WH 5 % WH 95 % - WH 5 % LogN 95 % LogN 5 % LogN 95 % - LogN 5 % För Wlson-Hlferty approxmatonen har v problemet att fördelnngen är för sev, >, x och metoden ger nte tllförltlga resultat. I årstrangeln sanas därför sattnng av onfdensntervall med WH för sadeår 001 (se tabell 9.1), som är det äldsta sadeåret med utestående reserv. V får nget resultat att jämföra med lognormalfördelnngen. I analysen av vartalstrangeln (tabell 9.) är det to sadevartal, främst de äldsta sadevartalen, där v sanar observatoner för WH. Precs som resultatet för totala reservsattnngen ger lognormalfördelnngen ett smalare onfdensntervall för varje enslt sadeår, men med sllnaden att sannolheten för att resultatet träffar nom onfdensntervallet är lägre än 90 %, se ssta olumnen tabell 4.1. Med vartalstrangeln är onfdensntervallet sattat med WH nästan dubbelt så brett som det sattat med lognormal för ett enslt sadevartal, men då är sannolheten att resultatet är nom ntervallet bara 73 % för lognormal mot 90 % för WH Relatva felet V har ocså tttat på voten mellan standardfelet och chan-ladder-sattnngen av reserven som utgör det relatva felet. Kvoten för vartalstrangeln är 19.4 %, vlet är högre än 15,4 % för årstrangeln. Det förlaras av att det är större varaton utbetalnngarna vartalstrangeln som därmed får ett större relatvt fel. Enslda sadeår/vartal har en lägre vot ju yngre sadeåret/vartalet är. För äldsta sadeåret årstrangeln och för några av de äldre sadevartalen överstger det relatva felet 100 %. I vårt fall orsaas detta av att den 14

15 utestående reserven är lten, vlet har lten betydelse då det fatsa beloppet av standardfelet är relatvt ltet. 4. Trafförsärng För trafförsärngsportföljerna jämför v först de två årstranglarna. Årstrangeln med sadeår har en högre sattad total reserv, men ett mndre relatvt fel och ett smalare onfdensntervall än årstrangeln med sadeår Att jämföra den totala reserven är nte rättvsande då den första årstrangeln nnehåller 5 fler sadeår än den andra. V jämför stället resultaten för de enslda sadeåren från och med år 199, där =6 årstrangeln från 1987 motsvarar =1 årstrangeln Reserven för år 199 är genom vår transformaton av svansfatorn la. För alla yngre sadeår är reserven högre för årstrangeln Standardfelet för sadeår är lägre för årstrangeln V jämför även resultaten mellan vartalstrangeln och årstrangeln för sadeår trafportföljen. Årstrangeln ger en högre total reserv, ett lägre relatvt fel och ett smalare onfdensntervall än vartalstrangeln, se tabell 4.1. Summerar man reserverna R för fyra sadevartal så att dessa motsvarar ett sadeår, ser man att reserven för sadeår 1994 och 006 är lägre årstrangeln medan övrga sadeår har lägre reserv vartalstrangeln Konfdensntervall V börjar med en jämförelse av de båda årstranglarna och V har beränat 90 % onfdensntervall för totala reserven både med WH approxmatonen och under antagandet om en lognormal fördelnng. Konfdensntervallet för båda årstranglarna är något smalare med lognormalfördelnngen än med WH, se tabell 4.3. För enslda sadeår är onfdensntervallen mycet smalare med lognormalfördelnng än med WH och det förlaras av att sannolheten att träffa nom det angvna ntervallet är lägre än de 90 % som är fallet med WH. Enlgt resultatet tabell 4.1 är onfdensntervallet 47 % för årstrangel medan onfdensntervallet är 58 % för årstrangel Tabell 4.3 Sammanställnng av onfdensntervall, traf Portfölj Årstrangel Årstrangel Kv. trangel Total reserv WH 95 % WH 5 % WH 95 % - WH 5 % LogN 95 % LogN 5 % LogN 95 % - LogN 5 % Även för vartalstrangeln är onfdensntervallet något smalare med lognormal än med WH, se tabell 4.3. Konfdensntervallet är 3 % bredare för totala reserven sattad med vartalstrangeln än med årstrangeln För ett enslt sadevartal vartalstrangeln är onfdensntervallet sattat med WH nästan tre gånger så brett som det sattat med lognormal, men sannolheten att resultatet är nom ntervallet är bara 41 % för lognormal mot 90 % för WH, se tabell

