Mekanik Föreläsning 8

Transkript

1 Mekanik Föreläsning 8 CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad / 16

2 Repetition Polära koordinater (r, θ): ange punkter i R 2 m h a r: avståndet från origo (0, 0) θ: vinkeln mot positiva x axeln y θ r x p = (x, y) { x = r cos θ y = r sin θ { r = x 2 + y 2 θ = tan 1 y x Basvektorer anpassade till koordinatsystem: en basvektor e s till varje koordinat s, riktad mot ökande s, men med övriga koordinater fixa ex: i = e x, j = e y i Kartesiska koordinater x och y 2 / 16

3 Repetition Antag v är en vektor placerad i punkten p = (x, y) med ortsvektor r = x i + y j, ex: kraft med angreppspunkt p hastigheten hos en partikel i punkten p v = v x i + vy j, men också v = v r e r + v θ e θ, där e r : riktad mot ökande r, konstant θ r e θ : riktad mot ökande θ, konstant r θ dvs r = r e r Viktigt: basvektorerna e r och e θ beror på punkten p s θ koordinat! e θ v r p v v θ e r e r = cos θ i + sin θ j e θ = sin θ i + cos θ j 3 / 16

4 Repetition För en partikel som rör sig så att dess θ koordinat är tidsberoende, θ = θ(t), kommer även basvektorerna e r, e θ i partikelns läge bli tidsberoende e r = θ e θ e θ = θ e r Hastighet v = r = v r e r + v θ e θ vr = ṙ v θ = r θ Acceleration a = v = r = a r e r + a θ e θ ar = r r θ 2 a θ = r θ + 2ṙ θ 4 / 16

5 Relativ Rörelse En tågvagn B rör sig längs en rät linje läge: sb hastighet: vb I vagnen rör sig en person relativt marken s B B s A B A v B v A B läge: sa hastighet: va relativt vagnens bakvägg s A läge: sa B hastighet: va B Vi har sa = s B + s A B derivera: ṡ A = ṡ B + ṡ A B, dvs v A = v B + v A B derivera igen: sa = s B + s A B, dvs a A = a B + a A B 5 / 16

6 Relativ Rörelse B Generalisera: Två partiklar A och B rör sig i rummet Ett koordinatsystem fast i rummet O Ett koordinatsystem fast i partikeln B r B r A r A B A r A = r B + r A B r A = r B + r A B, dvs v A = v B + v A B v A = v B + v A B, dvs a A = a B + a A B (icke roterande) Koordinatsystem fästa i B sådan att a B = 0 kallas inertialsystem (tröghetssystem) I inertialsystem gäller Newtons lagar på ursprungsformen 6 / 16

7 Exempel 2/14 (sid. 94) Bil A accelererar i sin rörelseriktning med beloppet a A. Bil B färdas med konstant fart v B genom en cirkulär kurva med radien r. Bestäm v B A och a B A om A har farten v A. A Lösning: v B = v A + v B A v B A = v B v A v A = v A i v B = v B sin θ i v B cos θ j, dvs B v B A = (v B sin θ + v A ) i v B cos α j 7 / 16

8 Exempel 2/14 forts. a B = a A + a B A a B A = a B a A a A = a A i a B = a r e r + a θ e θ = ( r r θ 2 ) e r + (r θ + 2ṙ θ) e θ Vi har ṙ = 0 = r v B = r θ Farten v B konstant θ = 0 Alltså a B = r θ 2 e r = v 2 B r e r = v 2 B r (cos θ i + sin θ j a B A = ( a A v 2 B r ) ) cos θ v 2 i B sin θ r j 8 / 16

9 Rörelse med Tvång Ibland rör sig kroppar inte obehindrat, utan vi har tvång. Ex: Vi har längden på linan: L = x + π 2 r 2 + 2y + π 2 r 1 + b Derivera: 0 = ẋ + 2ẏ, dvs v A = 2v B 0 = ẍ + 2ÿ, dvs a A = 2a B Minustecken pga hur x och y axlarna är utsatta: om A rör sig åt vänster (positiva x riktningen) rör sig B uppåt (negativa y riktningen). Det räcker att utgå från sambandet x + 2y = konstant (dvs vi måste inte skriva ner hela uttrycket för L). 9 / 16

10 Exempel 2/15 (sid. 103) Givet att cylinder A har hastigheten v A = 0.3m/s nedåt, bestäm hastigheten v B hos cylinder B Vi har tvånget 3y B + 2y A = konstant Derivera: 0 = 3ẏ B + 2ẏ A, dvs 2v A = 3v B v B = 2 3 v A = 2 0.3m/s = 0.6m/s 3 10 / 16

11 Kap. 3 Newtons Andra Lag En partikel som påverkas av den totala yttre kraften F accelererar enligt där F = i m a = F F i är summan av alla yttre krafter verkande på partikeln, och m är partikelns massa. För att lösa problem krävs att man frilägger och sätter ut alla yttre krafter NII vektorekvation, på komponentform: ma x = F x ma y = F y ma z = F z m v x = F x m v y = F y m v z = F z mẍ = F x mÿ = F y m z = F z 11 / 16

12 Newtons Andra Lag Kraften F kan bero på r, v, t, dvs F = F( r, v, t) om t.ex. Fx = F x (x) så a x = a x (x) = 1 m F x(x) om Fx = F x (t) så etc. a x = a x (t) = 1 m F x(t) 12 / 16

13 Systematisk Lösningsstrategi 1. Frilägg och sätt ut alla krafter 2. Välj koordinatsystem 3. Ställ upp NII i valt koordinatsystem 4. Lös ekvationerna Vi kan ibland behandla stela kroppar som partiklar: om de kan anses små i förhållande till andra relevanta skalor i problemet om de är tvungna att röra sig rätlinjigt utan rotationsrörelse Vi behandlar stela kroppars dynamik senare i kursen 13 / 16

14 Exempel 3/2 (sid. 128) En linbanegondol med massan m = 200kg rör sig längs en rätlinjig kabel, och kontrolleras av en annan horisontell kabel. Bestäm gondolens acceleration då kraften i kontrollkabeln har beloppet T = 2.4kN. Finn även kraften P som upphängningskabeln utverkar på gondolen. Lösning: Vi behandlar gondolen som en partikel med massan m, och antar att den rullar friktionsfritt. 14 / 16

15 Exempel 3/2 Frilägg: α α Välj koordinatsystem parallellt/ortogonalt mot rörelseriktningen T = T cos α i T sin α j, W = mg sin α i mg cos α j P = P j NII: x: ma x = T cos α mg sin α y: 0 = ma y = P mg cos α T sin α 15 / 16

16 Exempel 3/2 Frilägg: α α NII: x: ma x = T cos α mg sin α a x = T m cos α g sin α y: 0 = ma y = P mg cos α T sin α P = mg cos α + T sin α ur figur: sin α = , cos α = 13 numeriskt: a x = 7.30m/s 2, P = 2.73kN 15 / 16

17 Exempel 3/3 (sid. 129) Systemet i figuren släpps från vila.bestäm betongblockets hastighet när det slår i marken. s C m B = s A = θ h = = m A 16 / 16