Projekt i transformetoder. Rikke Apelfröjd Signaler och System rikke.apelfrojd@signal.uu.se Rum 72126

Transkript

1 Projekt transformetoder Rkke Apelfröjd Sgnaler och System Rum 72126

2 Målsättnng Ur kursplanen: För godkänt betyg på kursen skall studenten kunna använda transformmetoder nom något av utbldnngsprogrammets tllämpnngsområden och detta sammanhang kunna genomföra och presentera ett mndre projekt. Projekten är enskllda. Ett utav 11 olka passva elektrska flter ska teoretskt utvärderas mha transformteor. Resultaten jämförs med smulerngar (LTspce. En skrftlg rapport lämnas n slutet av projektet.

3 Deadlnes och handlednng Handlednng sker Va mal Svar nom en arbetsdag under vecka Drop-n vecka tsdagar och torsdagar vd lunch. Plats: hus 7 vånng 2 (sgnaler och systems bblotek Extra handlednngstd kan ordnas va malkontakt. En skrftlg rapport pdf-format som kan läsas oberoende av projektbeskrvnngen ska lämnas n Första nlämnng Senast 7 december kl Senast den 14 december kl får n feedback För godkänt projektdel krävs det att alla delar av uppgften är korrekt lösta Andra nlämnng (för de som behöver Senast 21 december kl Extra handlednng vecka 51 ts, torsd vd lunch för ej godkända rapporter. Rapporter som nte lämnas n td eller behöver en tredje nlämnng rättas mån av td slutet av termnen.

4 Vad är transformer? Byte från en funkton, eller domän, tll en annan. transform Färg -domän Storleks -domän Några exempel: summa av polynom (Taylor summa av snusar (Fourer

5 Varför har v transformer? Olka operatoner är olka lätta I olka domän! transform Dekoraton Vkt Taylor serer: En funkton som är svår att dervera analytskt kan approxmeras med ett polynom krng noll och blr lätt att dervera! För små vnklar kan snus för en vnkel approxmeras med vnkeln underlättar bland annat mekanska beräknngar!

6 Varför är snusar så bra? Ljud FFT

7 Varför är snusar så bra? Ljud Ljus H = ϕ re Om sgnalen är tllräcklgt smalbandg räcker det med ett komplext tal för att beskrva förändrngen Detta utnyttjas bl.a. 4G

8 Varför är snusar så bra? Ljud Ljus Elektrska sgnaler (AC Samma frekvens Snus n snus ut!

9 Projektuppgft Gvet ett andra ordnngens flter ska n: Härleda överförngsfunktonen på 2 sätt Mha Laplacetransformer. Mha Ohms lag och mpedanser. Grafskt llustrera denna med frekvens och fasgång Verfera att det är korrekt överförngsfunkton mha snus-nsnus-ut prncpen och smulerngar LTspce. Använda överförngsfunktonen för att ta fram En approxmaton av utsgnalen gvet en fyrkantsvåg mha Fourersereutvecklng, snus-n-snus-ut prncpen och superpostonsprncpen Fltrets stegsvar mha Laplacetransformerng Verfera ovanstående utsgnaler mha smulerngar LTspce.

10 Superpostonsprnspen sn(t 1.4sn(2πt A m p l t u d T d [ s ] + A m p l t u d T d [ s ] 2 A m p l t u d T d [ s ]

11 Fourerserer 1. 2 A m p l t u d e f( t 1 / 2 1 / 2 + s n ( t 6 t e r m s 1 2 t e r m s T m e [ s ]

12 Överförngsfunktonen Ett systems överförngsfunkton beskrver hur nsgnalen ändras Defneras Y ( s Mha Laplacetransformen: H ( s = X ( s Mha Fourertransformen: H ( jω = Y ( jω X ( jω

13 Elektrska flter: fysk Överförngsfunkton: H ( s = U U ( s ( s Bestäms av flterkomponenternas dfferentalekvatoner ut n Restans u( t = R ( t Induktans u( t = L d( t dt Kapactans u( t = 1 C t 0 ( t dt

14 Elektrska flter: Impedanser Överförngsfunkton: Kan utnyttja jω-metoden U U ut ut H ( jω = = = n ( jω ( jω Z Z n I( I( jω jω Z Z ut n Resstorn: Z = R Konensatorn: Spolen: Z = Z = jω L 1 jω C Serekopplng: Z tot = Z 1 + Z 2 Parallellkopplng: Z tot 1 1 ( Z + 1 = Z 1 2

