Mekanik III Tentamen den 19 december 2008 Skrivtid 5 tim De som klarat dugga räknar ej uppgift m/2

Transkript

1 Mekanik III Tentamen den 19 december 8 Skrivtid 5 tim De som klarat dugga räknar ej uppgift r mg/r m mg/r 9m/ En klots med en cylinderformad urgröpning med radie r glider på ett horisontellt, friktionsfritt underlag I den glatta urgröpningen glider en partikel. Klotsen är fästad i två identiska fjädrar (parallella med underlaget), vilkas andra ändpunkter är fästade i fixa punkter. Fjädrarna är ospända då klotsarna befinner sig mitt emellan fjädrarnas fästpunkter. Partikelns massa är m, klotsens massa är 9 m, fjädrarna har båda fjäderkonstanten mg/r.bestäm vinkelfrekvenserna för små svängningar hos systemet (5 p).. En rymdfarkost rör sig i en cirkelbana runt en planet (massa M) med fart v. m fartökning sker på kort tid med oförändrad rörelseriktning till 1.v 6 v 5 bestäm i givna storheter avståndet till planetens centrum före (och under) fartändringen samt största avstånd till planetens centrum i banan efter fartändringen (13 p) 3. En stång med längd l är med en friktionsfri bult fäst vid en friktionsfritt lagrad tunn vertikal axel. Stångens vinkel med axeln är och bulten är sådan att stången är fritt rörlig i led. Systemet startar med 8g/l,,, /3. Bestäm som funktion av under den följande rörelsen och bestäm, vinkelaccelerationen i led vid t. Att axeln är tunn innebär att den ej bidrar till systemets kinetiska energi (5p) Ledning: df/d d ln f om. f

2 4. JAS 39 Gripen flygs med farten v längs en horisontell cirkelbana med radie R. I jetmotorn finns en turbin, vars axel är parallell med flygplanets längdaxel. Turbinen roterar moturs sett bakifrån med vinkelhastigheten relativt flygplanet, Rotationsaxeln är parallell med flygplanets längdriktning. Turbinen har tröghetsmomentet J med avseende på turbinaxeln. Under svängen märker flygföraren att flygplanets nosläge har en tendens att ändras. Bestäm åt vilket håll kraftmomentet frän turbinen påverkar det övriga flygplanet. Bestäm även kraftmomentets storlek om JAS 39 Gripen flyger medfartenv336m/s i en bana med radie R.4km? Turbinens vinkelhastighet är radianer/sekund, dess massa är m 1 kg och dess tröghetsmoment med avseende på rotationsaxeln J 1 kgm.(5 p) 5. I ett tänkt experiment infaller en partikel med massan m mot en partikel i vila med samma massa m. m en fullständigt inelastisk stöt inträder innebärande att en sammansatt, exciterad, partikel bildas av stöten med farten 1 c, bestäm den ursprungliga partikelns fart. (4p) Lösning till 1: m klotsens förflyttning från läget mitt emellan fjädrarnas fästpunkter är x och klotsens hastighet således är ẋx, blir partikelns hastighet ẋx r Lagrangefunktionen blir L 1 mẋx r 9 4 mẋ 1 mg r x 1 mg r 11 4 mẋ mrẋ 1 mr mg r x 1 mgr där approximationen för små svängningar gjorts i högra ledet. L/ ẋ 11 mẋ mr, L/ x mg r x L/ mrẋ mr, L/ mgr. Lagranges ekvationer ger 11 mẍ mr mgx/r mrẍ mr mgr eller x mgr1 cos 11 ẍ/r gx/r ẍ/r g/r Ansättes x/r Aexpit, Bexpit där A, B är dimensionslösa fås A 11 g/r B A Bg/r Vi noterar att B/A g/r 3 och att icke triviala lösningar fås om

3 g/r 11 g/r som ger andragradsekvationen g/r g /r eller g/r 4 9 g /r 4 3 g/r 1 g/r 3 Vinkelfrekvenserna blir 1 och g 3r g 3r Lösning till. v 1 6 v 5,därv är farten i cirkelbana Sambandet v MG/r 1 för cirkelbana, som lätt erhålls ur v /r 1 MG/r 1 ger v MG/r 1,varur r 1 MG/v Rörelsemängdsmomentets bevarande ger v 1 r 1 v r med v 1 6 v 5 och r sökt varav v 6 v 5 r 1 /r Insätts detta i uttrycket för mekaniska energins bevarande 1 v MG/r 1 v 1 MG/r 1 erhålls v 5 r 1 /r MG/r v 5 MG/r 1 v 5 1 r 1 /r MG1 r 1 /r r 1 1 varav v 5 1 r 1 /r MG r 1 1 v enligt ovan 1 r 5 1/r 1 r 5 1/r 7 5 r r 7 1 Svar: MG/v är minsta avstånd till planetens centrum och MG/v 7 är största avstånd till planetens centrum. 8 fyllde Nelson Mandela 7 9 år. Lösning till 3. T 1 L där med x-axeln i stångens längdriktning, y-axeln vinkelrät mot x-axeln och i samma plan som stång och axel.och med stångens massa satt lika med m cos L I ml /3 sin m l sinŷ m l ẑ 3 3 ml /3 där tröghetsmomentet tagits ur Physics Handbook och där tröghetsprodukterna är noll av symmetri. T m l sin m l 6 6 U 1 mglcos och Lagrangefunktionen blir L m l sin m l 1 mglcos 6 6 Vi ser att är en cyklisk koordinat, vilket innebär att L/ m l 3 sin är en rörelsekonstant sin sin g/l

