Tentamen i Mekanik SG1107, baskurs S2. Problemtentamen

Transkript

1 Tentamen i Mekanik SG1107, baskurs S OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik Problemtentamen 1 En cylinder med massan M vilar på en homogen horisontell planka med massan m (m<m) Cylindern är placerad i mitten på plankan som är fäst i en glatt led i O Ett rep fäst i cylindern och i änden A av plankan löper genom en liten friktionsfri trissa i B Den vertikala delen av repet bildar vinkeln 30 med delen längs AB Bestäm normalkraften på plankan från cylindern Ett kraftsystem bestående av två krafter samt ett kraftparsmoment är definierade i ett givet koordinatsystem enligt figuren Bestäm kraftsystemets resultant (reduktionsresultat) i origo O Avgör också om kraftsystemet har en (en-)kraftresultant eller ej 3 4 Två lika godsvagnar är förbundna med en slak, lätt kedja då den högra vagnen plötsligt ges en hastighet v 0 åt höger längs det raka spåret Bestäm vagnarnas hastigheter direkt efter den första stöten (rycket i kedjan) om stöttalet är e En vagn med massan m påverkas av en fjäder med kraftkonstanten k och av en dämpare med kraftkonstanten c Bestäm c så att dämpningsförhållandet blir " = 05 Bestäm även vagnens rörelse x(t) om den ges en fart v 0 i sitt jämviktsläge x=0

2 SG1107 Mekanik, baskurs S Teoritentamen 5 a) Vilka är mekanikens tre grundstorheter? b) Betrakta en kraft som angriper i punkten r A Bevisa att kraftmomentet av kraften med avseende på en punkt r P inte ändras, om kraften förflyttas från r A längs sin verkningslinje till den nya angreppspunkten r B (p) 6 a) Gör en dimensionsanalys av två storheter: Kraftmomentet och Arbetet b) Figuren visar tre kraftsystem på samma föremål Vilka av dessa kraftsystem är ekvimomenta med varandra? c) Definiera ett kraftsystems totala kraftmoment och visa att för två godtyckliga momentpunkter A och B gäller den så kallade "sambandsformeln för kraftmoment" 7 a) I en rak, central stöt mellan två partiklar registreras de hastigheter som visas i figuren Ange värdet på stöttalet b) Härled momentlagen c) Härled lagen om kraftens effekt 8 a) Antag att ett mekaniskt system satisfierar svängningsekvationen: x + " n x + " n x = b" n sin"t, där " n, " och b är konstanter Avgör dämpningstypen (odämpat, kritiskt, starkt, svagt) för systemet! b) ämn två saker som kännetecknar en resonans? (p) /KET

3 SG1107 Mekanik, baskurs S Problemlösningar 1 Bestäm normalkraften på plankan från cylindern! Lösning: Kraftanalys: Se figuren! Dels på planka + cylinder, dels på bara cylindern, där normalkraften på cylindern införs Jämviktsekvationer: planka + cylinder: " R OH # Scos60 = 0, " R OV #( m + M)g+ S( 1+ cos30 ) = 0, L ( S "( m + M)g) + LScos30 = 0 Cylinder: " S + # Mg = 0 Ur sista ekvationen fås: = Mg" S, och S fås ur näst sista ekvationen: S = ( m + M)g Insatt fås = Mg" ( m + M )g ( = 3M " m)g, riktad uppåt enligt figuren 1+ 3 Enligt ewtons 3:e lag är normalkraften på plankan lika stor, men riktad neråt i figuren Resultanten i origo söks, samt fråga om kraftresultant är möjlig att hitta? Lösning: Resultanten i origo består av kraftsumman, samt systemets totala kraftmoment m a p origo: Kraftsumman avläses ur figuren: F = ("P,0,"P) Momentsumman består av de två krafternas moment, ( 0,0,Pa) samt kraftparsmomentet ( 0,"Pa,0) Detta kan också avläsas direkt ur figuren Således är resultanten F = ("P,0,"P), M O = ( 0,"Pa,Pa) i origo Undersöker nu om det kan finnas resultant bestående av endast en kraft F M O = 0+ 0" P a # 0 Vektorerna är inte vinkelräta och momentet kan inte skapas av bara en kraft!!

