Obs: Använd vektorstreck för att beteckna vektorstorheter. Motivera införda ekvationer!

Transkript

1 1) m M Problemlösningar µ α α Lösning: Frilägg massorna: T N N F µ T Mg mg Jämvikt för M kräver T Mgsin α = 0 (1) a) Gränsfall F µ = µ N men jämvikt för m kräver: N mg cosα = 0 (2) T µ N mgsinα = 0 (3) Lös M ur (1), (2) och (3): ( cos sin ) Mmax m µ α + = α sinα Mmax = m (1+ µ cot α) b) Gränsfall F µ = µ N men jämvikt för m kräver: N mg cosα = 0 (2) T + µ N mgsinα = 0 (3') Lös M ur (1), (2) och (3') ( cos sin ) Mmin m µ α + = α 0 sinα Mmin = m (1 µ cot α) 0 Får ej vara mindre än noll!!

2 2a) I hylsans rörelse kommer hela tyngdkraftens potentiella energi att överföras till den konservativa fjäderkraftens potentiella energi: 1 2 kd 2 = mgr Den maximala deformationen blir alltså: D = 2mgR. k N mg B 2b) Friläggning av hylsan strax före B: Energin ger farten i rörelsen vid B: 1 2 mv 2 = mgr. Newtons 2:a lag i naturlig uppdelning ger m v 2 R = N mg. Normalkraften i B blir härut: N = mg + m v 2 R = 3mg

3 m a M 3 Lösning: a) För cirkelbanan är Newtons 2:a lag: m v 2 a = GmM a 2 tillsammans med energin E = m v2 2 GmM a tillräckligt för att bestämma radien i banan: Eliminering av farten ger: E = GmM a = GmM 2a 2E. b) För en slutna banor bestämmer storaxeln (2a) hela energin. E = GmM 2a. Ellipsen tangerar jordytan Uppdelning av energin ger E = 1 2 mv 2 GmM R. Dvs: v = 2GM R + 2E m.

4 4 v 0 m M k jämviktsläge x a) Krafter: Fjäder: F k = kx, där x = 0 ger kraftlös fjäder. Dessutom ömsesidiga stötkrafter under mycket kort tid. Innan det börja röra sig har vi en stöt: Totala rörelsemängden bevaras: mv 0 = (m + M)v 1, dvs v 1 = mv 0 m + M. Sedan påbörjas svängningen: (m + M) Ý x = kx Newtons 2:a lag: om ger svängningsekvationen: Ý x + ω n 2 x = 0. med ωn 2 = k m + M. b) Den allmänna lösningen är x(t) = B cosω n t + Csincosω n t. I vårt fall börjar rörelsen i origo, dvs B = 0. Hastigheten skall vara v 1 i början, dvs ω n C = v 1. Vår speciella lösning i detta problem blir alltså: x(t) = v 1 sinω ω n t. n

5 Teoridelen 5a) Svar: M w = M A e w. N b) Definitionen M A = ([r j r A ] F j ). j=1 Enligt sambandsformeln för kraftmoment gäller M B = M A + ( r A r B ) R. Skalärmultiplikation med R ger sedan R M A = R M B, eftersom R [( r A r B ) R]= 0. 6a) -Lag- Arbete-kinetisk energi Från Newtons 2:a lag (dvs kraftekvationen) för partikel: m a = F multiplicera skalärt med hastighetsvektorn: m a v = F v Integrera över tiden: t 1 m a vdt = F vdt t 0 t 1 t 0 och använd adt = d v, vdt = d r så att r m( v v) m ( v v) 0 = F dr r 0 dvs ändring av kinetisk energi är lika stor som krafternas arbete T 1 T 0 = U 0 1 Alla verkliga krafter. t 1. b) I = Fdt t 0

6 7a) Definition rörelsemängdsmoment: H O = r G, Def. Rörelsemängd G = mv. Härledning: N2: G Ý = F ger r G Ý = r F ger H Ý O = M O ty, d( r G) = v G + r G Ý = r G Ý. Obs: v och G är parallella vektorer. dt b) Enligt definitionen av potentiell energi: r V()= r ( kx ( )e x ) dr = k 2 ( x )2 +konst. fix 8a) Om de kolliderande kropparnas masscentra ligger på kontaktytans normallinje (stötnormal) sägs stöten vara central. RAK (DIREKT) STÖT: före N s vid stöten Om kropparna inte roterar och deras hastigheter är parallella med stötnormalen är stöten rak. 8b) Svängningsekvationen för dämpad svängning: 2 x Ý + 2ςω n x Ý +ω n x = 0. Stark dämpning, ζ >1 Kritisk dämpning, ζ = 1 Svag dämpning, 0< ζ <1 Sätt in x(t) = exp( ω n t) ( A + Bt) tillsammans med x Ý (t) = [ ω n ( A + Bt)+ B]exp( ω n t) x Ý (t) = ( ω n [ ω n ( A + Bt)+ B] ω n B)exp( ω n t ) i x Ý + 2ω n x Ý 2 + ω n x = 0. Det blir då 0=0. /KET

7 5C1103 Mekanik Bedömningar OBS: Alla ekvationer skall motiveras!! Följande brister i redovisning av uppgifter 1-8 ligger till grund för poängavdrag. En viss tolerans gällande bristerna M, B och S finns. Helhetsbedömningen av skrivningen kan innebära att ett poängavdrag (gällande M, B och S) drabbar bara ett av flera bristfälliga svarsredovisningar. M : Otydliga motiveringar, motsägelsefulla ekvationer, odefinierade symboler, felaktiga definitioner, missuppfattning. -1p B : Vilseledande, ologiska beteckningar. Komposanter i stället för komponenter etc. -1p S : Ofullständigt svar, ''införda beteckningar'' kvar i svaret, innehåller obestämda storheter etc. -1p L : Ologiska matematiska operationer. -1p K : Bristfällig kraftanalys eller kinematisk analys. -1p D : Dimensionsfel i svar eller viktiga ekvationer. -1p

8