Inlupp 3 utgörs av i Bedford-Fowler med obetydligt ändrade data. B

Transkript

1 Inlupp Sommarkurs 20 Mekanik II En trissa (ett svänghjul) har radie R 0.6 m och är upphängd i en horisontell friktionsfri axel genom masscentrum.. Ett snöre lindas på trissans utsida och en konstant kraft F 40.0 N utövas på snöret från t 0 till t s, under vilken tid L 5 meter av snöret lindas av. Trissan startar från vila. a) Vad är trissans vinkelaccleration? b) Vad är trissans vinkelhastighet 2 vid tiden t 2? c) Vad är trissans slutliga rörelseenergi? d) Vad är trissans tröghetsmoment I? Inlupp 2 En trumma på vilken är upplindat ett rep påförs ett kraftmoment av bf där b 0.2 m. F är den kraft som verkar på en vev. Trumman har radie R 0.25 m och tröghetsmoment I 2.9 kg m 2 där axeln går genom masscentrum. Hur stor måste F vara för att en vikt med massa m 50 kg som hänger ned i ett rep lindat kring trumman skall få en acceleration uppåt a 0.8 m/s 2 Inlupp 3 utgörs av 8.49 i Bedford-Fowler med obetydligt ändrade data. B O A Vi betraktar en dubbelpendel, som släpps från horisontellt läge. Vi har en med två leder försedd stång (OA) varav leden i O är fix i rummet. På den är fäst en skiva med en ursprungligen horisontell linje från A till skivans centrum (där den ursprungligen horisontella linjen fix i skivan benämns AB). Stången har massa m och längd 3R, därr är skivans radie. Skivan har massan 2m och är på periferin förbunden med stångens högra ände med en glatt led. Bestäm den initiala vinkelaccelerationen för respektive kropp om pendeln släppsfrånvila,dvsbestäm OA och AB 2 vid tiden t 0 under förutsättning att OA 0och AB 0 vid tiden t 0 Ledning: Frilägg stång och skiva!

2 A B O mḡ A 2mḡ Eftersom vinkelhastigheten är noll från början blir krafterna initialt vertikalt riktade som i figuren. Observera att de krafter, som representeras av de kortare pilarna utan beteckningar ej är givna. Låt numeriskt R 0.3m som i Bedford-Fowler. Inlupp 4 utgörs av 2. i Bedford - Fowler En bungy jumper massa m (m 72.6 kg hoppar från en bro ovanför en flod. Den elastiska linan har längden L och förlängs med ytterligare 2 L till 5 L räknat från 3 3 fästet i bron innan hopparen vänder L 8.3m. Bestäm frekvens och period (svängningstid) om vi vid beräkningen av dessa storheter försummar dämpning. Inlupparna 3 och 4 skall vara inlämnade senast tisdagen den 23 augusti kl 0.00 i samband med undervisningen, eller tidigare enligt anvisningar för inlupparna och2. Lösning Inlupp I detta fall vet vi mycket om kinematiken. Enkla överväganden ger att snöret påverkar trissan med ett konstant kraftmoment, vilket innebär att vinkelaccelerationen är konstant (se (*) nedan). Givna data är tillräckliga för att räkna ut vinkelaccelerationen på kinematisk väg. Den vinkel, som trissan roterat är relaterad till upplindat snöre enligt R 2 L 2 L/R Utgå nu från d 2 /dt 2 Integrera en gång och utnyttja att d /dt t 0 0, så erhåls d /dt t Integrera en gång till och utnyttja att t 0 0, så erhålls 2 t2 Vikannubestämma genom att vi vet att 2 L/R för t t 2. L/R t L Rt 2 2 vilket är svaret på a-uppgiften Numeriskt: 25/6 4.7 radianer/s 2 b-uppgiften Enligt ovan är d /dt t med 2L Rt 2 2 Vi söker i b-uppgiften vinkelhastigheten vid tiden t 2 : 2 d /dt t t2 t 2 2L/(Rt 2 vilket är den sökta storheten. Numeriskt: 2 25/ radianer/s c-uppgiften. Använd sambandet för rörelseenergins förändring i fallet ren rotationsrörelse ( 0

3 2 T 2 T M z d 0 där i vårt fall T 0och M z RF ( kraft gånger kraftarm ) och vi erhåller 2 T 2 M z d M z 2 RF 2 FL ty 2 L/R 0 Numeriskt T 2 200J d) Momentlagen dl z /dt z ger med i vårt fall dl z /dt I och z RF: I RF: (*) Ur (*) samt resultatet i a-uppgiften följer att I RF/ 2 FR2 t 2 2 /L 5.76 kgm 2 Alternativt löses d-uppgiften först och sedan utnyttjas T 2 I (ren rotationsrörelse kring masscentrum). Inlupp 2 Här påförs en trumma på vilken är upplindat ett rep ett kraftmoment av bf där b 0.2 m. Trumman har radie R 0.25 m och tröghetsmoment I 2.9 kg m 2 där axeln går genom masscentrum. Hur stor måste F vara för att en vikt med massa m 50 kg som hänger ned i ett rep lindat kring trumman skall få en acceleration uppåt a 0.8 m/s 2 Böjd pil symboliserar yttre kraftmoment från en vev τ z =Fb Frilägg gråa vikten för sig och trumman för sig. Momentlagen dh z /dt M z på trumman med dm z /dt Id z /dt och M z Fb TR där T är spänningskraften i snöret (nedåtriktad pil) ger Id z /dt Fb TR Newtons andra lag på vikten enbart ger mdv/dt T mg Samband mellan z och v är rullningsvillkoret v R z dvs z v/r Insättning i momentlagen ger dv/dt Fb TR () I R