15 Frekvens- och fasgång För en specfk vnkelfrekvens ω ger H(jω ett komplext tal som talar om vad som händer med en snus med frekvensen f=ω/(2π Hz. Absolutbeloppet H(jω anger förstärknngen av snusen H(jω som funkton av ω (eller f kallas systemets frekvensgång Argumentet arg(h(jω anger fasförskjutnngen av snusen. arg(h(jω som funkton av ω (eller f kallas systemets fasgång. Dessa utnyttjas Snus-n-Snus-ut prncpen. Matlab demonstraton 1

16 Snus-n Snus-ut prncpen Vad händer när nsgnalen är en snus? Låt nsgnalen vara x( t = Asn t ( ω + ϕ F r e k v e n s g å n g H ( j w F a s g å n g [ r a d ] F r e k v e n s [ H z ] Utsgnalen blr F r e k v e n s [ H z ] ( jω Asn( ω t + ϕ arg( H ( jω y( t = H + LTspce demonstraton 1

17 Vad gäller när sgnalen nte är en snus? Utnyttja defntonen av överförngsfunktonen Summa av snusar n -> summa av snusar ut ( ( ( ( ( j H t A j H t y t A t x ω ϕ ω ω ϕ ω arg sn ( sn ( + + = + = ( ( ( s X s H s Y = ( ( ( s X s H s Y = = = t y t y t x t x ( ( ( (

18 Vad gäller när sgnalen nte är en snus? Går det att utveckla sgnalen tll en Fouresere? Vad händer t.ex. Om v sänder fyrkantsvågen från det tdgare exemplet genom fltret? 0.1 Tre termers approxmaton Ampltud [V] Td [s] LTspce demonstraton 1

19 Vad gäller när sgnalen nte är en snus? Om nsgnalen nte är perodsk får v arbeta frekvensdomän va Fourertransformen eller Laplacetransformen (beroende på nsgnalen Ex låt nsgnalen vara Heavysdefunktonen. Utsgnalen kallas då för fltrets stegsvar S t e g s v a r T d [ s ] Matlab demonstraton 2

20 Transenta beteenden Snus-n snus-ut prncpen gäller bara när nsgnalen är en snus (=sträcker sg oändlgt framåt och bakåt I tden I praktska sammanhang är oändlgt lång td bara så lång td som det tar vårt flter att stablsera sg. Den tden kan utläsas från stegsvaret Innan fltret har stablserat sg kan utsgnalen bete sg annorlunda från den teoretska sgnalen Detta kallas transenta beteenden. Vd n- och utsgnalsjämförelse där man utgår från snusar ska de göras det när det transenta beteendet avtagt. När v undersöker stegsvaret är det de transenta beteendena v är ntresserade av. LTspce demonstraton 2

21 Härlednngar Rapporterng Skrv med vktga steg I härlednngar men överdrv nte. Skrv algebraska uttryck när det underlättar för läsaren. Defnera alla varabler. Använd text för att förklara vad du gör I olka steg. Var tydlg Skrv med vllka antaganden du gjort dna smulerngar. Använd fgurer och tabeller om det underlättar för läsaren. Rapporten ska kunna förstås utan kännedom tll projektmateralet. Fgurer Ska refereras tll I texten. Spara fgurerna I stt ursprungsformat (ex.fg. Du kan få rest på dem. Axlar ska alltd defneras. Ta bort överflödg nformaton ur fguren. All text I fguren ska vara läsbar.

22 Exempel: Projketlknande flter Plotta fltrets stegsvar. Hur lång td tar det för fltret att stablsera sg? Plotta fltrets frekvens- och fasgång. Vlken typ av flter är det? Vad händer om v sänder x(t=sn(0.2πt genom fltret? Vlken utsgnal skulle v få gvet en fyrkantsvåg som går mellan 0V och 1V med peroden 4s?

23 Exempel: Stegsvar 1. 4 S t e g s v a r 1. 2 U t s g n a l [ V ] Den td det tar för stegsvaret att nå stt slutvärde (här 1 är den td det tar för fltret att stablsera sg (här ca 10s T d [ s ]

24 Exempel: Frekvens- och Fasgång F re k v e n s g å n g H (jw F re k ve n s [ H z ] F a s g å n g [ ra d ] F re k ve n s [ H z ]

25 Exempel: Fyrkantsvåg 1 ns gnal uts gnal 0.8 A m pltud [V ] Td [s ] LTspce smulerngar

26 Lycka tll!