Mekanik FK2002m. Repetition

Transkript

1 Mekanik FK2002m Föreläsning 12 Repetition Sara Strandberg SARA STRANDBERG P. 1 FÖRELÄSNING 12

2 Förflyttning, hastighet, acceleration Position: r = xî+yĵ +zˆk θ = s r [s = θr] Förflyttning: r = r 2 r 1 θ = θ 2 θ 1 Medelhastighet: v avg = r t Momentanhastighet: v = d r dt ω avg = θ t ω = dθ dt [v = ωr] Medelacceleration: a avg = v t α avg = ω t Momentanacceleration: a = d v dt = d2 r dt 2 [a t = αr] [a r = v2 r = ω2 r] α = dω dt = d2 θ dt 2 SARA STRANDBERG P. 2 FÖRELÄSNING 12

3 Rörelseekvationer vid konstant acceleretation x = x 0 +v 0 t+ 1 2 at2 v = v 0 +at v 2 = v0 2 +2a(x x 0 ) x = x (v 0 +v)t x = x 0 +vt 1 2 at2 θ = θ 0 +ω 0 t+ 1 2 αt2 ω = ω 0 +αt ω 2 = ω0 2 +2α(θ θ 0 ) θ = θ (ω 0 +ω)t θ = θ 0 +ωt 1 2 αt2 SARA STRANDBERG P. 3 FÖRELÄSNING 12

4 Specialfall Fritt fall: Vertikal acceleration är a y = g. y = y 0 +v 0 t 1 2 gt2 Projektilrörelse: Horisontell acceleration är a x = 0 och vertikal acceleration är a y = g. x = x 0 +(v 0 cosθ 0 )t y = y 0 +(v 0 sinθ 0 )t 1 2 gt2 Alla ekvationer på förra sidan gäller med a x = 0 och a y = g. SARA STRANDBERG P. 4 FÖRELÄSNING 12

5 Likformig cirkulär rörelse Ett föremål som rör sig i en cirkelbana accelererar för att hålla sig kvar i banan (hastigheten byter riktning). Centripetalaccelerationen ges av: a = v2 r Accelerationen kommer av en centripetalkraft: F = mv2 r Ursprunget för själva kraften varierar (friktion för en bil i en kurva, snörkraft för en slunga, gravitation för en satellit). SARA STRANDBERG P. 5 FÖRELÄSNING 12

6 Friktion Statisk friktionskraft: f s,max = µ s F N Storleken matchar alltid den motriktade kraften, men kan max vara f s,max. Kinetisk friktionskraft: f k = µ k F N SARA STRANDBERG P. 6 FÖRELÄSNING 12

7 Energi och arbete Kinetisk energi: Arbete vid konstant kraft: K = 1 2 mv2 W = F d Arbete vid variabel kraft: W = rf r i dw = xf x i Arbete och kinetisk energi: F(x)dx+ yf y i F(y)dy + zf z i F(z)dz K = W Arbete utfört av gravitationskraften: W g = mgdcosφ (φ vinkel mellan F g och d) Arbete utfört av fjäderkraften: W s = 1 2 kx2 SARA STRANDBERG P. 7 FÖRELÄSNING 12

8 Konservativa och icke-konservativa krafter En kraft är konservativ om arbetet som den utför på en partikel som rör sig i en sluten bana är noll. En kraft är icke-konserativ om det inte gäller. Gravitationskraften och fjäderkraften är konservativa. Friktionskraften är icke-konservativ. SARA STRANDBERG P. 8 FÖRELÄSNING 12

9 Potentiell energi Ändring i potentiell energi (konservativ kraft): U = W = xf x i F(x)dx Gravitationell potentiell energi: U(y) = mgy (U(y = 0) = 0) Potentiell energi hos en fjäder: U(x) = 1 2 kx2 (U(x = 0) = 0) SARA STRANDBERG P. 9 FÖRELÄSNING 12

10 Mekanisk energi - isolerat system, konservativa krafter Vet nu att K = W = U (bara sant för konservativa krafter). Kallar K + U = E mec (= 0). Mekanisk energi är summan av kinetisk och potentiell energi: E mec = K +U I ett isolerat system, där bara konservativa krafter verkar inom systemet, är den mekaniska energin bevarad: K 2 +U 2 = K 1 +U 1 SARA STRANDBERG P. 10 FÖRELÄSNING 12

11 Energins bevarande Om en extern kraft verkar på systemet och utför ett arbete gäller: W = E = E mec + E th + E int Om systemet är isolerat är W = 0, och: E mec + E th + E int = 0 Om systemet är isolerat och bara konservativa krafter verkar: E mec + E int = 0 SARA STRANDBERG P. 11 FÖRELÄSNING 12

