Föreläsning 5: Acceleration och tidsderivering (kap ) . Sambandet mellan olika punkters hastigheter i en stel kropp: v A

Transkript

1 1 Föreläsning 5: Acceleration och tidsderivering (kap ) Komihåg 4: Vinkelhastighetsvektorn " = # e z Skillnadsvektorn mellan två punkter i stel kropp kan bara vrida sig: r BA = " # r BA Sambandet mellan olika punkters hastigheter i en stel kropp: v A = v B + " # r BA A rör sig i cirkel kring B! Accelerationssamband i stel kropp Derivera med kroppsfix referenspunkt B: a A + " # r BA + " # r { BA = "#r BA ( ) + " # r BA + " # " # r BA Resultatet är en sambandsformel för två kroppsfixa punkters (A och B) accelerationer Obs: För plan rörelse är " och " parallella, dvs ut eller in i planet Bidraget " # r BA är då i den relativa cirkelns tangentriktning Bidraget " # (" # r BA ) är riktat i normalriktningen in mot B!

2 2 Övning: Uttryck för plan rörelse bidragen " # r BA och " # " # r BA Skiss: Låt " = # e z, " = # e z, samt r BA = d BA e r Detta ger: " # r BA = $ e z # d BA e r = d BA $ e $, samt " # (" # r BA ) = $ e z # ( $ e z # d BA e ) = %d r BA$ 2 e r ( ) i cylinderriktningarna e r och e " sett från B d BA $ e $ Sammantaget: a A " d BA # 2 e r + d BA # e # Obs: Om referenspunkten är ett momentancentrum C med v C = 0, gäller enligt tidigare formel v A = " # r CA, varför accelerationsformeln blir a A = a C + " # r CA + " # v A snarare än a A + " # r BA + " # ( v A $ v B ) Rullning utan glidning När ett hjul rullar plant utan att glida mot horisontellt underlag finns ett samband mellan dess vinkelhastighet och mittpunktens förflyttning Momentant är kontaktpunkten i vila (eftersom den inte glider mot underlaget) och är alltså ett momentancentrum C Med momentancentrum som referenspunkt beskrivs andra

3 3 punkters hastigheter med formeln: v A = " # r CA, och accelerationerna med: a A = a C + " # r CA + " # v A För mittpunkten B gäller att den rör sig parallellt med kontaktpunktens läge under C på underlaget Förflyttningen av C motsvarar båglängdens ökning för de punkter på hjulet som haft kontakt med underlaget För rak rörelse åt höger är hastighetsriktningen konstant: v B = "R# e X, och " är negativ Detta uttryck kan deriveras för att få accelerationen: a B = "R # e X Exempel: Betrakta a) hastigheter och b) accelerationer i olika punkter på ett hjul som rullar med konstant vinkelhastighet Lösning: a) Hastigheterna i tre enkla punkter på hjulet visas i figuren Vi har ett hastighets(momentan-)centrum i C Pga olika avstånd från C ger vårt samband v A = 2v B A " B v A v B C b) Accelerationerna i tre enkla punkter på hjulet visas i figuren Vi har ett accelerationscentrum i B (a B = 0) eftersom B (centrum) rör sig med konstant hastighet OBS: Den enklaste punkten att analysera är B!!!

4 4 " a A a B = 0 a C Vi använder sedan sambandet i en stel kropp med konstant rotation: a B = a C + " # v B, där ju a B = 0 av samma skäl Detta implicerar a C = "# $ v B = (0,# 2 R,0) På samma sätt gäller för punkten A relativt C: a A = a C + " # v A = " # (v { $ v A B) = " # v B = $a C 2v B Utväxling-kugghjul och remkoppling Betrakta två hjul som roterar kring fixa, parallella axlar Om hjulen är i kontakt med varandra och kontaktpunkterna inte glider mot varandra, måste dessa ha samma hastighet Man har då r A " A = r B " B Samma relation gäller om hjulen separeras och i stället förbinds med en rem Vad är skillnaden?