16 Fgur 4.1 nedan vsar onfdensntervallets bredd per sadevartal för trafportföljen. V har salat om beloppen genom att subtrahera reserven R för respetve sadevartal, 1 60, från onfdensgränserna tabell 9.5. Efter transformerngen ser man att bredden på onfdensntervallen öar ju högre värde på, dvs. ju yngre och mndre utveclat sadevartalet är. Framförallt det yngsta sadevartalet har en stor osäerhet reservsattnngen och ett brett onfdensntervall. B-Euro Sadevartal Reserv R p=0,95 WH p=0,05 WH Övre onf gräns LogN Nedre onf gräns LogN Fgur 4.1 Graf över onfdensntervall för vartalsdata, trafportföljen. 4.. Relatva felet Relatva felet, dvs. voten mellan standardfelet och chan-ladder-sattnngen av reserven, är högre för vartalstrangeln än för årstrangeln, se tabell 4.1. För årstrangel är voten 5,89 %, vlet är högre än 5,11 % för årstrangeln Däremot är voten högre för alla enslda sadeår årstrangeln jämförelse med årstrangeln Dsusson Utbetalnngstranglar är änslga för förändrngar utbetalnngsmönstret, vlet man bör täna på när man antar att sadeåren är oberoende chan-ladder-sattnngen. Mac har ett test för ontroll av att vlloret om oberoendet mellan sadeåren är uppfyllt, som v av tdssäl nte har tllämpat på våra tranglar. Chan-ladder-sattnngen har ocså nacdelen att det utbetalda beloppet för det yngsta sadeåret utgör en väldgt osäer bas för sattnngen av den slutgltga sadeostnaden för det sadeåret. På samma sätt är sattnngen av de ssta utveclngsfatorerna osäer då dessa är baserade på få observatoner. 16

17 I utbetalnngstrangeln för annan motor föreommer negatva observatoner p.g.a. regresser, dvs. nbetalnngarna överstger utbetalt belopp. Tllämpar v chan-ladder-sattnngen för att erhålla den slutlga sadeostnaden nnebär det att detta "tllsott" projeteras framåt sffrorna för atuellt sadeår. I vårt fall är de enslda beloppen nte så höga. I vlet fall så ommer sattad sadeostnad att mnsas. Det är möjlgt att vara förstg sna beränngar genom att ersätta negatva tal utbetalnngstranglarna med noll. För ortsvansade affärer är det nte någon fördel att ta med för många sadeår beränngarna eftersom de äldsta sadeåren är färdgutveclade med utveclngsfatorerna f 1, 0 och den utestående reserven R 0. I våra beränngar blr dvson med noll ett problem. I avsntt. har v angett en formel för beränng av standardfelet s. ). Observera att standardfelet endast speglar sattnngsfelet s. f ) och slumpfelet s. F ), men nte val av felatg modell. Med andra ord så an valet av fel modell, eller att framtden nte överensstämmer med det man änner sedan tdgare, utgöra ett än större fel. Dessutom är uppdelnngen av standardfelet två ola omponenter ntressant. Ola metoder an omma tll samma standardfel, men storleen på de båda ngående omponenterna sljer beroende på val av modell. En svårghet med Macs modell är att välja den fördelnngsfunton som passar bäst tll dataunderlaget när v sa satta onfdensntervall avsntt.4. Valet av fördelnng sljer beroende på underlggande data. Det är ocså möjlgt att välja ola fördelnngar för ola sadeår när onfdensntervallen sa beränas. Valet av percentl vd beränngen av onfdensntervall är svårt, ju högre percentl, desto bredare onfdensntervall. Samtdgt som v vll ha en stor sannolhet för att reservsattnngen sa vara nom onfdensntervallets gränser vll v nte ha ett för brett onfdensntervall. Breda onfdensntervall har ofta en nedre onfdensgräns som är så låg att v rserar bl underreserverade. Å andra sdan är en reserv samma storlesordnng som den övre onfdensgränsen ofta omotverat hög. Wlson-Hlferty är en numers approxmaton tll gammafördelnngen och är besrven avsntt.4.. Det fnns tester som vsar att för obetydlgt seva fördelnngar ger WHapproxmatonen relatvt rtga resultat. När sevheten är stor sjuner användbarheten av approxmatonen hastgt. V använder nte metoden då sevheten, men redan för x 1, är metoden otllförltlg, se Dayn et al (1994) sd. 13. En noggrannare metod bör tllämpas stället för WH. De onfdensntervall som erhålls avsntt 4 är ofta vda, specellt för yngre och outveclade sadeår långsvansade affärer. Detta speglar den osäerhet som lgger chan-laddersattnngen eftersom den är baserad på få observatoner. I praten vll atuaren ofta använda Bornhuetter-Ferguson eller en vtnng mellan Bornhuetter-Ferguson och chanladder (baserat på t.ex. redbltetsteorn) för att satta sadeostnaden (reserven) en lnande stuaton. Det ger mer stabla puntestmat av sadeostnaden. Metoden Mac använder för att fnna onfdensntervall är nte längre dret anpassnngsbar och med att x C 17