12 Effekt Medeleffekt: Momentaneffekt: För rotation: P avg = W t = E t P = dw dt P = dw dt = de dt = τω SARA STRANDBERG P. 12 FÖRELÄSNING 12

13 Rörelsemängd och impuls Rörelsemängd: p = m v Impuls: J = p = tf t i F(t)dt Om inga externa krafter verkar på ett system är rörelsemängden bevarad: P i = P f SARA STRANDBERG P. 13 FÖRELÄSNING 12

14 Kollisioner I en inelastisk kollision är rörelsemändgen bevarad: p 1i + p 2i = p 1f + p 2f I en elastisk kollision är också den kinetiska energin bevarad: K 1i +K 2i = K 1f +K 2f För en ellastisk kollision i en dimension gäller: v 1f = m 1 m 2 m 1 +m 2 v 1i v 2f = 2m 1 m 1 +m 2 v 1i SARA STRANDBERG P. 14 FÖRELÄSNING 12

15 Kollisioner Ett systems masscentrum ges av: r com = 1 M n m i r i i=1 Masscentrums hastighet v com hos ett isolerat system av två partiklar som kolliderar påverkas inte av kollisionen. P = p 1i + p 2i = M v com SARA STRANDBERG P. 15 FÖRELÄSNING 12

16 Rotation Tröghetsmoment: I = m i r 2 i I = r 2 dm Kinetisk energi: K = 1 1 Iω2 Parallellaxelteoremet: I = I com +Mh 2 Vridmoment: τ = r F τ = rf = r F = rf sinφ Arbete: W = θf τdθ θ i SARA STRANDBERG P. 16 FÖRELÄSNING 12

17 Rullning Hastighet och acceleration: v com = ωr a com = αr Kinetisk energi: K = 1 2 I comω Mv2 com SARA STRANDBERG P. 17 FÖRELÄSNING 12

18 Rörelsemängdsmoment Röreslemängdsmoment: l = r p l = rmvsinφ = rmv = r mv För ett system av partiklar: L = n li i=1 Rörelsemängdsmoment för en stel kropp: L = Iω Rörelsemängdsmomentet är bevarat om det resulterande vridmomentet är noll. SARA STRANDBERG P. 18 FÖRELÄSNING 12

19 Relationer translation och rotation Translation Rotation Position x Vinkelposition θ Hastighet v = dx/dt Vinkelhastighet ω = dθ/dt Acceleration a Vinkelacceleration α = dω/dt Massa m Tröghetsmoment I Kraft F Vridmoment τ(= r F) Rörelsemängd p Rörelsemängdsmoment l(= r p) Rörelsemängd P(= pi ) Rörelsemängdsmoment L(= li ) Rörelsemängd P = M vcom Rörelsemängdsmoment L = Iω Arbete W = Fdx Arbete W = τdθ Kinetisk energi K = 1 2 mv2 1 Kinetisk energi 2 Iω2 Effekt (konstant F) P = Fv Effekt (konstant τ) P = τω Newtons andra lag Fnet = d P Newtons andra lag τ dt net = d L dt Bevarandelag P = konstant Bevarandelag L = konstant SARA STRANDBERG P. 19 FÖRELÄSNING 12

20 Newtons andra lag På linjär form: I termer av rörelsemängd: För ett system av partiklar: F net = m a F net = d p dt För rotationsrörelse: Med rörelsemängdsmoment: Hos ett system av partiklar: F net = M a com τ = Iα τ net = d l dt τ net = d L dt SARA STRANDBERG P. 20 FÖRELÄSNING 12

21 Jämvikt Vid statisk jämvikt är den resulterande externa kraften och vridmomentet noll: F net = 0 τ net = 0 SARA STRANDBERG P. 21 FÖRELÄSNING 12

22 Gravitation Newtons gravitationslag: F = G m 1m 2 r 2 Gravitionell acceleration: Gravitationell potentiell energi: a g = GM r 2 U = GMm r Flykthastighet: v = 2GM R SARA STRANDBERG P. 22 FÖRELÄSNING 12

23 Gravitation Keplers första lag: Alla planeter röt sig i elliptiska banor, med solen i en av fokuspunkterna. Keplers andra lag: En planet rör sig med en sådan hastighet att en linje som förbinder planeten med solen alltid sveper över en lika stor area på samma tid. Keplers tredje lag: Kvadraten av en planets period är proportionell mot kubiken på banans halva transversalaxel. ( ) 4π T 2 2 = r 3 GM Energi i planetbanor: U = GMm r K = GMm 2r E = GMm 2r eller E = GMm 2a SARA STRANDBERG P. 23 FÖRELÄSNING 12