Lösningar till problemtentamen

Transkript

1 KTH Mekanik Mekanik bk och I, 5C03-30, för I och BD, , kl Lösningar till probletentaen Uppgift : En partikel i A ed assa hänger i två lika långa trådar fästa i punkterna B respektive C på saa höjd och på avståndet a från varandra. En vind blåser vinkelrätt ot linjen BC och påverkar partikeln ed en horisontellt riktad kraft F. Partikel är därför förskjuten a/4 åt sidan o linjen och befinner avståndet a under det horisontalplan där punkterna B och C ligger. Med koordinatssteet i figuren har punkterna koordinaterna A : (a/4, 0, a), B : (0, a/2, 0), C : (0, a/2, 0) och kraften från vinden är i -riktningen. Beräkna beloppet av spännkraften S i trådarna (saa i båda av setriskäl) och kraften F från vinden. C a/2 a/2 a/4 B a S e AC S e AB A F g Figur : Ssteet i Uppgift. De fra krafter so verkar på partikeln är utritade. Lösning : Trådarna går från r A = (a/4, 0, a) till r B = (0, a/2, 0) respektive r C = (0, a/2, 0). Det betder att spännkrafterna i trådarna kan skrivas, S e AB = S(r B r A )/ r B r A, () S e AC = S(r C r A )/ r C r A, (2) där S är det sökta beloppet. Man får att (r B r A ) = ( a/4, a/2, a) och (r C r A ) = ( a/4, a/2, a). Således är r B r A = r C r A = 2a/4. Då är alltså enhetsvektorn e AB = (, 2, 4)/ 2 och e AC har saa koponenter föruto ovänt tecken på -koponenten. Jäviktsekvationen F + g + S e AB + S e AC = 0 har då koponenterna, () : F S/ 2 S/ 2 = 0, (3) () : g + 4S/ 2 + 4S/ 2 = 0. (4) Dessa ekvationer ger Svar: Spännkraftbeloppet är S = 2g/8 och sedan fås F = g/4.

2 Uppgift 2: En partikel ed assa är fäst i en tråd av längd vars andra ände sitter fast i en fi punkt. Med tråden sträckt och riktad vertikalt uppåt ges partikeln en horisontell fart v 0 = g. Beräkna beloppet av totala kraften F på partikeln när tråden blivit horisontell. v 0 S g F Figur 2: Ssteet i Uppgift 2. Krafterna i det horisontella läget, tngdkraften g och spännkraften S, i tråden, är utsatta. Lösning 2: Farten v för partikeln i det horisontella läget fås ed hjälp av energins bevarande, till, 2 v2 0 + g = 2 v2, v = v g = 3g, då v0 2 = g. Kraftekvationen F = a i det horisontella läget, delas upp i naturliga koponenter. Då ṡ = v, och ρ =, ger detta, (e t ) : g = s, (5) (e n ) : S = v2. (6) Med v = 3g fås alltså S = F n = 3g. För beloppet av kraften fås således F = (g) 2 + (3g) 2. Detta ger F 2 t + F 2 n = Svar: F = 0g

3 Uppgift 3: En partikel ed assa hänger i en lätt fjäder ed stvhet k. Fjäderns naturliga längd är l. Hur cket längre är fjädern när partikeln hänger i jävikt? När partikeln är i vila ges den plötsligt en fart v 0 nedåt. Beräkna aiala värdet för den tterligare förlängning so fjädren får i den efterföljande rörelsen. k l v 0 l A Figur 3: Den statiska, initiala, förlängningen betecknas l. Den aiala förlängningen i den fortsatta rörelsen är lika ed aplituden A i den efterföljande svängningsrörelsen. Lösning 3: Den statiska förlängningen ges av F = 0 dvs. g k l = 0, så att förlängningen i jäviktsläget är l = g/k. Flttas nu origo till jäviktsläget blir rörelseekvationen, ẍ = k. Denna har den allänna lösningen (t) = A sin(ω n t + φ), där ω n = k/, ed begnnelsevärden (0) = 0 och ẋ (0) = v 0. Det första villkoret ger φ = 0 och det andra ger då, ẋ (t) = Aω n cos(ω n t), att v 0 = Aω n. Detta ger den aiala tterligare förlängningen A = v 0 /ω n : Svar: l = g/k respektive A = /k v 0. Man kan även räkna ut A ed hjälp av energins bevarade: 2 v k( l)2 = 0 ga + 2 k( l + A)2. Med l = g/k ger lite algebra att, 2 v2 0 = 2 ka2, vilket leder till saa svar A = /k v 0.

4 Uppgift 4: En partikel rör sig på insidan av en glatt kon (strut). Konens ael är vertikal och o den väljs till -ael har konen ekvationen = r, i clinderkoordinater (r = ). Toppvinkeln är alltså 90 och origo är i spetsen. Vid t = 0 befinner sig partikeln vid r = ed ṙ = 0 och θ = ω. Beräkna ω o banan är en cirkelbana (r = =konstant). Uttrck ṙ 2 so funktion av r o banan inte är en cirkelbana. N N g g Figur 4: Till vänster visas en crikelbana ed radien so en streckad linje och de krafter so verkar på partikeln. Till höger illustreras krafterna i det plan so innehåller partikeln och -aeln. Lösning 4: Till höger i figuren ser an att, g N/ 2 = 0, och att noralkoponeneten av kraften i cirkelbanan är F n = N/ 2 = g. Cirkelbanehastigheten är ju v = ω. Med naturliga koponeneter fås då: F n = a n g = (ω)2. Alltså är det första Svaret: g ω =. Sedan noterar an att både energin E = T +V och rörelseängdsoentets -koponent H är bevarade. I det första fallet för att krafterna är konservativa och i det andra fallet för att krafterna inte har något oent M ed avseende på -aeln. Vi får först att H = r 2 θ = 2 ω = konst. och sedan att 2 (ṙ2 + r 2 θ2 + ż 2 ) + g = E. Då = r på konens ta där partikeln befinner sig är ṙ = ż och g = gr. Vidare ger H att θ = 2 ω r 2. Detta sätts in i uttrcket för E så att, ż och θ eliineras. Begnnelsevärdena ger sedan att E = 2 2 ω 2 + g. Lös ut ṙ 2. Lite räkningar [använd att ( 2 r 2 ) = ( r)( + r)] ger nu Svaret: ṙ 2 = ( r) [ g 2 ω 2 ] ( + r). 2r2

5 Teoritentaen Uppgift 5: Forulera Newtons tre rörelselagar sat Newtons gravitationslag. Svar: För de tre rörelselagarna, se Nbergs teoribok sidorna Newtons gravitationslag är F = GM r 2 där F är attraktionskraften ellan två kroppar ed assorna och M, och där r är avståndet ellan de. Uppgift 6: Skriv upp kinetiska energin, T = 2 v2, för en partikel uttrckt i clinderkoordinater och deras tidsderivator. Svar: T = 2 (ṙ2 + r 2 θ2 + ż 2 ) Uppgift 7: Forulera Keplers tre lagar för planetrörelse. Svar: Se Nbergs teoribok sidan 249. Uppgift 8: Visa att det finns tre kvalitativt olika tper av fri däpad svängning geno att ställa upp och lösa karaktäristiska ekvationen. Svar: Se Nbergs teoribok, sidorna HE