Introduktion till Biomekanik, Dynamik - kinetik VT 2006

Transkript

1 Kinetik Kinematiken: beskrivning av translationsrörelse och rotationsrörelse Kinetik: Till rörelsen kopplas även krafter och moment liksom massor och masströghetsmoment. Kinetiken är ganska komplicerad, vi kommer här endast att föra enklare resonemang och räkna på enkla exempel. Huvudavsnitt och huvudbegrepp i kinetiken: Kraft acceleration, för bestämning av momentana krafter (krafter verkande under ett kort ögonblick). Impuls rörelsemängd, där kraften verkar under en viss tid. Arbete energi, där kraften verkar över en viss sträcka. De tre huvudavsnitten behandlar olika sätt att lösa kinetiska problem och kan användas för både translations- och rotationsrörelser. 1

2 I. Translationskinetik En obalanserad kraft på en kropp ger upphov till en rörelseändring enligt F = m a Accelerationens storlek för en viss kraft beror på massans storlek: massan utgör en kropps inneboende motstånd mot att ändra sitt rörelsetillstånd. Den resulterande kraften ΣF och accelerationen a är riktade åt samma håll. Det är med andra ord en vektorekvation! Dessutom gäller, som i statiken, Newtons 3: lag! Newtons lagar 1. Tröghetslagen: En kropp utan yttre kraftpåverkan förblir i sitt tillstånd av vila eller likformig, rätlinjig rörelse.. Accelerationslagen: En kropp som påverkas av kraften F får en acceleration a sådan att F = m a, där konstanten m är kroppens massa. Eller: Ändringen per tidsenhet av en kropps rörelsemängd är proportionell mot den verkande kraften och ligger i dennas riktning. 3. Lagen om verkan och motverkan: Mot varje kraft svarar en annan lika stor och motsatt riktad kraft, så att de ömsesidigt mellan två kroppar verkande krafterna alltid är lika stora och motsatt riktade.

3 Under ett bromstest bromsas en bil från hastigheten 100 km/h till stillastående på sträckan 50 m enligt figur. Om alla fyra hjulen bidrar med lika stor bromskraft, beräkna hur stor bromskraft F μ som verkar på vart och ett av hjulen. Antag att den 1500 kg tunga bilen stannar in med konstant retardation. (F μ =894 N) I en hiss står en man med massan m på en våg som har en skala som mäter belastningen direkt i N (Newton). Hur stor belastning kan man läsa på vågen under den uppåtriktade accelerationen a y = m/s om mannen väger 80 kg? F Hur stor blir belastningen om accelerationen a y är riktad nedåt istället? Jämför förhållandena med de som uppträder då t.ex. en störtloppsåkare passerar en svacka med hög hastighet! (Hiss uppåt; N = m(g+a y ), hiss nedåt; N = m(g-a y )) 3

4 Avlastning belastning Avlastning F = mg N ma ned Belastning F = mg + N ma upp Figur 65: Jämvikt, dvs. Σ F = 0. Ingen resulterande kraft, ingen acceleration: F N = F G = mg Figur 66: Nedsjunkning mot nigsittande: I första fasen acc. nedåt; normalkraften F N minskar (underlaget avlastas). I andra fasen acc. uppåt (inbromsning); normalkraften F N ökar (underlaget belastas). Figur 67: Uppåtresning till stående (omvänt mot föregående): I första fasen acc. uppåt; normalkraften F N ökar (underlaget belastas). I andra fasen acc. nedåt (inbromsning); normalkraften F N minskar (underlaget avlastas). Förekommer tex. vid utförsåkning! 4

5 En utförsåkare startar från vila i en backe med 40 o lutning enligt figur. Efter t =,58 sek passerar han en punkt 0 m längre ner i backen. Bestäm hur stor friktionskoefficienten μ mellan snö och skidor är. Bortse från luftmotståndet. (μ = ) Centripetalkraft Centripetalkraft är den kraft som måste till för att en kropp ska röra sig i en cirkulär bana. Kraften är förknippad med den radiellt riktade komponenten av accelerationen, dvs. a R. Den radiellt riktade accelerationen a R beräknas ur formeln a R v = = r ω r Ur Newtons lag får vi då följande uttryck för centripetalkraften F C ( = m ω ) v F = m a FC = m ar = m r r 5

