Newtons 3:e lag: De par av krafter som uppstår tillsammans är av samma typ, men verkar på olika föremål.

Transkript

1 1 KOMIHÅG 8: Hastighet: Cylinderkomponenter v = r e r + r" e " + z e z Naturliga komponenter v = ve t Acceleration: Cylinderkomponenter a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2 r # )e # + z e z Naturligt komponenter a = v e t + v 2 " e n Föreläsning 9: Dynamik kraft-rörelse (orsak-verkan) NEWTONS 3 LAGAR för partiklar 1. En 'fri' partikel förblir i vila eller rätlinjig rörelse. v = konstant vektor 2. ma = F 3. Krafter uppstår i par så att summan är noll. Newtons 3:e lag: De par av krafter som uppstår tillsammans är av samma typ, men verkar på olika föremål. Tröghet I N2 finns massan m, och den representerar partikelns tröghet. Betrakta: a = F / m Större m innebär svårare att ändra rörelsen.

2 Inertialsystem koordinatsystem som inte roterar och inte accelererar. Där är Newtons lagar giltiga 2 Det finns många inertialsystem Byte av inertialsystem innebär (från det högra koordinatsystemet till det vänstra): Ingen ändring i uppmätta accelerationer. a = a ' Konstant skillnad i uppmätta hastigheter. v = v ' +V, där V = R. KRAFT-RÖRELSE och massans betydelse. (a) (b) m Mg m=150 kg M=200 kg Problem: Bestäm den vertikala accelerationen för 150-kilos cylindern i de båda illustrerade fallen. Bortse ifrån friktionen och trissornas massor.

3 3 Lösning: Fall a) Friläggning av båda cylindrarna tillsammans med Newtons 2:a lag. Kom ihåg att båda cylindrarnas rörelser hänger ihop med en otänjbar tråd. T (a) T x Mg m x = T " M x = Mg " T Summera ekvationerna: ( M + m ) x = ( M m )g Lös ut accelerationen: x = M m M + m g. Fall b) Friläggning av den enda cylindern resulterar i en enda ekvation. (b) Mg x m x = Mg " Lös ut accelerationen x = M m m g.

4 Newtons 2:a lag för krokig rörelse 4 T 0 T 0 Problem 1: En liten kula med massa m är från början upphängd i två vajrar. Om en vajer plötsligt kapas bestäm förhållandet (kvoten) k mellan spänningen omedelbart efter respektive före kapningen i den återstående vajern. Lösning: Före kapning har vi jämvikt. " 2T 0 sin# $ = 0, dvs T 0 = 2sin". Efter kapning har vi inte jämvikt. Omedelbart efter ser det ut så här: T 1 R sin Kulan ska just påbörja en typ av cirkelrörelse. Sätt upp Newtons 2:a lag i radiell riktning (polära koordinater): m R " R# 2 ( ) = "T 1 + sin$. Men det finns ingen begynnelserörelse och ingen avståndsacceleration (vajern kan inte förlängas), varför vänsterledet i ekvationen blir noll. Alltså T 1 = sin". Förhållandet blir: k = T 1 = 2sin 2 ". Numeriskt: " k = 2$ 1 % ' 2 = T 0 # 2& 1 2

5 5 Problem 2: En liten kula med massa m är fäst i en sträckt tråd med längd L. Kulan släpps från ett läge som beskrivs av vinkeln " = #, och en pendelrörelse påbörjas. Bestäm vinkelaccelerationen i början av denna rörelse. Lösning: Kraftbilden är som i Problem 1. T 1 R sin Sätt upp Newtons 2:a lag i transversell rörelseriktning (motsvarande vinkelökningen). Den riktningen är ortogonal mot tråden och trådkraften: ml " = cos". I början är " = #. Vinkelaccelerationen blir " = g cos#. (Svar) L

