Jämviktsvillkor för en kropp

Transkript

1 Jämvktsvllkor för en kropp Det förekommer ofta stuatoner där man önskar bestämma vlka vllkor som måste uppfyllas för att en fast kropp skall förbl stllastående, dvs. befnna sg jämvkt. Den här delen av mekanken kallas statk. ör att uppfylla kraven för såväl translatonsjämnvkt som rotatonsjämnvkt krävs att såväl summan av alla krafter = 0 som summan av alla vrdmoment = 0. (Typskt statkproblem) x 0 0 y 0 z 0 0 x 0 y 0 z 0 rktonen vd A är försumbar. W = 40 N. Hur stor frktonskraft 1 krävs för att stegen står kvar mot väggen. Exempel:1 1

2 rktonen vd A är försumbar. W = 40 N. Hur stor frktonskraft 1 krävs för att stegen står kvar mot väggen. Stegens längd l. ŷ ẑ xˆ 1. Sätt ut krafter som påverkar stegen. Välj vrdnngspunkt där den okända kraften verkar (vrdnng runt B) xˆ _ led : yˆ _ led : A 0 0 C r Valt vrdnng A W A runt 0 r 0 B C B W C l l W cos xˆ sn yˆ Wyˆ l( 3 sn cos) zˆ W 3 sn cos 0 W cos 40 cos60 (1) () ger : N sn sn 60 Svar : 11.5 xˆ N B r 3 B (1) 1 0 ( r cos xˆ sn yˆ B ത 1 0) xˆ 3 0

3 Rörelsemängdsmoment (eng. angular momentum) ör rotatonsrörelser kallas den storhet som motsvarar rörelsemängd translatonsrörelse för rörelsemängdsmoment. Varför rörelsemängdsmoment? Är en storhet som bevaras vd centralkrafter och frånvaro av externa krafter som v senare ska vsa -> praktsk att använda vd beräknngar. ത= r ҧ mv ҧ = r ҧ ഥp Rörelsemängdsmoment ör crkelrörelse är vҧ och ത =m ҧ r തv snq = mrv = mr w kan även skrvas som vektorer ത = mr ഥw rҧ vnkelräta (rktad vnkelrätt mot det plan som spänns upp av r och v. 3

4 Vrdmoment och rörelsemängdsmoment Bevs: തτ d ഥ dt = ሶ ത momentekvatonen Då = r p blr d/dt = dr/dt p + r dp/dt Men då dr/dt = v och v är parallell med p (p=mv) blr första termen noll d/dt = r dp/dt och = dp/dt ger d/dt = r = Observera: d/dt = gäller endast då och mäts relatvt från samma punkt. v Exempel: 4

5 ҧ Rörelsemängdsmomentets bevarande dത = τ ҧ om ҧ dt τ=0 d ത dt =0 ത = konst all 1: ör en fr partkel ( ത = 0) är dvs ത konstant τ= ҧ 0 och dത dt = 0, all : Om ത är parallell med r ҧ, dvs verkar genom O τ ҧ = r ҧ ത = 0 En kraft mellan partklar som verkar sammanbndnngslnjens rktnng kallas central kraft. Eftersom τ = 0 är då ത konstant. ör partkel påverkad av centralkraft är rörelsemängdsmomentet bevarat 5

6 Rörelsemängdsmoment för partkelsystem ത 1 ത 1 ത 1 ത Def. Totala rörelsemängdsmomentet för system av n partklar relatvt en fx punkt O: n 1 n 1 r p Interna krafter: j = j Allmänt momentekvatonen: tot = d /dt Externa krafter: tot = ext + nt 1 Om de nterna krafterna är centrala (verkar längs sammanbndnngs-rktnngen) ger de Z nget nettomoment nt (ätt att se två dm., se fgur). l ത 1 ത 1 Hävarm nt = 0 ger nget bdrag tll d /dt tot = ext = d /dt Y nt l ( 1 1) 0 6

7 Rörelsemängdsmoment för partkelsystem ext = d /dt Rörelsemängdmomentets tdsdervata hos ett partkelsystem relatvt en godtycklg punkt är summan av vrdmomenten, relatvt samma punkt, av de externa krafterna som verkar på systemets partklar. Specellt om ext = 0 blr konstant. Totala rörelsemängdsmomentet bevaras för ett partkelsystem utan externt kraftmoment. 7

8 Rörelsemängdsmoment för tunn skva Tunn skva, rotatonsaxel vnkelrät mot skvans plan: Totala rörelsemängdsmomentet erhålls genom summerng av bdragen från varje ltet masselement m vd R. R 1 m v m R 3 m R w w... m R (Rörelsemängdsmoment för m crkulär rörelse) w I w Tröghetsmoment relatvt vrdnngsaxel Som framgår ovan är vektorerna och w parallella för det här fallet där v beräknat relatvt en axel som är vnkelrät mot en tunn skva. 8

9 Rörelsemängdsmoment för godtycklg stel kropp ör en stel kropp av godtycklg form som roterar runt vektorrelatonen: r m v ẑ måste v använda När dessa bdrag summeras tll en totalvektor xˆ x yˆ y zzˆ är den normalt nte parallell med w. Däremot gäller alltd skalärrelatonen: z =Iw 9

10 Rörelsemängdsmoment för godtycklg stel kropp Varje kropp har dock mnst tre vnkelräta rktnngar som kallas prncpalrktnngar. Om kroppen roterar runt en prncpalrktnng så gäller: Iw dvs rörelsemängdsmomentet är parallellt med vnkelhastgheten. OBS: Vd symmetr sammanfaller prncpalaxlar med symmetraxlar.

11 Rörelseekvatonen för stel kropps rotaton Det grundläggande sambandet är d/dt =. Väsentlgt att särsklja krng vlken axel rotatonen/vrdnngen sker: * krng fx punkt nertalsystem * krng masscentrum * krng prncpalaxel w cm =mg w w Om man betraktar rotaton krng masscentrum ger tyngdkraften nget vrdmoment, alltså är = konstant ( d /dt= 0). En kropp som enbart påverkas av tyngdkraft kommer att rotera med konstant. Vd rotatonen krng prncpalaxel gäller I w vlket ger: d d( I w ) d( w ) I I dt dt dt Newton II för rotaton

12 Rörelseekvatonen för stel kropps rotaton w w I Om = 0 gäller: Vnkelhastgheten för stel kropp som roterar krng prncpalaxel förblr konstant frånvaro av yttre vrdmoment OBS! ör prncpalrktnngar = konstant när tot = 0 gäller alltd w = konstant gäller endast för rotaton runt prncpalaxlar

13 = I w I R dm konstant Exempel: 3-> 13