18 metoder med Bornhuetter-Ferguson nte bygger på antagande (.1). V har därför valt att nte jämföra resultaten med Bornhuetter-Ferguson detta arbete. Av resultaten avsntt 4 framgår att vartalstranglar ger ett större relatvt fel och har ett bredare onfdensntervall än årstranglarna, eftersom estmaten nnehåller färre observatoner och därmed större osäerhet. Motverngen tll att man använder vartalsdata analyser då osäerheten blr större än då man använder årstranglar, är att man är ntresserade av sattnngen av reserven och nte bara onfdensntervall. Dessa estmat fångar upp säsongsvaratoner på ett bättre sätt vartalstranglar än årstranglar. Kvartalstrnglar är ocså användbara för reservsattnng av nnevarande år och ger då vtg nformaton nför tllexempel nästa års prssättnng av försärngarna. I avsntt 4.1. har äldsta sadeåret årstrangeln och några av de äldre sadevartalen ett relatvt fel överstgande 100 % av den sattade reserven. Om det stället hade vart yngsta sadeåret som har ett relatvt fel överstgande 100 % sa man vara uppmärsam. Det höga standardfelet beror då på den stora osäerheten att bestämma nästa års sadeostnad. Ett år senare fnns med största sannolhet möjlghet att göra en bättre sattnng av den slutlga sadeostnaden för årgången. Det är svårt att göra en jämförelse av resultaten mellan de ola motorportföljerna traf respetve annan motor då portföljerna är ola. Om man jämför de enslda sadeåren snsemellan ser man att traf har mycet högre utestående reserv. Som exempel studerar v sadeår 006 årstranglarna som motsvaras av =7 tabell 9.1 för annan motor och =0 tabell 9.3 för traf. För sadeår 006 summerar v sattad utestående reserv och utbetalt belopp (från utbetalnngstranglarna fgur 9.1 respetve 9.3) och erhåller den sattade totala sadeostnaden för sadeåret. För annan motor blr resultatet = och för traf = Sllnaden den totala sadeostnaden är nte så stor utan sllnaden lgger utbetalnngsmönstret där nästan all ersättnng betalas ut under första utveclngsåret för annan motor, medan det för traf tar mnst 30 år nnan allt är utbetalt. Tttar man på relatva felet för sadeår 006 är det 16,3 % för annan motor och 10,7 % för traf. Att annan motor har ett högre relatvt fel beror på att den avsatta reserven är betydlgt lägre än för traf. Relatva felet är ett ntressant mått för att jämför osäerheten reserven mellan ola portföljer. Om man stället tar voten mellan standardfelet och den sattade årssadeostnaden (reserv + utbetalt belopp) får man,48 % för annan motor och 8,14% för traf. Då den totala sadeostnaden är av samma storlesordnng för både traf och annan motor blr voten lägre för annan motor som har ett lägre standardfel än traf. Den här voten är ntressant om man vll studera osäerheten den sattade årssadeostnaden samband med prssättnng. 6. Slutsats Fördelen med de teorer som Mac förespråar för att satta standardfel och onfdensntervall, både för enslda sadeårs reserver och den totala reservsattnngen, är att de utgår från chan-ladder-sattnngen som fungerar utan nästan några antaganden. För den ortsvansade portföljen annan motor har v problemet att fördelnngen är för sev. Wlson-Hlferty approxmaton ger nte tllförltlga resultat. Istället väljer v att tllämpa lognormalfördelnngen. 18