4 Newtons andra lag ger T mg mdv/dt som insatt i () ger I dv/dt Fb mgr mrdv/dt R Härav följer att dv/dt FbR mgr 2 / I mr 2 För att vi skall ha dv/dt a måste a FbR mgr 2 / I mr 2 dvs FbR mgr 2 a I mr 2 eller F a I mr 2 / br mgr/b Numeriskt F 200N Alternativ: Energi-arbete på hela systemet med beaktande av att y/r (*) i detta fall, där y är den sträcka som vikten rör sig och den vinkel i radianer, som trumman snurrar. Vidare gäller att hastigheten/farten v dy/dt och vinkelhastigheten z d /dt uppfyller z v/r (**) (**) fås ur (*) genom att derivera med avseende på tiden. Konstant kraftmoment, som verkar under vinkeln svarar mot arbetet M z M z y/r och tyngdkraftens arbete är mgy (tyngdkraften motriktad rörelsen). Vi använder alltså energi-arbete på rörelsen från 0 till y på hela systemet och erhåller med beaktande av att kinetiska energin är noll för y 0: T-T 0 W tot med K 2 mv2 2 I z 2 och W tot y M z /R mg 2 mv2 I 2 z 2 0 M z y/r mgy eller om ( ) utnyttjas m 2 I/R2 v 2 y M z /R mg Med M z Fb fås v 2 2ay där a Fb/R mg / I/R 2 m (***) Vi identifierar a som den konstanta accelerationen Se Physics Handbook, där v 2 2as för rörelse under konstant acceleration a med start från vila och rörelse sträcka s). Ur (***) fås F uttryckt i givna storheter på samma sätt som i föregående lösning. Lösning inlupp 3: Nedanstående är inte den enklast möjliga lösningen men bygger på standardreceptet, nämligen att man frilägger varje kropp för sig och använder momentlagen med respektive kropps masscentrum som momentpunkt i kombination med Newtons andra lag på vardera kroppen. (Enklare är att för stången i stället använda momentlagen med O som momentpunkt). : Frilägg stång och skiva

5 N F A B O mḡ A F 2mḡ Eftersom vinkelhastigheten är noll från början blir krafterna initialt vertikalt riktade som i figuren. Momentlagen (eller Eulers andra lag) I stång 2 Mz stång på stången vid t 0 ger med beaktande av att Mz stång 3R N 3R F 2 2 och att I stång 2 m 3R mr2 3 4 mr2 3R N 3R F eller 2 2 mr 2 N F ( ) Newtons andra lag (Eulers första lag) ger med beaktande att accelerationen för stångens masscentrum vid t 0 är 3 R 2 3 mr 2 mg N F varav följer att N mg F 3 mr 2 som insatt i ( ) ger mr 2 mg 2F 3 mr 2 (*) F samt 2 bestäms genom att använda Eulers andra och första lag på skivan. Accelerationen hos skivans masscentrum initialt ā skiva t 0 3R R 2, där är riktad nedåt. För skivan är enligt Physics Handbook, I 2mR 2 /2 mr 2, varav med M z RF och 2, Eulers andra lag kan för en stel kropp I 2 M z ger mr 2 2 RF eller F mr 2 (**) Newtons andra lag med accelerationen ā skiva t 0 3R R 2 ger 2m 3R R 2 2mg F. (***) Insättning av (**) i (*) och (***) ger mr 2 mg 2mR 2 3 mr 2 2m 3R R 2 2mg mr 2 eller efter omformning och division med 2mRg och 3mRg, respektive 2 g 2R 2 2 2g 3R Addition ger 3 7g 7g 8R 6R eller Inssättning ger 2 2g 7g g 3R 9R 9R Vi ser att kraften i leden är F mg (se (**) och enligt ( ) gäller 9 N mg F 3 mr 2

6 mg mg 7 mg mg (F och N dock ej efterfrågade) g Svar: Vinkelaccelerationen för stången är och vinkelaccelerationen 8 R för skivan är motriktad stångens vinkelacceleration. g 9R Inlupp 4 Här har vi en bungee jumper massa m som hoppar från en bro ovanför en flod. Den elastiska linan har längden L och förlängs med ytterligare 2 3 L till 5 3 L innan hopparen vänder L 8.3m. Bestäm vinkelfrekvens och period. Om dämpningskrafter försummas äs enda krafter som uträttar arbete konservativa med potentialen mgx x 0 V x mgx 2 kx2 x 0 som också kan skrivas mgx x 0 V x mg k x 2 k 2 m 2 g 2 x 0 2 k vilket för x 0 representerar en parabel med minimum 2 för x mg/k. (som svarar mot jämviktsläge). V x m 2 g 2 k x Här ligger bron i x L, x 0 svarar mot hopparens läge när linan precis är rak utan kraft i linan och x 0 är det område där linan sträcks med vändläge i x 2 L vid fallet från bron. 3 Om mekaniska energins anses bevarad mellan fallet från bron och x 2L/3 fås mg 2 L k L 2 mgl varav k 2 L 5 mg ur vilket 9 3 k 7.5mg/L Detta betyder att mg/k L m I praktiken dämpas rörelsen och sker så småningom helt i området x 0, där rörelsen approximativt är en odämpad harmonisk svängning. Newton II i läge x 0 mẍ 7.5mgx/L mg ẍ 7.5 g x L 0 L 7.5 d 2 x L 7.5 g x L 0 x 0 dt L 7.5 d v s vi erhåller som väntat en svängningsrörelse kring x L 7.5 som inträder efter viss dämpning, som egentligen skulle ha varit med i rörelseekvationen. Vi ser att svängningsrörelsen i början har en hyfsad amplitud (nästan 2.5m) g/L Frekvens f 0 7.5g/L / 0 /f, 0 ovan. Numeriskt: f 0.32svängningar/sekund /f 3.sekunder