6 6 Problem: Betrakta en liten lastbil med massa m=10 ton, som färdas med konstant fart v = 30 m/s över ett backkrön. Krökningsradien vid backkrönet är 100 meter. Beräkna normalkraften på lastbilen från vägen vid backkrönet. Lösning: Identifiera krafterna på lastbilen. Tyngdkraft och normalkraft och möjligen friktion. Rita en bild där lastbilen förenklas till en punkt. Accelerationen beskrivs i det naturliga koordinatsystemet av a = v e t + v 2 " e n, men v = konstant " a = v 2 # e n Ur Newtons 2:a lag: e n : m v 2 " = # N, N = m $ g " v 2 ' & ) = 10 kn. % # (

7 KOMIHÅG 9: Newtons 3 lagar. Inertialsystem Föreläsning 10: Tillämpning av Newtons lagar T 1 R sin Problem 2: En liten kula med massa m är fäst i en sträckt tråd med längd L. Kulan släpps från ett läge som beskrivs av vinkeln " = #, och en pendelrörelse påbörjas. Bestäm kulans fart i nedersta läget. Lösning: Kraftbilden är som i Problem 1 och 2. Sätt upp Newtons 2:a lag i transversell rörelseriktning. ml " = cos" => " = g cos" => L " " = g L cos" " => 1 " 2 2 = g sin" + C. I början är " = # och " = 0. L Dvs 1 2 " 2 = g L sin" # g L sin$. I nedersta läget är " = # /2, så att " 2 = 2 g ( 1# sin$ ). Farten i cirkelrörelsen (v = L" ) blir L v = 2gL( 1" sin# ).

8 8 Problem: En kula med massan m kan glida utan friktion längs en cirkelbåge med radien R. Cirkelbågen roterar med konstant vinkelhastighet " kring en fix vertikal axel. Bestäm den vinkel " för vilken kulan är i vila relativt cirkelbågen. Lösning: Kraftanalys: Tyngdkraft och normalkraft från bågen, Kinematik: Horisontell cirkelbana, konstant vinkelhastighet. Newtons 2:a lag: Ingen rörelse i vertikal riktning: " 0 = N cos# $. Horisontell cirkelrörelse: e r : m "Rsin#$ 2 ( ) = "Nsin#. Eliminera normalkraften: mr " 2 =, för sin" # 0 cos# Lös vinkeln: cos" = g R #. 2 eller sin" = 0.

9 ENERGI-RÖRELSE Energi är ett mycket teoretiskt begrepp som inte kan observeras, medan rörelse kan observeras med ögonen. -Energibegrepp: --Kinetisk energi. T = 1 2 m v 2 --Kraftens effekt (momentant). P = F v Problem: En jord susar fram med 300 m/s i en approximativt cirkelformad bana kring ett gravitationscentrum (solen). Hur stor effekt har solens gravitation på jordens rörelse? Lösning: Kraften är approximativt radiell och rörelsen är transversell, dvs ortogonala riktningar. Alltså (approximativt) ingen effekt. 9 --Kraftens arbete. U 0"1 = t 1 # Pdt. t 0 Härledning av energisamband för rörelse och kraft: -- Lagen om Effekten Def: T = 1 2 m v 2 = 1 2 m v v ( ) Tidsderivera: T = 1 2 m v v + v v ( ) = ma v = F v = P, ty def: v = a och Newtons 2:a lag: F = ma, samt def av effekten P. Alltså: T = P (Effektlagen)

10 -- Lagen om Arbetet Def arbete: U 01 = t 1" Pdt 10 t 0 Använd Effektlagen: U 01 = t 1" T dt = T 1 T 0 t 0 dvs ändring av kinetisk energi är lika stor som krafternas arbete T 1 " T 0 = U 0"1 (Arbetslagen) Problem: En bil med massan m körs med konstant horisontell hastighet. Farten är v och luftmotståndet beskrivs av den viskösa friktionskraften L = cv, där c är en känd, konstant storhet. - Bestäm drivkraften F som bilmotorn presterar. Svar: F=cv. - Bestäm drivkraftens effekt P. Svar: P = cv 2. - Hur mycket större blir farten om effekten fördubblas? Svar: Ny fart v. Ny drivkraft och nytt luftmotstånd. cv' 2 = 2cv 2 " v'= 2v. Farten ökar med "v = 2 #1 ( )v.