5 5 Rullning på krökt underlag*(skissa) Betrakta en cylinderformad kropps rullning inuti ett större, vilande cylinderskal Hastigheter: Vi inför vinkeln " som beskriver läget av den rullande cylinderns mittpunkt (även kontaktpunkt mot väggen) Vi inför också vinkeln " som anger absolut vridning av rullande cylindern Masscentrums hastighet kan beskrivas från O som är i vila och ifrån C som är momentancentrum De två alternativa uttrycken måste, bortsett från teckenkonventioner, överensstämma: v G = (R " r) # = r$ Detta ger en relation mellan två vinkelhastigheter som var för sig kan användas till att beskriva masscentrums rörelse! Inför sedan naturliga riktningar: e t = (cos",sin",0) och e n = ("sin#,cos#,0) Då blir masscentrums hastighet som vektor: v G = (R " r) # e t = r " e t (1) Den sista likheten följer också från analys av rörelsen sett från lilla cylinderns momentancentrum Då är " = # $ e z och r CG = re n, som återigen ger v G = " # re z $ e 12 3 = r n # e t Masscentrums beskriver en cirkelrörelse! "e t

6 6 Accelerationer**: Masscentrums acceleration kan fås genom att tidsdifferentiera ekvation (1): a G = (R " r) # e t + (R " r) # e { t = (R " r) # e t + (R " r) # 2 e n # e n ( ) 2 Alternativt med " = r # R $ r fås a = r G " e t + r " R # r e n Med detta som referensacceleration i kroppen erhålls sedan andra punkters acceleration enligt sambandet a A + " # r BA + " # (" # r BA ) Med B = G och A = C (momentancentrum) erhålls: a C = a G + " # r GC + " # (" # r GC )= a G " # e z $ ("re n ) "# e z $ [(" # e z ) $ ("re n )]= ( r " e t + r ") 2 R # r e + r n " e z $ e 12 3 # % n " e z $ r ( ' " e z $ e * ' 12 3 n * & ) ( = r " ) 2 R # r e n # r #e n #e t % ( " 2 e $ ' e $ e * = r z ' 1 z 23 $ " 2 1+ r ' & ) e n * % R # r( n & #e t ) Är inte detta ett märkligt resultat?? #e t

7 7 Tidsderivator relativt olika referenssystem Vi har tidigare nämnt det fixa inertialsystemet och ett kroppsfixt koordinatsystem En godtycklig fix punkt i en stel kropp kan då beskrivas av vektorn: r A = r B + r BA, där r BA är kroppsfix och kan bara vrida sig, inte bli längre För en rörlig punkt A på stela kroppen (en insekt som kryper omkring) gäller samma uppdelning som tidigare r A = r B + r BA, men vid tidsderivering fås istället: r BA = (x BA e x + y BA e y + z BA e z )+( x BA e x + y BA e y + z BA e z ) = " # r BA + ( r BA ) xyz Beteckningen r BA ( ) xyz betyder att koordinatsystemets riktningar i kroppen betraktas som fixa i tidsderiveringen

8 8 Samband mellan absolut och relativ tidsderivata ( ) mellan två En skillnadsvektor typ r BA = r A " r B fysikaliska punkter är en riktig vektor, till skillnad från en enskild lägevektor (tex r A ) En riktig vektor beror ej av origo som vanligtvis väljs (godtyckligt) för ett koordinatsystem Varje annan riktig vektor V kan på samma sätt delas upp i både fixa riktningar e XYZ och rörliga (kroppsfixa) riktningar e xyz Gör man en tidsderivering i det första fallet (fix bas) får man den vanliga absoluta tidsderivatan Gör man en tidsderivering i det andra fallet (rörlig bas) får man två bidrag: dels från koordinatändringar, dels från (rörliga) basvektorers vridning Båda resultaten av tidsderivering är giltiga och vi får för en godtycklig vektorstorhet likheten: där V V = ( V ) +" # V, xyz ( ) betyder tidsderivering relativt rörligt xyz koordinatsystem, och " # V är derivatans bidrag på grund av att rörliga basvektorer roterar sett i inertialsystemet OBS: Vektorstorheter för punkten A i bilden skulle kunnna vara: Hastighet, rörelsemängd, etc