Om den lagen (N2) är sann så är det också sant att: r " p = r " F (1)

Transkript

1 1 KOMIHÅG 12: Den mekaniska energin, arbetet Föreläsning 13: FLER LAGAR-härledning ur N2 Momentlag Hur påverkas rörelsen av ett kraftmoment?? Rörelsemängden definieras som en vektor: p = mv Newtons 2:a lag kan då skrivas som p = F Om den lagen (N2) är sann så är det också sant att: r " p = r " F (1) Men: d( r " p ) = v " p + r " p = r " p, ty v och p är dt parallella Definiera som en ny storhet: Rörelsemängdsmoment: H O = r " p Vi kan nu skriva ekvation (1) som en ny lag Momentlag, momentekvationen H O = M O där vi inför kraftmomentet enligt definitionen: M O = r " F OBS: Förväxla inte momentekvationen med definitionen av kraftmoment!

2 2 Krafter som inte vrider: Kraftmoment M O = 0 Trådkraft på partikel Glatt, horisontellt underlag Teorifråga: Hur ser uttrycket för accelerationen ut för partikeln i figuren? Hur stor är kraften? F Teorifråga: Kraften på jorden är utritad i figuren Hur stor är kraften på solen? Rörelsemängdsmomentet ('rotationsmängden') kommer att bevaras Enligt momentlagen gäller ju H O = 0 " H O = konstant vektor

3 3 Övning: Bestäm uttrycket för H O med hjälp av cylinderkomponenter Lösning: Partikeln rör sig i ett plan som vi kan ge höjdkoordinaten z = 0 Med origo i planet där kraftens verkningslinje hela tiden går igenom (hålet, solen ) fås: r = re r, p = m( r e r + r" e " ) p = m( r e r + r" e " ) Insättning i definitionen av rörelsemängdsmomentet: H O = r " p = mr r ( e r " e r ) mr2 #( e r " e # ) =0 = mr 2 # e z Svar: H O = mr 2 " e z e z Övning: Beskriv en rörelse sådan att H O är konstant Lösning: Rörelsen sker kring en fix axel genom ett fixt origo så att r 2 " är konstant Vinkelhastigheten anpassas efter avståndet r så att produkten r 2 " är konstant, dvs på större avstånd är vinkelhastigheten mindre än på små avstånd

4 4 Impulslag Rörelsemängden definieras som en vektor: p = mv Newtons 2:a lag kan då skrivas som p = F Om den är sann, så är det också sant att: t 2 t 2 p " dt = " F dt t 1 t 1 -Vänsterledet kan räknas ut formellt till en rörelsemängdsändring "p = p ( t 2 ) # p ( t 1 ) -Högerledet får bli en ny storhet Definition: Kraftens impuls: I = t 2 " t 1 F dt Slutligen har vi härlett en ny lag ur Newtons 2:a lag, den så kallade impulslagen (eller impulsekvationen): "p = I Med ord: Kraftens impuls orsakar en ändring av partikelns rörelsemängd så att ändringen är lika stor som impulsen Exempel: En boll med massa m studsar mot ett golv Alldeles innan studsen vet man att hastigheten är riktad neråt med storleken v 0, och att alldeles efter studsen är bollens hastighet v 1 riktad uppåt Ändring i rörelsemängd på grund av studsen är således m( v 1 + v 0 ), räknat positiv uppåt Enligt impulslagen är stötkraftens impuls ( I) lika stor som rörelsemängdsändringen, dvs I = m( v 1 + v 0 )

5 5 TILLÄMPNING PÅ STÖTAR Allmän beskrivning: Mellan två partiklar m 1 och m 2 i kontakt med varandra uppstår två motriktade normalkrafter (Newtons 3:e lag) Summan av dessa krafter är noll! Summan av krafternas (tidsintegraler) impulser är likaså noll!! Konsekvensen är att summan av partiklarnas rörelsemängder inte ändras Matematisk beskrivning: Om inga andra krafter än normalkrafterna är viktiga ger impulslagen för första partikeln: "p 1 = I, där I är impulsen av normalkraften verkande på partikel m 1 På samma sätt för partikel m 2 : "p 2 = #I, ty dess normalkraft är motriktad! Summering av dessa två imulslagar ger: "p 1 + "p 2 = 0 Stötlag: "( p 1 + p 2 ) = 0, dvs den totala rörelsemängden bevaras vid stötar (eller explosioner) Stötar sker under kort tid och normalkrafterna blir mycket större än tyngdkrafter och annat Bara normalkrafternas impulser (integraler) blir viktiga då

6 6 Problem 2: En projektil med massan 75 gram har hastigheten 600 m/s när den träffar och fastnar i ett 50- kilos block Blocket befinner sig i vila före träffen Beräkna förlusten av rörelseenergi på grund av träffen Lösning: På grund av att kraftpåverkan mellan projektil och block är ömsesidig ändras inte totala rörelsemängden före: efter: mv = mv + Mv, dvs sluthastigheten blir m v = m + M v 0 Om vi jämför kinetiska energier före och efter som en kvot, erhålls T e T f = 1 ( 2 m + M )v mv 2 0 = m m + M =0015

