UPPSALA UNIVERSITET Inst. för fysik och astronomi Mattias Klintenberg, Allan Hallgren, Staffan Yngve, Arnaud Ferrari, Glenn Wouda och Lennart Selander

Transkript

1 UPPSALA UNIVERSITET Inst. för fysik och astronomi Mattias Klintenberg, Allan Hallgren, Staffan Yngve, Arnaud Ferrari, Glenn Wouda och Lennart Selander TENTAMEN MEKANIK II 1FA102 SKRIVTID: 5 timmar, kl Hjälpmedel: Nordling-Österman: Physics Handbook Råde-Westergren: Mathematics Handbook Räknedosa Markera svarsalternativ för A-uppgifterna på bifogat svarsformulär. Börja varje B- uppgift på nytt blad. Skriv TYDLIGT ID-kod samt program/grupp på varje blad du lämnar in. Definiera införda beteckningar i text eller figur, motivera uppställda samband (endast B- delen). Motiveringarna utgör en väsentlig del av problemets lösning och avgör poängbedömningen (gäller endast B-delen). YTTERLIGARE information om regler angående A- och B-uppgifter på sista sidan. LYCKA TILL! ID-kod: Program och grupp: Inlämnat antal lösningsblad till uppgifterna Uppgift Svarsformulär A-del B1 B2 B3 B4 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1

2 ID-Kod: Svarsformulär för A-delen Program: [ ] Markera om du lämnat kommentarer på baksidan. A.1a [ ] L/2 [ ] L/4 [ ] L/8 [ ] Lm B /m E A.1b [ ] v åt vänster [ ] v åt höger [ ] v=0 [ ] 2v åt vänster A.1c [ ] något till vänster om hålet [ ] något till höger om hålet [ ] rakt på sydpolen [ ] rakt på nordpolen A.2a [ ] CM rör sig rakt åt höger, ingen rotation. [ ] CM rör sig rakt åt höger, rotation moturs kring cm. [ ] CM rör sig ej, bara rotation kring cm, moturs. [ ] CM rör sig snett uppåt åt höger, ingen rotation. A.2b [ ] F 2 =F 1 [ ] F 2 =R 1 *R 2 *F 1 [ ] F 2 =(R 2 /R 1 )*F 1 [ ] F 2 =(R 1 /R 2 )*F 1 A.2c [ ] stav med massa M, längden L [ ] stav med massa 3*M, längden L [ ] stav med massan M, längden 2*L [ ] stav med massan 2*M, längden 2*L A.3a [ ] H>h [ ] H=h [ ] H<h [ ] H=0 A.3b [ ] k [ ] mv 2 /2 [ ] mgx 2 /2 [ ] kx 2 /2+konstant A.3c [ ] Mekaniska energin bevaras. [ ] Rörelsemängden bevaras. [ ] Rörelsemängdsmomentet m.a.p. A bevaras. [ ] Stötkraft är ungefär lika stor som normalkraften i B. A.4a [ ] [ ] [ ] [ ] A.4b [ ] [ ] [ ] [ ] A.4c [ ] θ=0 [ ] cos(θ)=θ [ ] sin(θ)=θ [ ] θ=1 Α.5a [ ] x-led [ ] +x-led [ ] y-led [ ] den utbreder sig ej A.5b [ ] 0 [ ] p [ ] pr/t [ ] pr/(2t) A.5c [ ] A-B [ ] B-Α [ ] A 2 +B 2 [ ] A+B 2

3 Lämna svar på bifogat svarsformulär för A-delen. A.1 Kraftmoment, kinematik samt accelererade referenssystem. (3p) a) Elsa och Axel gungar på gungbrädan i figuren. Stödet är placerat L/4 in på gungbrädan. Axel (massa m A ) sitter på vänstra kanten. Elsas massa är m E och gungbrädan m B (m A =m E =2m B ). Hur långt från stödet ska Elsa sitta för att gungbrädan ska vara i balans? ma mb me ω b) Ett hjul med radie R glider utan friktion och roterar medurs med vinkelhastigheten ω = v /R. Punkten P s hastighet är noll. Bestäm masscentrums hastighet. P C c) Allan jobbar på ett experiment (IceCube) som är lokaliserat vid sydpolen. Då och då avnjuter han en golfrunda med sina kollegor. Om det 18e hålet är placerat mitt på sydpolen, åt vilket håll måste man sikta för att slå hole-in-one (en vindstilla dag )? A.2 Dynamiken. (3p) a) En stel kropp ligger på ett friktionsfritt underlag, en kraft appliceras enligt figur. Vilket alternativ beskriver kroppens rörelse på ett korrekt sätt just efter efter det att kraften har applicerats? b) Två cykelhjul har samma tröghetsmoment men olika radie. Vad gäller för F 2 om vinkelaccelerationen ska vara lika för båda hjulen då de roterar fritt runt sin axel? F 1 R 1 R 2 F 2 c) Vilken av följande homogena stavar har störst tröghetsmoment kring axeln enligt figuren (se svarsformulär för alt.)? C A.3 Arbete-energi. (3p) a) En homogen kula släpps i vila från höjden h på en cylindrisk yta enligt figuren. Den släpps på den halvan som är så pass sträv att kulan rullar från start. Den andra halvan är helt friktionsfri. Vilket påstående är korrekt vad gäller höjden H kulan når på den andra cylinderhalvan? h H b) En massa på ett friktionsfritt horisontellt bord påverkas av en fjäder med kraften F=-kx. Systemet svänger runt x=0. Vilket uttryck beskriver detta konservativa systems potentiella energi? (se svarsformulär för alternativ)? c) En kula stöter i en kant enligt figur. Innan stöt är kulans hastighet rakt åt höger. Vilket påstående är korrekt om vi förutsätter att stötapproximationen väl beskriver situationen. B A 3