4 3 1 g/l sin Lagrangeekvationen d L L/ ger m l m l sincos 1 mglsin 6 3 sincos 3 g sin l g/l 5 3 g 4 l Extra: Mellan vilka gränser i rör sig stången? T U m l sin m l 1 mglcos 6 6 där 9 g/l varav sin 4 T U 3 4 mgl/sin m l 1 mglcos 1 mgl cos Mekaniska energins bevarande ger 1 mgl 3 1 cos l g cos cos m l 6 1 mgl 3 cos 1 1/4 g 1 cos cos mgl 4 cos cos cos m l 6 Vi har vändlägen för /3 och /. Vinkeln varierar således mellan /3 och / under rörelsen.. Lösning till 4 Cirkelbanan svarar mot v/r Låt ett partiellt kroppsfixerat system följa med planet men ej i rotationsrörelsen svarande mot. Det betraktade systemet är turbinen. x axeln ut från planet (radiellt, r -riktning ) y-axeln i -riktningen. I L I( I J L Iŷ Jẑ dl I dŷ J dẑ Men dŷ ŷ dẑ ŷẑx varav dl Jx N Det sökta kraftmomentet är N Jx Numeriskt J kNm 4 I J Lösning till 5 Med sökta farten u och exciterade massan ger rörelsemängdens och energins bevarande mu V/ 1 V /c mc mc c / 1 V /c där 1 V /c 3/4 ty V/c 1/ enl test. mu c/ 3 Vi erhåller och ledvis division ger ( 1m 4/3 1 1/ u/c varav 1/ u/c 1 eller

5 1 u /c u/c 1 varav 1 u /c 4u /c 4u/c 1 5u /c 4u/c varav u/c.8 Svar: u.8c Resttentamen 1FA13 Mekanik III den 17 april 9. Skrivtid 5 timmar. Tillåtna hälpmedel är räknedosa, Beta Mathematics Handbook, Physics Handbook, Formelsamling Mekanik III.. Godkänd dugga Mekanik III uppgift 1 tillgodoräknas. 1. Två likadana homogena skivor, vardera med massan m och radie R är friktionsfritt rörliga kring en gemensam axel. De påverkas vardera av ett yttre kraftmoment från var sin likadan torsionsfjäder sådan att om skivorna vrids samma vinkel påverkas de vardera av ett återförande kraftmoment -k. Dessutom påverkas skivorna av en torsionsfjäder kopplad mellan skivorna, som söker återföra relativa vinkeln till noll. Detta svarar mot ett inre kraftmoment K( ), där och anger respektive skivas vridningsvinkel. Bestäm och som funktion av tiden om systemet startar från vila med och. (5p) Ledning: Torsionsfjädern mellan skivorna bidrar med potentiella energin 1 K.. En rymdfarkost rör sig i en cirkelbana kring en måne på avståndet 17 R från månens 8 centrum, där R är månens radie. Hur mycket (i procent) kan farkosten som mest minska sin fart i färdriktningen (genom en kort inbromsning) utan att störta mot månen? (4 p) 3. En rak, homogen stång med massa m och längd l är friktionsfritt vridbar kring sin ena ändpunkt. I första ögonblicket är stången horisontell ( ) och roterar kring vertikalen genom med vinkelhastigheten (och ). Under tyngdkraftens inverkan börjar den vrida sig kring en horisontell axel genom. Bestämför den följande rörelsen som funktion av samt bestäm den vinkel för vilken nästagång,dvsdärstångenvänder.systemetfårbetraktassomkonservativt. (5p) A B Figur till uppgift 3 9g l 4. En rotor är horisontellt monterad enligt figur till vänster ovan. Rotoraxeln är lagrad i A och B.Rotorn har konstant vinkelhastighet. Upphängningen roterar med den konstanta vinkelhastigheten kring en vertikal axel genom rotorns masscentrum. Bestäm lagerkrafterna i A och B. Rotorn är rotationssymmetrisk, dess massa är m och dess