7 7 Problem: En godsvagn A som väger 30 Mg (ton) rör sig på ett horisontellt spår med farten 3 km/h En annan godsvagn B med massan 20 Mg ges farten 5 km/h så att den kommer ifatt och kan kopplas ihop med A på spåret Bestäm den gemensamma farten för vagnarna efter kopplingen Bestäm även den energiförlust som kopplingen innebär Lösning: I detta problem bevaras totala rörelsemängden (stötlagen): före: efter: v A v B = ( )v, dvs v = v A v B OBS: Detta är masscentrums hastighet (före/efter): v G = m v + m v A A B B Energiförlusten: T f " T e = 1 2 m # 1" A% $ " m B v A v B = 1 2 = 1 2 m B & ( v 2 A + 1 ' 2 m # 1" m B & 2 B% ( v B $ ' m B ( v 2 A + v 2 B " 2v A v B ) ( v A " v B ) 2

8 8 KOMIHÅG 13: Kraftens impuls: I = t 2 " F dt Impulsekvationen: "p = I Stötlag: "( p 1 + p 2 ) = 0 t Föreläsning 14: CENTRALA STÖTAR mellan föremål Om de kolliderande kropparnas masscentra ligger på kontaktytans normallinje (stötnormal) sägs stöten vara central RAK STÖT: före vid stöten Om kropparna inte roterar och deras hastigheter är parallella med stötnormalen är stöten rak Det behövs bara en koordinataxel SNED STÖT: Om stöten inte är rak, är den sned

9 9 - Stötar utan energiförlust: Tänk på perfekta gummibollar, men stålkulor är nog bättre Kropparna möts och separerar Antag att mötes(kollisions)farten och separationsfarten är lika men motriktade Problem: Betrakta en idealisk rak, central elastisk stöt, där en partikel infaller med farten v mot en annan stillastående partikel ute i rymden Efter stöt antas att den högra partikeln avlägsnar sig från den infallande partikeln med samma fart v Bestäm den vänstra partikelns fart efter stöt och energiförlusten i stöten Lösning: Stöten beskrivs fullständigt av stötlagen: "( p 1 + p 2 ) = 0 # m 1 v + 0 = m 1 u + m 2 ( u + v) Vi löser först ut u: u = m 1 " m 2 m 1 + m 2 v Därefter räknar vi ut energier före och efter stöten Före: T före = m 1 2 v 2 Efter: T efter = m 1 2 u2 + m # 2 v m 2 1 m 1 " m % 2 $ % ( m 1 + m 2 ) 2 ( u + v) 2 = ( ) 2 + m 2 ( 2m 1 ) 2 & ( '( = m 1 2 v 2

10 10 Slutsats: För stötar utan energiförluster gäller att separationshastigheten (längs stötnormalen) är lika stor som kollisionshastigheten - Dessa stötar kallas fullständigt elastiska Om man väljer en av partiklarna som referenspartikel kan man entydigt definiera: Kollisionshastighet: Den relativa hastigheten för den inkommande partikeln (mot referenspartikeln) före stöt Separationshastighet: Den relativa hastigheten för den inkommande partikeln (från referenspartikeln) efter stöt - Fullkomligt oelastisk stöt: Tänk på två klibbiga degklumpar som krockar Hur är det med energin och rörelsemängden i detta fall? Jo, energi går förlorad men masscentrums rörelse bevaras Den energi som masscentrums rörelse har kommer då att bevaras Bara energin från den relativa rörelsen går förlorad - Stötimpulsen När impulslagen används för en partikel vid stötar avser man bara stötkraftens impuls: t 2 "p = m v efter # v före $ ( ) = F stöt dt OBS: En stötkraft är mycket större än vanliga krafter men verkar bara under en mycket kort tid Därför kan man ofta bortse från vanliga krafters impulser vid stöt t 1

11 11 Problem: Gör en uppskattning av stötkraften som får massan m att bromsa upp från farten v till stillastående på tiden " Lösning: Impulsekvationen ger 0 " mv = I stöt Impulsen är tidsintegralen av stötkraften F stöt, och impulsen kan enligt matematikens medelvärdessats uppskattas som I stöt = F stöt " Dett ger uppskattningen: F stöt = " mv # Numeriskt: m=70 kg, v=20 m/s, " =1 s, ger F stöt = "1400N Om " =01 s fås F stö t = "14000N - Stöttalet e : (En materialkonstant) Egenskaper i föremålens material är sådana att samma par av material alltid ger ett konstant förhållande mellan föremålens relativa hastigheter före och efter stöt: relativ separationshastighet e = " 0 relativ kollisionshastighet Anmärkning: De relativa hastigheterna är speciellt lätta att räkna ut om ena kroppen, t ex en vägg ligger still För stöttalet gäller speciellt de två extrema värdena e =1" fullst elastisk e = 0 " fullst oelastisk Sammanfattning: Stötekvationerna: m 1 v 1 före + m 2 v 2 före = m 1 v 1 efter + m 2 v 2 efter och e = v 2 efter " v 1 efter v 1 före " v 2 före

12 12 h 0 h 1 Problem: Tennisbollarnas kvalitet kan kontrolleras med det enkla testet att klara studs upp till midjan om de släpps från axelhöjd För en tennisboll som klarar testet enligt figuren kan man räkna ut studstalet e och den relativa energiförlusten!e / E på grund av studs Gör det! Lösning: I det här problemet har vi bara en boll och ( ) = F stöt dt "p = m v efter # v före e = v efter v före t efter $ Hastigheterna alldeles innan och alldeles efter studs? m ( 2 v före ) 2 m = mgh 0 och ( 2 v efter ) 2 = mgh 1 dvs e = t före 2gh 1 2gh 0 = h 1 h 0 Relativa energiförlusten på grund av stöt blir sedan (omräknat i potentiella energier): "E E = mgh # mgh 0 1 = h # h 0 1 mgh 0 h 0