Omtentamen i Mekanik I SG1130, grundkurs för CMATD och CL. Problemtentamen

Transkript

1 Omtentamen i Mekanik I SG1130, grundkurs för CMATD och CL. OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik Problemtentamen 1. Med hjälp av en tråd kan ett homogent block med massan m hållas i jämvikt på ett sluttande, strävt plan med lutningsvinkel ". är trådspänningen har värdet S + är blocket på gränsen till att glida uppåt, och när trådspänningen är S " är blocket på gränsen till att glida utför planet. Bestäm friktionstalet µ. (3p) Tyngdaccelerationen g är känd. Trissan är lätt och lättrörlig. 2. Två små hylsor med vardera massan m kan glida symmetriskt och friktionsfritt längs en ringformad, lätt ledstång med radie R. Ledstången hålls uppe av en lätt tråd som är fäst i taket. Hylsorna släpps i sina översta lägen och stöter fullständigt oelastiskt ihop i nedersta läget i banan. Ringen förblir hängande i vila. Bestäm trådkraftens storlek omedelbart innan respektive omedelbart efter stöten. (3p) Tyngdaccelerationen g är känd. 3. En satellit med massan m befinner sig i en okänd ellipsbana runt jorden. På maxhöjden 2R ovanför jordytan mäts farten till v = ygr, där g är tyngdaccelerationen och R är jordradien. y är ett mätetal i intervallet 0 < y < 2 /3. Bestäm storaxelns hela längd samt lillaxelns halva längd. (3p) 4. En liten vagn kan rulla fritt längs ett horisontellt spår. Vagnen är fäst i en lätt fjäder med fjäderkonstanten k och en dämpare med dämpningskonstanten c.vagnen är i vila med fjädern ospänd vid x = 0. Bestäm vagnens massa m så att dess rörelse alltid blir en kritiskt dämpad rörelse. (3p)

2 Teoritentamen 5. a) En tunn, homogen stav med massa m och längd L påverkas av tyngdkraften neråt i figuren. Ange (rita i egen figur) tyngdkraftsresultanten i A. b) Vilka (om någon) av följande är grundstorheter i mekaniken: Kraft, acceleration, rörelsemängd, tyngdacceleration, fjäderkonstanten? c) Härled den s k sambandsformeln för ett kraftsystems kraftmoment. 6. a) Definiera masscentrums läge för ett partikelsystem. b) I planet z = 0 kan läge och hastighet för en partikel beskrivas av uttrycken r = re r, respektive v = r e r + r" e ", där e r = ( cos", sin",0) och e " = (#sin", cos",0). Härled uttrycket för accelerationen. c) Bevisa för en konservativ krafts arbete sambandet U 0"1 = V 0 #V 1 med kraftens potentiella energier. 7. a) En partikel med massa m, läge r och hastighet v påverkas av kraften F. Formulera för denna partikel lagen om arbete och kinetisk energi. För vilka krafter gäller lagen. b) Härled momentlagen för en partikel c) Härled uttrycket för en partikels rörelsemängdsmoment med hjälp av cylinderkomponenter för rörelse i ett plan z=0. 8. a) Två satelliter med lika massor samt lika storaxlar rör sig i sina olika elliptiska banor. De har olika sektorhastigheter, men har två mekaniska storheter lika (bortsett från massor och storaxlar i banorna). Vilka? b) Ett rakt svängande system beskrivs av ekvationen x + c x + bx = a, där a, b och c är konstanter. För vilka värden på dessa konstanter betecknas systemet som kritiskt, respektive svagt dämpat? Ange även svängningens jämviktsläge. c) ämn två saker som kännetecknar en mekanisk resonans? /Thylwe

3 1. Problemlösningar Krafter på blocket införs i figuren för gränsfallet att blocket kan glida upp för planet. Friktionstalet kan beräknas på flera sätt och S + och S " är inte oberoende av varandra. Lösning: Kraftjämvikt ger: S + " mgsin# " µ = 0 (uppför), " mgcos# = 0 (nerför). Dvs: S + = mgsin" + µmgcos". Härur kan friktionstalet bestämmas. På liknande sätt, vid andra gränsen till glidning utför backen: S " = mgsin# " µmgcos#. Härur kan friktionstalet bestämmas också. Skillnaden av trådspänningarna ger: S + " S + = 2µmgcos#, så att friktionstalet även kan beräknas enligt: µ = S + " S " 2mgcos# (svar). 2. Krafter på massorna krafter på ringen Lösning: Ingen friktion i fallrörelsen. Hylsornas farter alldeles innan stöten ges ur energiprincipen: Total energi: 2mg( 2R) = mv 2 0 => v 0 = 2 gr. Efter stöt är båda massorna i vila. ormalkraften på en partikel direkt före stöt ges efter en kraftanalys av ewton 2 i normalriktningen: 2 ( e n ): m v 0 2 R = 0 2 " mg => 0 = 2m v mg =10mg. ormalkraften efter stöt blir (utan R fart): 2 ( e n ):0 = 1 2 " mg => 1 = 2mg. Belastningen är motkraften (ewton 3) till S i figuren som beskriver krafter på den masslösa ringen. Eftersom ringen/ledstången ligger still är S=.