6 I en allmän rörelse, där banan följer ett ibland krökt spår och en ibland rak linje, ska man i uttrycket för den radiella accelerationen sätta in den krökningsradie som gäller i den aktuella punkten. Låt oss anta att kurvan i figuren nedan beskriver en del av ett slalomåk Om t.ex. r är krökningsradien för kurvan vid punkt B ser kraftekvationerna ut på följande sätt för en åkare med massan m i det läget: F F t n = ma t = ma n v = m r = mrω där v är åkarens hastighet i B och ω är vinkelhastigheten runt den tänkta cirkelns centrum. Riktningarna n och t i figuren ovan står för normal- respektive tangentialriktning i det aktuella läget. Det går alltså åt en kraft F n (mellan skidorna och snön) för att åkaren ska följa kurvans krökning vid exempelvis B! I exemplet nedan tvingar ett snöre pucken att följa en cirkelbana genom att hela tiden dra med centripetalkraften S i normalens riktning. 6

7 Alternativt kan snöret ersättas med en hand som med centripetalkraften F tvingar pucken att följa cirkelbanan. För centripetalkrafterna i de båda fallen gäller förstås att de är lika stora, dvs. att F = S (förutsatt att rörelsen sker med samma hastighet och att radien är densamma). Resultatet blir detsamma i båda fallen, pucken följer en cirkelrund bana på grund av yttre krafter som tvingar fram en radiell acceleration. Kom ihåg att rörelse i en krökt bana alltid kräver en acceleration tvärs rörelseriktningen, dvs. i rörelsens normalriktning, och att det krävs en kraft för att åstadkomma den accelerationen! (F C = ma R ). Finns det verkligen inte centrifugalkrafter? Om det inte finns centrifugalkrafter, vad är det då för en kraft som föraren av bilen känner av under kurvan? Vilken kraft är det som får korgarna att slungas ut under rotationen? 7

8 Vi bestämde i förra avsnittet släggans radiella acceleration till a R = 35,1 m/s. Hur stor blir dragkraften i händerna om släggan väger 7,6 kg? (F = 55 N) När en skidåkare svänger runt en slalomkäpp åker han under ett ögonblick i en cirkelbana med radien 15 m enligt figur. Om åkaren väger 70 kg, och han har en hastighet av 10 m/s, hur stor inåtriktad kraft måste han då åstadkomma med skidorna? (F = 467 N) 8

9 I ett avsnitt av en skidbacke finns formationer enligt figur. Om en 75 Kg:s skidåkare kommer till punkt A med 75 km/h, 90 m hur många gånger större kraft än sin egen tyngd måste han bära upp i det läget? Hur stor är den största hastighet åkaren kan ha när han passerar B utan att hoppa? Friktion mellan skidor och snö försummas. Åkarens tyngdpunkt befinner sig 1 m ovanför snön. 135 m (Svacka; 1,5 ggr sin egen tyngd, backkrön; v max = 36,1 m/s eller 13 km/h) Under en cykeltävling kommer åkarna in i en kurva med krökningsradien r = 30 m. Beräkna hur stor hastighet åkarna maximalt kan ha om friktionen mot vägbanan är nedsatt efter en regnskur och μ s = 0,4. Hur stor vinkel Θ får cyklisterna luta sig inåt under kurvan för att hålla balansen? (v max = 18,85 m/s eller 39 km/h, lutning Θ = arctan(μ s ) = 1,8 o ) 9

10 Diskussionsexempel Vad händer när en skidåkare pendlar med sin arm som visas i figuren när han för fram staven för ett nytt tag under ett lopp? Har det någon betydelse om armen hålls rak eller om man för fram stav och arm i böjt läge? Övningstal i kompendiet (sid ) Observera att lösningar till talen finns på sid. 11 och framåt i kompendiet. Formelsamlingen i appendix, sid. A9 kan också vara användbar. Kommentarer till några av talen: Tal 30; A och B hör ihop, dvs. gemensamma data för massor etc. Tal 31c; konst. acceleration förutsätts. Rekommenderade uppgifter: Tal 9, 30, 31, 33 (ganska svårt). 10