19 Trafförsärngen är en långsvansad portfölj med svansfator. Det är en fördel att ta med så många sadeår som möjlgt för att få ett smalare onfdensntervall och ett lägre relatvt fel. Konfdensntervallet för totala reserven sattad med lognormalfördelnngen är något smalare än det som sattats med WH approxmatonen. För enslda sadeår är onfdensntervallet sattat med WH bredare än de sattade med lognormalfördelnngen, men då är ocså sannolheten att träffa nom det angvna ntervallet 90 % för WH jämförelse med 40 % - 60 % för lognormalfördelnngen. Valet mellan WH och en lognormalfördelnng är nte gvet. För trafportföljen är relatva felet drygt 5 % baserat på alla sadeår, vlet är en rmlg nvå. Annan motor har ett högre relatvt fel, drygt 15 %, beroende på att det är större varatoner utbetalnngsmönstret mellan ola sadeår. Relatva felet är lägre för årstranglar än för vartalstranglar. Årstranglar ger ocså smalare onfdensntervall än vartalstranglar. Om huvudsyftet med analysen är att satta ett så bra puntestmat av reserven som möjlgt sa man tllämpa vartalstranglar analysen då dessa fångar upp säsongsvaratoner på ett bättre sätt än årstranglar. I vårt fall har syftet vart att satta osäerheten avsatta reserver. Slutsatsen av våra analyser är att metoden är änslg för ändrngar utbetalnngsmönstret. Om det utbetalda beloppet för ett vsst sadeår utmärer sg och nte följer mönstret från tdgare år an det få stora följder analysen och metoden blr olämplg att använda. 7. Avslutnng Vd val av metod för att satta utestående reserv sa man använda både stt omdöme och sn erfarenhet, utöver de teoretsa unsaperna. Det fnns många andra modeller än de v nu har använt, som man an pröva för att satta den utestående sadeostnaden samt osäerheten denna. Ola metoder ger ola resultat, vlet gör atuaren roll spännande då erfarenhet och unsaper lgger tll grund för val av den modell man tror passar bäst. Det fnns så mycet mer srvet som v an fördjupa oss för att få en både bredare och djupare förståelse för de ola metoder som så många före oss har studerat. Det blr en spännande fortsättnng det daglga arbetet som atuare att tllämpa dessa metoder större omfattnng på våra ola portföljer. 8. Referenser C.D. Dayn, T. Pentänen and M. Pesonen (1994): Practcal Rs Theory for Actuares. England and Verrall (00): Stochastc Clams Reservng n General Insurance. Mac, T. (1993): Dstrbuton-free calculaton of the standard error of chan ladder reserve estmates. ASTIN Bulletn, Vol. 3, No., Mac, T. (1994): Measurng the varablty of chan ladder reserve estmates. Casualty Actuaral Socety (CAS), Sprng Forum, Vol. 1, Mac, T. (1999): The standard error of chan ladder reserve estmates: Recursve calculaton and ncluson of a tal factor. ASTIN Bulletn, Vol. 9, No.,

20 9. Appendx 9.1 Utbetalnngstranglar, B-euro, avrundade tal Fgur 9.1 Annan motor, årstrangel för sadeår

21 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Fgur 9. Annan Motor, vartalstrangel för sadeår

22 Fgur 9.3 Traf, årstrangel för sadeår Traf, årstrangel för sadeår , är en delmängd av trangeln fgur 9.3 medan vartalstrangel för sadeår utelämnas av utrymmestensa säl.