4 SG1107 Mekanik, baskurs S Bestäm vagnarnas hastigheter efter första rycket! Lösning: Rörelsen är rak och vagnarnas massor är lika, säg m Stötlagarna för två massor: " 0+ mv 0 = mv 1 + mv (1), samt stöttalet (för ryckstötar) e = v "v 1 () v 0 Observera att stöten föregås av en separation, därefter rör sig vagnarna mot varandra!! Vi har då efter stöt att v 1 = ev 0 + v (3) Denna ekvation sättes in i första stötlagen för rörelsemängdsmomentet, som då ger mv 0 = m( ev 0 + v ) + mv " v = ( 1"e)v 0 Insatt i (3) fås första vagnens hastighet längs spåret: v 1 = ( 1+ e)v 0 Observera att den införda godtyckliga massan inte hade någon betydelse för svaret! 4 Bestäm c så att dämpningsförhållandet blir " = 05 Bestäm även vagnens rörelse x(t) om den ges en fart i sitt jämviktsläge x=0 Lösning: Fjädern är ospänd i origo, jämviktsläget Vi har bara två krafter längs x-axeln: F x = "kx "c x ewtons :a lag: m x = "kx "c x Svängningsekvationen: x + c x m + k m x = 0 aturliga vinkelfrekvensen för svängningen läses av (enligt svängningsteorin): " n = k m (*) Dämpningsförhållandet skall uppfylla " = 05, där enligt teorin: "# n = c m (**) Om ekvationerna (*) och (**) kombineras med " = 05 fås för c: c = m" n = km Rörelsen är en svagt dämpad svängning kring origo Den allmänna svagt dämpade svängningen har utseendet: x( t) = exp(-05" n t) [ Bcos" d t + Csin" d t], där " d =" n 1-# = 3 " n och jämviktsläget är i origo Begynnelsevillkoret att rörelsen börjar i origo medför att vi måste ha B = 0 Dvs rörelsen beskrivs av x( t) = exp(-05" n t) Csin" d t Begynnelsevillkoret att hastigheten är v 0 (åt höger) kräver att C har ett speciellt värde! Derivering av x( t) ger hastigheten x ( 0) =" d C Dvs C = v 0 " d

5 5 a) Längd (läge), massa, tid Teoridelen SG1107 Mekanik, baskurs S b) Definitionen av kraftmoment ger M P = r A " r P Skillnaden blir M P " M P # = r A ( ) # F respektive M P " = ( r B # r P ) $ F ( ) $ F Om r A och r B ligger på samma verkningslinje som kraften så är vektorn r A parallell med kraften F Kryssprodukten för två parallella vektorer blir nollvektorn Alltså M P = M P " (p) 6 a) dim(m 0 )=dim(r " F )= L = L ML T " =M L T " dim(u 0"1 )=dim( T )=dim( mv b) ) =ML T " Samma! System () och (3) är ekvimomenta c) Definitionen av kraftmoment med avseende på en godtycklig momentpunkt A: M A = $ r j " r A, för krafter F j angripande i r j [ ] # F j Likaså för en annan momentpunkt B: M B = $ [ r j ] # F j Skillnaden blir i detta fall: M B " M A = $ r j " r j " r A = $ r A = r A $ [ ] # F j [ ( )] # F j [ ] # F j Detta uttryck kan lätt förenklas om vi inför totala kraften F = " F j Vi får sambandet: M B = M A + [ r A ] # F 7a) e = 06

6 SG1107 Mekanik, baskurs S b) Definitioner: Rörelsemängd p = mv, där v är hastigheten, rörelsemändsmoment H O = r " p Tids derivering ger H O = d( r " p ) = v " p + r " p dt = r " p, ty v och p är parallella ewtons :a lag: p = F medför att r " p = r " F Sammantaget fås momentlagen: H O = M O, där vi inför kraftmomentet enligt definitionen M O = r " F c) Härledning: ewton : m v = F Båda leden multipliceras scalärt med hastigheten v Man får då: m v v = F v Enligt definition är HL kraftens effekt P VL är tidsderivatan av kinetiska energin, ty d mv def regel " % } $ ' = d mv v dt # & dt ( ) = } m ( v v + v v regel } ) = m ( v v ) = m v v def } Dvs T mv = P, där T = 8 a) Om man jämför med x + "# n x + # n x = b# n sin#t så ser man att dämpningsförhållandet är " = 1, dvs svagt dämpat systemet b) Vid resonans kan (respons)amplituden bli mycket stor och fasen i svängningen riskerar att plötsligt kastas om till motfas relativt den yttre fasen (och vise versa) (p)

7 SG1107 Mekanik, baskurs S SG1107 Mekanik Bedömningar OBS: Alla ekvationer skall motiveras!! Följande brister i redovisning av uppgifter 1-8 ligger till grund för poängavdrag En viss tolerans gällande bedömningar M, B och S finns Helhetsbedömningen av skrivningen kan innebära att ett poängavdrag (gällande M, B och S) drabbar bara ett av flera bristfälliga svarsredovisningar M : Otydliga motiveringar, motsägelsefulla ekvationer, odefinierade symboler, felaktiga definitioner -1p MF : Missuppfattning -1p -3p B : Vilseledande, ologiska beteckningar Komposanter i stället för komponenter -1p S : Ofullständigt svar, ''införda beteckningar'' kvar i svaret, svar innehåller obestämda storheter etc -1p -3p L : Ologiska matematiska operationer -1p K : Bristfällig kraftanalys eller kinematisk analys -1p D : Dimensionsfel i svar eller viktiga ekvationer -1p