4 A.4 Svängningsrörelse. (3p) a) En ekvation för ett systems rörelse ser ut enligt följande: med vilken vinkelfrekvens svänger systemet efter att en mycket lång tid har gått? b) Vilken lösningsansats är den korrekta för partikulärlösningen för följande svängningsekvation? c) I fysiken linjäriserar vi ofta lokalt. För den fria ideala pendeln betyder det att rörelseekvationen kan förenklas vid små svängningar. Vilken approximation är i detta fall OK, dvs hur förenklas rörelseekvationen? θ A.5 Elasticitetsteori samt mekaniska vågor. (3p) a) Vilken utbredningsriktning har vågen y tot (x,t)? y tot (x,t)=-2asin(kx)sin(ωt) b) En gastank består ut av metall och har en sfärisk form. Gasen inuti den utövar ett övertryck p på dess väggar. Tankens väggar har innerradie R och tjocklek t, t<<r. Vad är spänningen på insidan av tankens väggar i radiell led? c) Två mekaniska vågor möts i ett medium. y 1 (x,t)=acos(kx+ωt) och y 2 (x,t)=bcos(kx-ωt). Bestäm max amplitud vid superposition. 4

5 B.1 Två målade klot ser för en betraktare likadana ut med samma radie r och samma massa m. Emellertid har ena klotet tillverkats av en mycket lättare kärna med mantel av bly, som ger klotet tröghetsmomentet I 1. Det andra klotet har en tung kärna och en lätt mantel och tröghetsmomentet I 2 =I 1 /3. I båda fallen ligger masscentrum i klotets centrum. Kloten testas genom att låta dem rulla i en loopingbana med radie R (R>>r). Vad ska starthöjden h vara för respektive klot för att normalkraften från loopen på klotet ska vara N=mg vid högsta punkten? Vi antar att kloten rullar under hela förloppet. (5p) 2R h B.2 I simskolan används mantrat böj, vinkla, ut och ihop. Ihop-biten är här extra viktig och ska gå fort så gossen Otto bestämmer sig för att hemma bygga en modell. Två brädlappar är förbundna med ett gångjärn (fäst i taket) och kan rotera friktionsfritt runt detta. Brädbitarna har massorna m 1 =0.3kg samt m 2 där m 2 =2m 1 och längden är L=0.5m. I Ottos modell ingår också skon han glömde ta av vid förra simskoletillfället (markerad m 3 i figuren). m 3 =m 1. Systemet släpps från vila vid startvinklarna θ 1 =45 o samt θ 2 =30 o men så att de slår ihop på lodlinjen (θ 1 =θ 2 =0). Bestäm energiförlusten då brädorna slår ihop. (Notera att efter stöt sitter brädorna och sko ihop som EN stel kropp. Skon saknar utsträckning). (5p) m3 L θ 1 θ 2 L B.3 Bestäm rörelseekvationen (dvs den differentialekvation som gäller för rörelsen) för kroppen B (massa m) i figuren. B s rörelse är vertikal. Cylindern (radie R, massa M) rullar horisontellt på strävt underlag, fjäderkonstanten är k, dämpningskonstanten är c (dämpande kraft är proportionell mot hastigheten men motriktad). Det otänjbara masslösa tunna snöret (streckat i figuren) löper fritt i öglan (ö) och är fäst i dämpningsstången. Den masslösa stången vilar på cylindern och ingen glidning sker mellan cylinder/stång (detta kan ordnas med lämplig anordnig som pressar stången mot cylindern). Hint: Börja med att bestämma rörelseekvationen för cylindern och glöm inte att frilägga! (5p) c k MC B ö B.4 En kula med vinkelhastigheten ω 0 (ω vinkelrät planet OPQ) och radie R sätts ned på ett lutande plan. Sträckorna OP=13R/5 och PQ=R. Den kinetiska friktionskoefficienten mellan kula och bord är µ=0.5. (5p) a) Bestäm accelerationen hos masscentrum innan kulan börjar rulla. b) Bestäm kulans vinkelhastighet precis när den börjar rulla (ingen glidning). c) Vad är villkoret på ω 0 för att kulan över huvud taget ska hinna komma i gång att rulla innan den nått kanten. O ω0 P Q 5

6 Tentamen består av två delar, A och B. Del A utgörs av de fem första problemen, A1 A5 och del B av de fyra sista B1 B4. Varje A problem kan ge maximalt 3 poäng och varje B problem max 5 poäng. För godkänt krävs Dels minst 10 poäng sammanlagt på A delen Dels minst 2 poäng på varje problem på A delen Dels minst 8 poäng sammanlagt på B delen Betygsgränser 3 18p 4 24p 5 30p Har du godkänd dugga erhålls 5 poäng på uppgift B1 utan att lösning behöver lämnas in. Observera även att examinator förbehåller sig rätten att utifrån en helhetsbedömning något avvika från ovanstående kriterier. Så ge inte upp, även om det verkar gå dåligt på en A uppgift! För A delen gäller: Endast bifogat svarsformulär lämnas in. För B delen gäller: Kom ihåg att vara noggrann med motiveringar och redovisning av din lösning. Ange vilka grundläggande samband du utnyttjar. Motiveringarna utgör en väsentlig del av problemets lösning och avgör poängbedömningen. En FIGUR med alla relevanta krafter markerade är oftast en viktig del av en motivering! 6