4 3. Lösning: Totala mekaniska energin E beräknas och sätts lika med banenergin: E = m 2 ( ygr) " mgr2 3R = " mgr2 2a " y = R 2a => R 2a = 2 " 3y 6, där 2a är hela storaxelns längd. Uträkning av denna ger: => 2a = 6 R. Ellipsens geometri ger halva fokalavståndet 2 " 3y c = r max " a, där r max = 3R. Pythagoras sats ger b 2 = a 2 " c 2 = 2r max a " r max. Insättning av inramade resultat ger: b 2 # = 9R 3y & 3y % ( R och b = 3R $ 2 " 3y ' 2 " 3y Lösning: Massan ska bestämmas. Två typer av krafter verkar på vagnen. Fjäderkraften F k = "kx och dämparkraften F c = "c x, båda i rörelseriktningen. ewtons 2:a lag: m x = "kx " c x. Svängningsekvationen: x + c m x + k x = 0. Inför: naturliga vinkelfrekvensen m för svängningen: " n = k m, samt dämpningsförhållandet " genom likheten 2" n# = c m. För kritisk dämpning fås: 2 k m = c m => m = c 2 4k.

5 Teoridelen 5. a) b) Inga av dessa. c) Ett kraftsystem kan alltid skrivas som ett antal krafter F j med motsvarande angreppspunkter r j (även för kraftparsmoment). I momentpunkten A mäter vi det totala momentet ([ ] # F j ) M A = $ r j " r A, för samma krafter. I momentpunkten B fås: M B = $ [ r j " r B ] # F j ( ) Skillnaden blir i detta fall: ([ ] # F j ) M A " M B = $ r j " r A " r j + r B = $ (r B " r A ) # F j = (r B " r A ) # $ F j. ( ) Detta uttryck kan lätt förenklas om vi inför totala kraften F = " F j samt relativa läget r AB = r B " r A. Sambandet blir: M A = M B + r AB " F. 6. a) r G = " m i r i, där m i är massan för partikeln som befinner sig i r i. i=1 " m i i=1 b) Acceleration i planet z = 0: Enligt definition: a = v, så att a = r e r + r e r + r " e " + r " e " + r" e ". Men från de givna uttrycken: e r = " de r d" = " e ", och e " = " de " d" = # " e r. så att slutligen: a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2 r # )e #. r c) Definition av en krafts potentiella energi: V (r) = " # F dr. Utfört arbete från r 0 till r 1 definieras: U 0"1 = r # 1 F dr. Arbetet delas upp i två integraler, via r 0 r referenspunkten, så att 0 % r U 0"1 = # $ 1 ( F dr #'# F dr r ref $ *. Enligt definition av & r ref ) potentiell energi för ett givet läge fås då: U 0"1 = V 0 #V 1. r ref

6 t 1 # 7. a) Kraftens arbete: U 0"1 = Pdt, där P = F v är kraftens effekt. Kinetisk energi t 0 definieras T = 1 2 m v 2. Lagen: U 0"1 = T 1 # T 0, där T 1 är värdet på kinetiska energin vid tiden t 1, osv. Lagen gäller alla fysikaliska krafter som gäller för ewtons 2:a lag. b) Definitioner: Rörelsemängd p = mv, där v är hastigheten, rörelsemändsmoment H O = r " p. Tids derivering ger H O = d( r " p ) = v " p + r " p dt = r " p, ty v och p är parallella. ewtons 2:a lag: p = F medför att r " p = r " F. Sammantaget fås momentlagen: H O = M O, där vi infört kraftmomentet enligt definitionen M O = r " F. c) Med origo i planet där kraftens verkningslinje hela tiden går igenom fås: r = re r, p = m( r e r + r" e " ). Insättning i definitionen av rörelsemängdsmomentet och förenkling: H O = r " p = mr r ( e r " e r ) mr2# ( e " e ) 14 r 243 # =0 = mr 2 # e z Svar: H O = mr 2 " e z. e z 8. a) Omloppstiden och den mekaniska energin. Fysikaliska konstanter som alltid har samma värden räknas inte som mekaniska storheter. b) Svängningsekvationen för dämpad svängning: x + 2"# n x + # 2 n x = a. I aktuellt fall görs identifieringar: " n = b, " = c. Alla positiva värden på b och 2 b c som satisfierar: c = 2 b (kritiskt dämpat), 0 < c < 2 b (svagt dämpat). I jämviktsläget kan massan ligga still, med hastighet och acceleration lika med 0. Detta ger ur svängningsekvationen jämviktsläget: x j = a/b. c) Responsamplituden kan bli mycket stor (vid liten dämpning), samt responsen riskerar att byta svängningsfas (gräns mellan med-fas och mot-fas).