Mekanik II repkurs lektion 4. Tema energi m m

Transkript

1 Mekanik II repkurs lektion 4 Tema energi m m

2 Rörelseenergi- effekt P v P (hastighet hos P) dt/dt= F P v P F P för stel kropp

3 När kan rörelseenergi- effekt användas? Effektbidrag från omgivningen (exempelvis rullband) måste vara kända, utesluter i praktiken rullband. Inre krafters arbete skall vara noll (utesluter användning under ex vis stöt)

4 När kan rörelseenergi- effekt användas, forts? v P skall vara någorlunda enkla, helst så att vi till slut har en enda så kallad frihetsgrad. Hastighetsberoende kraft kan behandlas om de angivna villkoren är uppfyllda

5 Ren rotation runt masscentrum som åstadkoms av ett kraftmoment M z Rörelseenergi- effekt i detta fall: dt/dt= M z ω ω är z- komponenten av vinkelhastigheten T= I ω 2 /2 Notera att dt/dt=(dt/dθ) $% dt/dθ = Mz $& = ω dt/dθ Integrerad på nästa slide Exempel 18.14, M z =M 0 - c ω 2

6 18.20 Pendel, som faller från horisontellt läge Här är i motsats till mekaniska energin bevarad Använd alltså mekaniska energins bevarande!

7 Rörelseenergi- arbete innebär inskränkningar Kräver att krafter ej är hastighetsberoende T 2 - T 1 = M z dθ där integrationen går från vinkeln ϴ 1 till ϴ 2 om vi har en ren rotation runt masscentrum som åstadkoms av ett kraftmoment M z Torsionsfjäder M z =- Kϴ ger M z dθ=kθ 12 /2- Kϴ 22 /2

8 Mekaniska energins bevarande T 2 +V 2 =T 1 +V 1 V är potentiella energin totalt sett för de krafter, som uträttar arbete på systemet Oftast är V känd från kap 15 i Bedford- Fowler undantaget är torsionsfjäderkraft med V=Kϴ 2 /2 (Observera att K har dimensionen energi). Friktionens arbete vid ideal rullning försummas

9 Ballistisk pendel, mekaniska energin bevarad under del av förlopp O Antag att partikeln fastnar. Under stöten bevaras H oz för systemet pendel+partikel men inte mekaniska energin

10 Exempel B3 juni 2015 Fo r att maẗa en projektils fart kan en ballistisk pendel anva ndas. Pendeln besta r av en tunn homogen stav som a r uppha ngd i sin ena a nde sa att den kan sva nga fritt utan friktion kring uppha ngningspunkten. Stavens massa a r M=0.20kg och la ngden ll=1.00meter. Projektilen har massan m=12.5gram och a r sa liten att den kan ses som punktformig. Projektilen ro r sig horisontellt na r den tra ffar pendeln och fastnar i densamma h=0.80 meter fra n uppha ngningspunkten. Efter stoẗen, som a r ytterst kortvarig, sla r pendeln upp till θ 0 =68.20 o fra n lodlinjen. Bera kna projektilens hastighet. (5p)

11 För vilket alternativt h är stötimpulsen i upphängningspunkten försumbar? Försumbar stötimpuls innebär att även rörelsemängden för hela systemet (stav+projektil) bevaras. Observera att detta inte gäller i allmänhet.

12 När bevaras mekaniska energin? Under svängningsförloppet efter stöten

13 Tvåkropparsystem Ballistisk pendel är ett exempel på tvåkropparsystem Observera dh Oz /dt=m Oz gäller (även) för systemet. Krafter mellan kroppar blir då inre krafter med total kraftsumma noll och totalt inre kraftmoment noll. Vi trollar bort den stora kraften mellan kropparna vid stöt genom att betrakta hela systemet.

14 Ännu mer trolleri Vi trollar bort bidraget från stora tvångsstötkrafter i O till kraftmomentet genom att välja O som momentpunkt. Endast tyngdkraften bidrar till kraftmomentet och under stöten är det bidraget litet. Det är detta faktum som gör att vi erhåller bevarat rörelsemängdsmoment med avseende på O för hela systemet under stöten.

15 Än rörelsemängden då? Rörelsemängden för systemet i den ballistiska pendeln bevaras inte under stöten eftersom systemet påverkas av stora tvångsstötkrafter i upphängningspunkten O. Dock kan man för speciell träffpunkt ibland kunna försumma tvångsstötkrafternas impuls med konsekvens att rörelsemängden bevaras.

16 Energin vid stöt igen Vi kan inte i energisammanhang trolla bort den stora stötkraften eftersom inre krafter kan uträtta arbete. Dessutom kommer i praktiken pendeln som träffas inte heller att vara en stel kropp under stöten (men återgå till att vara det efter stöten).

17 Energimetoder i kap 21 När dämpning försummas är mekaniska energins bevarande nästan alltid en framkomlig väg. För fallet dämpning är rörelseenergi- effekt nästan alltid en framkomlig väg. Observera att ovanstående är tumregler och äckliga undantag finns såsom dubbelpendel.

18 Guppande flöte B5. aug 2015 En homogen cylindrisk boj med densitet ρ 0 radie r och höjd L guppar upp och ned i vattnet da r vattnets densitet a r ρ=1030kg/m3. ρ 0 < ρ. Bojens lyftkraft a r lika med tyngden av det undantra ngda vattnet (Arkimedes princip). Besta m periodtiden τ fo r bojens sva ngningar uttryckt med de i problemet givna storheterna. Inga drivande vattenva gor finns. (3p)

19 Lösning Cylinderns massa m= Lρ 0 πr 2 Nettokraft på cylindern - gxρπr 2 x avvikelse från jämviktsläget Newtons andra lag Lρ 0 πr 2 d 2 x/dt 2 =- gxρπr 2 d 2 x/dt 2 +(ρ/ρ 0 )gx/l=0 ω 02 =gρ/(ρ 0 L)