6 tröghetsmoment med avseende på rotoraxeln är J. Rotorns masscentrum befinner sig mitt emellan A och B och avståndet mellan A och B är l.(5p) 5. Två likadana partiklar med till beloppet lika stor men motsatt riktad rörelsemängd 15 mc kolliderar med varandra.det bildas fyra partiklar med samma massa m som de 8 ursprungliga, varav två i vila efter stöten. Bestäm beloppet av respektive rörelsemängd samt farten hos de två partiklar som har fart efter stöten. Problemet avser proton-antiprotonbildning i en accelerator med motvända protonströmmar, som kolliderar. (4p) Lösning till 1: Ledningen ger att totala potentiella energin blir 1 k 1 k 1 K och L 1 I 1 I 1 k 1 k 1 K med L L I, L I, L k K k K Lagranges ekvationer ger I k K I k K eller kk K I I kk K I I Ansätt Acost Bcost Då är, automatiskt uppfyllda. Vi erhåller kk A K B (*) I I K A I kk B I Koefficientdeterminanten noll ger ( kk K I I k I kk I k kk 1 I I B I/K kk A enligt (*) varav K B 1 A 1 B A och A 1 cos 1 t A cos t A 1 cos 1 t A cos t gera A 1 A och Acos 1 t Acos t Acos 1 t Acos t ger A 1 Svar: 1 cos 1 t cos t 1 cos 1 t cos t k kk 1 I I ImR / homogena skivor

7 Kort lösning till uppgift. Vi har först en cirkelbana radie r Då gäller att kraften på farkosten är MG/r och Newtons andra lag, normalkomponenten ger v /r MG/r varav v MG/r I vårt falll är r 17R/8, varav v 8MG 17R. Antag att farkosten bromsas in till v 1 c där c 1. Rörelsemängdsmomentets bevarande ger 8MG 17R 17 Rc 8MG Rv 8 17R där ett minsta avstånd lika med R (eller snarare aningen större än R) är det som gäller i kritiskt läge. 17 v c MG/R 8 Mekaniska energins bevarande ger c MG/R MG c c 8 17 Multiplicera med c 17 4c 8 R 1 c MG 17R/8 MG 17R/ c c 1 c.8 Man kan maximalt minska farten med %, Lösning till 3 / x i stångens riktning Låt bidraget till vinkelhastigheten från rörelsen i z-led vara ẑ (ẑ riktad in mot papperet) så erhålls sinx cos ŷ ẑ

8 I det kroppsfixerade systemet är axlarna principalaxlar, vilket följer av symmetriregler för tröghetstensorn I ty I xx I xx I yy I zz (försummas)ochi yy I yy I yy av symmetri I zz T 1 sin cos T 1 sin 1 cos 1 I yy I yy I yy cos I yy sin cos T 1 I yy cos I yy ml /3 enligt Physics Handbook (alt formelsamling) ger T cos U mg l sin L ml cos mg l sin 6 Vi ser att är en cyklisk koordinat, vilket innebär att L/ ml 3 cos bevaras och är lika med värdet ml 9g för. l 9g l ml 3 cos ml 3 1 9g (*) cos l Mekaniska energin är T U ml Insättning av (*) ger T U mg 3 4 l 1 cos T U mg 3 l 1 3 sin1 sin 4 cos Mekaniska energins bevarande ger mg 3 4 l 1 3 sin 3 sin3 cos 3 cos mg l sin 6 ml mg l sin 6 ml 6 ml 6 mg 3 4 l för 1 (sökt) ger 1 3 sin 1 3 sin3 1 cos sin 1 3 sin3 1 1 sin 1 sin sin 1 sin 1 sin 1 sin 1 3 sin 1 1 sin 1 sin 1 1 sin 1 sin 1 svarar mot redan känt vändläge och sin 1 1 varför den sökta lösningen är sin 1 1 Svar: 1 cos 9g l Vinkeln är /6

9 Lösning till 4: A B Vi använder ett partiellt kroppsfixerat basvektorsystem. Totala vinkelhastigheten är ŷ ẑ om z-axeln är cylinderaxel och ŷ är vertikalt riktad uppåt. Momentlagen m a p masscentrum ger dl N där I L I J dvs L Iŷ Jẑ dl Idŷ/ Jdẑ/ dŷ/, dẑ/ ŷẑx dl Jx Lagerkrafterna uppfyller enligt lagen om masscentrums rörelse F A F B mg Vidare är Nx lẑf A ŷ lẑ F B ŷ lf B F A x Jx F B F A mg F B F A J/l vilket ger Svar: F B 1 mg J/l, F A 1 mg J/l Lösning till 5 Vardera partikelns energi är c m c mc Detta innebär att energin före är 17 4 mc Den totala rörelsemängden bevaras och har vektorsumman noll före stöten varför de två partiklar, som rör sig efter stöten har motsatt riktade rörelsemängder p och p och de har vardera energin E c m c p,därp är sökt. Energins bevarande ger E E mc mc 17 4 mc

10 E c m c p 9 mc 8 m c p m c p m c p 1 mc 17 8 u c p/e c 1 mc c 17 8 mc 9 Utan miniräknare u 1 9 c c c c Med eller utan miniräknare u.458c