Enda tillåtna hjälpmedel är papper, penna, linjal och suddgummi. Skrivtid 4 h. OBS: uppgifterna skall inlämnas på separata papper.

Transkript

1 KTH Mekanik Fredrik Lundell Mekanik mindre kurs för E1 och Open1 Läsåret 05/06 Tentamen i 5C110 Mekanik mk, kurs E1 och Open Var noga med att skilja på skalärer och vektorer. Rita tydliga figurer och motivera lösningarna väl. Enda tillåtna hjälpmedel är papper, penna, linjal och suddgummi. Skrivtid 4 h. OBS: uppgifterna skall inlämnas på separata papper Problem 1.a. En partikel med massan m släpps från vila i punkten A på ett strävt lutande plan med lutningsvinkeln α och slungas uppåt planet av det elastiska bandet som är fäst i de två pinnarna på planet på avståndet a från varandra. Bestäm partikelns hastighet i punkten B mittemellan de två pinnarna då bandet är horisontellt och ospänt. Bandets naturliga längd är a och dess elastiska konstant är k. Friktionstalet mellan partikeln och planet är µ. (p) 1.b. Hur långt upp på planet kommer partikeln att glida innan den stannar/vänder? (1p). En partikel med massan m sitter fäst i änden på en lätt, tunn, stång med längden l som är friktionsfritt ledad så att vinkeln α kan variera. Konstruktionen roterar runt en vertikal axel enligt bilden med rotationshastigheten ω. Bestäm vinkeln α om denna är konstant. (3p) 3. Kajsa och Kalle i Volvon från KS1 har nu köpt ny bil: en Toyota Prius. Denna bil, som ju är en elhybrid, har en mätare som visar effekten applicerad på hjulen i realtid. Kalle roar sig därför med att under alla accelerationer i förväg räkna ut vilken konstanta effekt som behövs för att nå en viss hastighet på en viss tid eller sträcka. Efter att Kalle misslyckats med kartläsningen har han placerats vid ratten och Kajsa tagit över kartan. De ska nu ut på motorvägen igen och ska precis åka ut på motorvägen via en påfart med radien ρ m som vrider sig ett kvarts varv åt höger innan de kommer ut på motorvägen. Kalle står still vid början av denna motorvägspåfart och ska ge gas. Vilken konstanta effekt P måste han släppa loss genom att trycka ner gaspedalen lagom mycket för att komma upp i hastigheten v vid avfartens slut? Bilen, Kalle och Kajsa väger tillsammans m kg. Bortse från luftmotståndet vid denna beräkning. (3p) 4. En partikel med massan m glider friktionsfritt fram och tillbaka under inverkan av tyngdkraften i ett spår format som en cirkelbåge med radien ρ enligt figuren. Utnyttja att sinθ θ för små vinklar och bestäm perioden för svängningar med liten amplitud. (3p) Lycka till! Fredrik Lösningar kommer att finnas på kurshemsidan strax efter skrivtidens slut.

2 Teori 5. a) Rita en figur och härled uttrycket för hastigheten i naturliga komponenter. (1p) b) Rita en figur och härled uttrycket för hastigheten och accelerationen i cylinderkoordinater. (p) 6. a) Definiera arbetet U 1- som kraften F uträttar vid förflyttning från r 1 till r. (1p) b) Definiera kinetiska energin för en partikel. (1p) c) Formulera och bevisa lagen om kinetiska energin (sambandet mellan arbetet och ändringen av kinetiska energin). (1p) 7. a) Definiera vad som menas med en konservativ kraft. (1p) b) Härled uttrycket för potentiella energin för den allmänna gravitationskraften. (1p) c) Formulera och bevisa momentekvationen (att rörelsemängdsmomentets tidsderivata är lika med kraftmomentet) för en partikel. (1p) 8. a) Definiera vad som menas med en centralkraft. (1p) b) Rita en figur och härled ett uttryck för sektorhastigheten da/dt. (1p) c) Visa att sektorhastigheten är konstant vid centralrörelse. (1p) Lycka till! Fredrik

3 Lösningar till Tentamen i kursen 5C110, Mekanik mindre kurs för E1 och Open1 Uppgift 1.a. C l α C l x B b F el A N F fr B b A F el F fr x Lagen om kinetiska energin ger: U A B = T B T A T A = mv A, T B = mv B Arbetet ges av: där v B är den sökta hastigheten och v A = 0. U A B = VA el VB el + VA tk VB tk + U fr A B vilket ger U A B = k(a a + b ) b sin α bµn = Till slut: = k(a + b a a + b ) b sin α bµ cos α = = k(a + b a a + b ) b cos α(µ + tan α). mv B = U A B v B = 4k m (a + b a a + b ) gb cos α(µ + tan α)

4 Uppgift 1.b. Lagen om kinetiska energin ger: U B C = T C T B T C = mv C, T B = mv B där v B är berknad i 1.a. och v C = 0. Arbetet ges av: U A B = VB tk VC tk + U fr B C vilket ger Till slut: U B C = l sin α lµn = = l cos α(µ + tan α). mv B = U B C l = k(a + b a a + b ) gb cos α(µ + tan α) cos(µ + tan α)

5 Uppgift. z r S α θ Inför cylindriska koordinater enligt figuren och ställ upp kraftekvationen i r- och z-led: e r : m( r r θ ) = S sin α e z : m z = S cos α där θ = ω, r = l sin α samt r = 0 och z = 0. Detta ger: mlω cos α = 0 och α = cos 1 om ω > g/l. För mindre ω är α = 0 det stabila läget. Svaret ovan räcker dock för full poäng. Uppgift 3. g lω v B A θ r Inför cylindriska koordinater enligt figuren. Radien r är konstant och lika med ρ, samt v = ρ θe θ. Kraften som motorn ger upphov till r riktad rakt

6 fram, dvs F = F e θ. Betrakta bilens effekt: P = F v = F e θ ρ θe θ = F ρ θ ma θ = P ρ θ. Vi har också(eftersom r är konstant: och får: Multiplicera med dθ: a θ = ρ θ mρ θ = P ρ θ θ = θdθ = d θ dθ dθ = dt dt d θ = θd θ θd θ = P mρ θ. P mρ θ dθ mρ θ d θ = P dθ. Integrera detta från A till B (v A = 0 ger θ A = 0, v B = v ger θ B = v/ρ samt θ A = 0 och θ B = π/): v/ρ mρ θ d θ π/ = P dθ mv ρ = P π. Slutligen: Uppgift 4. P = mv3 3ρπ. r θ N Inför cylinderkoordinater enligt figuren. Kraftekvationen i θ-led ger (r är konstant): e θ : mρ θ = sin θ.

7 Approximationen sin θ θ ger: ρ θ + gθ = 0. Detta är en svängningsekvation med ω n = g och perioden ρ τ = π ρ τ = π ω n g.