23 9. Resultat Tabell 9.1 Annan motor, resultat från årstrangel för sadeår = f= 1,170 1,004 1,00 1,001 1,001 1,000 s.f)= 0,011 0,001 0,000 0,001 0,000 0,000 s.f3)= 0,07 0,00 0,001 0,001 0,000 0,000 Total , Reserv R Standardfelet s.r) s.r)/r p=0,95 WH p=0,05 WH Övre onf. gräns LogN Nedre onf. gräns LogN = ,0875 -* = , = , = , = , = , * Observaton sanas då metoden nte är tllförltlg de fall sevheten x hos fördelnngen överstger. 3

24 Tabell 9. Annan motor, resultat från vartalstrangel sadeår = f= 1,966 1,038 1,011 1,006 1,00 1,00 1,001 1,001 1,000 1,001 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,001 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 s.f)= 0,048 0,006 0,001 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 s.f3)= 0,81 0,09 0,007 0,004 0,00 0,00 0,00 0,00 0,001 0,001 0,000 0,001 0,001 0,000 0,001 0,000 0,001 0,001 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 Total , Reserv R Standardfelet s.r) s.r)/r p=0,95 WH p=0,05 WH Övre onf. gräns LogN Nedre onf. gräns LogN = ,0008 -* = , = , = , = , = , = , =9 01 1, = , = , = , = , = , = , = , = , = , = , = , = , = , = , = , = , = , = , = , * Observaton sanas då metoden nte är tllförltlg de fall sevheten x hos fördelnngen överstger. 4

25 Tabell 9.3 Traf, resultat från årstrangel för sadeår = ult. f= 1,709 1,13 1,075 1,055 1,046 1,05 1,050 1,045 1,05 1,031 1,036 1,09 1,00 1,07 1,0 1,011 1,01 1,013 1,019 1,00 s.f)= 0,01 0,005 0,004 0,003 0,003 0,005 0,005 0,003 0,007 0,004 0,006 0,005 0,004 0,005 0,004 0,004 0,003 0,003 0,005 0,013 s.f3)= 0,081 0,018 0,013 0,010 0,011 0,016 0,015 0,009 0,00 0,01 0,017 0,014 0,009 0,01 0,009 0,008 0,004 0,004 0,004 0,030 Total , Reserv R Standardfelet s.r) s.r)/r p=0,95 WH p=0,05 WH Övre onf. gräns LogN Nedre onf. gräns LogN = , = , = , = , = , = , = , = , = , = , = , = , = , = , = , = , = , = , = , = ,

26 Tabell 9.4 Traf, resultat från årstrangel för sadeår = ult. f= 1,687 1,131 1,081 1,060 1,050 1,061 1,060 1,047 1,06 1,038 1,041 1,038 1,030 1,09 1,308 s.f)= 0,03 0,006 0,005 0,004 0,004 0,006 0,004 0,005 0,01 0,006 0,01 0,016 0,010 0,007 0,013 s.f3)= 0,094 0,05 0,017 0,013 0,014 0,00 0,013 0,014 0,031 0,015 0,05 0,08 0,014 0,007 0,030 Total , Reserv R Standardfelet s.r) s.r)/r p=0,95 WH p=0,05 WH Övre onf. gräns LogN Nedre onf. gräns LogN = , = , = , = , = , = , = , = , = , = , = , = , = , = , = , Tabell 9.5 Traf, resultat från vartalstrangel för sadeår = ult. f= 4,464 1,345 1,109 1,061 1,045 1,039 1,034 1,030 1,05 1,03 1,010 1,008 1,00 1,01 1,014 1,00 0,989 1,000 1,000 1,308 s.f)= 0,098 0,013 0,004 0,003 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,001 0,006 0,004 0,004 0,01 0,009 0,018 0,008 0,00 0,001 0,013 s.f3)= 0,784 0,095 0,030 0,01 0,013 0,011 0,011 0,016 0,016 0,010 0,016 0,010 0,009 0,08 0,00 0,037 0,015 0,003 0,001 0,030 Reserv R Standardfelet s.r) s.r)/r p=0,95 WH p=0,05 WH Övre onf. gräns LogN Nedre onf. gräns LogN Total ,