Biomekanik Belastningsanalys

Transkript

1 Biomekanik Belastningsanalys Skillnad? Biomekanik Belastningsanalys Yttre krafter och moment Hastigheter och accelerationer Inre spänningar, töjningar och deformationer (Dynamiska påkänningar) I de delar av Belastningsanalysen vi tar upp är Statiken grundläggande! I regel får man lösa ett statiskt problem innan man kan bestämma de inre påkänningarna Kort repetition av Statiken Handlar om kroppar som står stilla eller befinner sig i rätlinjig rörelse med konstant hastighet. Viktiga moment: Krafter och moment Tyngdpunkt Newtons lagar (riktion) Jämvikt Biomekanik: Hur stora krafter och moment ger kulan i armbåge och axel? Belastningsanalys: Hur stora blir påkänningarna i muskler och ben? P. Carlsson 1

2 Statik Newtons lagar: En rationell beskrivning och användning av den klassiska mekaniken grundas på Newtons tre lagar: 1. Tröghetslagen: En kropp utan yttre kraftpåverkan förblir i sitt tillstånd av vila eller likformig, rätlinjig rörelse. 2. Accelerationslagen: En kropp som påverkas av kraften * får en acceleration a sådan att = m a, där konstanten m är kroppens massa. Eller: Ändringen per tidsenhet av en kropps rörelsemängd är proportionell mot den verkande kraften och ligger i dennas riktning. 3. Lagen om verkan och motverkan: Mot varje kraft svarar en annan lika stor och motsatt riktad kraft, så att de ömsesidigt mellan två kroppar verkande krafterna alltid är lika stora och motsatt riktade. *) Resulterande eller obalanserade kraften. P. Carlsson 2

3 Kraftbegreppet Krafter är vektorer (liksom även sträckor hastigheter och accelerationer). En vektor har både storlek och riktning (och angreppspunkt) Kraften 1 N ger en kropp med massan 1 kg accelerationen 1 m/s 2 Två krafter med gemensam angreppspunkt får adderas enligt parallellogramlagen. Omvänt kan en kraft delas upp i komposanter längs två valfria riktningar x y = = cosθ = sin Θ tan Θ = 2 x + y x 2 y P. Carlsson 3

4 I Biomekaniken gällde att en kraft kan förskjutas längs sin verkningslinje utan att dess totala verkan på en stel kropp förändras. Elastisk kropp I Belastningsanalysen tar vi hänsyn till elasticiteten hos en kropp! Därför gäller inte här att en kraft kan förskjutas längs sin verkningslinje utan att dess totala verkan på en (elastisk) kropp förändras. Moment (kraftmoment) En resulterande (obalanserad) kraft strävar efter att ändra en kropps rörelsetillstånd. Den kan också sträva efter att vrida en kropp. Måttet på kraftens förmåga att vrida kroppen runt en axel är dess moment runt den aktuella axeln. Enhet för moment: Nm. Moment = Kraft * hävstångsarm = *d P. Carlsson 4

5 Jämvikt Jämvikt kräver att: Alla verkande krafter tar ut varandra, Σ = 0 (translationsjämvikt) Alla verkande moment tar ut varandra, Σ M = 0 (rotationsjämvikt) Ofta delar man upp krafterna i t. ex. horisontellt och vertikalt verkande komposanter. Detta ger tre jämviktsvillkor (i det tvådimensionella fallet): Σ V = 0 Σ H = 0 Σ M = 0 (I det tredimensionella fallet finns det 6 jämviktsvillkor att ställa upp, krafter i tre riktningar och moment längs tre axlar). Alternativa jämviktsekvationer I systemet bredvid kan t.ex. följande tre jämviktsekvationer tecknas: x y M = 0 = 0 A = 0 öljande alternativa ekvationer ger dock precis samma resultat: x 0 M A = 0 M B = = 0 (en kraft- två momentekvationer) A 0 M B = 0 M C = M = 0 (tre momentekvationer) eller, om en alternativ koordinatriktning, ξ, används: x 0 = 0 M A = = ξ 0 (två kraft- en momentekvation) P. Carlsson 5

6 Ex 1. Bestäm resulterande krafter och moment i punkt A. Svar: V A = -1,16 kn (pos. riktning uppåt), H A = 1,64 kn (pos. riktning åt vänster), M A = -2,22 knm (pos. riktning moturs) P. Carlsson 6

7 Belastningsanalys Spänningar - Stresses ör att kunna jämföra krafters påkänningar på en kropp måste man införa mätetal som är oberoende av hur kroppen ser ut. De inre påkänningarna i materialet bestäms med hjälp av lämpliga snitt. Inre krafter och moment samlas ihop till en resulterande kraft och ett resulterande moment. P. Carlsson 7

8 ör att ordna upp påkänningarna på ett jämförbart sätt väljer man att projicera resulterande krafter och moment vinkelrät mot och parallell med snittytan. Normalspänningar vid axiell belastning En länk utsätts för dragkraften P. Vi studerar påkänningarna i snittet a a, vinkelrätt mot snittytan. ör att få reda på hur hårt belastat materialet är undersöker man hur stora normalspänningar σ (sigma) det utsätts för Medelspänn ing = eller σ avg = A Normalkraft Area ( kraften utsmetad över tvärsnittet, enhet N/m 2 eller Pa, kpa, MPa) P. Carlsson 8

9 Ex 2. En 80 kg tung lampa stöds av två länkar AB och BC enligt figur. Om AB har diameterna 10 mm och BC diametern 8 mm, beräkna de genomsnittliga normalspänningarna i resp. länk. Svar: σ BC = 7,86 MPa, σ BA = 8,05 MPa P. Carlsson 9

10 Ex. 3 En rund axel har sektioner av stål, mässing och aluminium enligt figur. Axiella laster appliceras i tvärsnittssektionerna vid A, B, C och D. Om tillåten axiell påkänning är 125 Mpa i stål, 70 MPa i mässing och 85 MPa i aluminium, bestäm hur stora diametrarna måste vara i respektive tvärsnitt. Svar: d AB = 52,4 mm, d BC = 21,3 mm, d CD = 58,1 mm P. Carlsson 10

11 Skjuvspänningar Shear stresses Skjuvspänningen τ (tau) uppträder parallellt med snittytorna och definieras på motsvarande sätt som normalspänningen: Medelskjuv spänning = eller V τ avg = A Tvärkraft Area I figuren bredvid blir medelskjuvspänningen τ = avg V πdt där kraften V är den resulterande tvärkraft som verkar på den frilagda snittytan (som i detta fall är lika stor som den yttre kraften P). Också här står spänningen för kraft utsmetad över en yta. P P P. Carlsson 11

12 Ex. 4 Ett mässingsrör med en yttre diameter om 50 mm. och en väggtjocklek på 10 mm är förbundet med ett stålrör med en inre diameter av 50 mm, väggtjocklek 6 mm. Delarna hålls ihop av en genomgående nit med diametern 20 mm enligt figur. Beräkna a) Hur stora skjuvspänningarna blir i niten om förbandet utsätts för en kraft av P = 40 kn. b) Hur långt förbandet måste vara om niten ersätts med ett limförband där limmet maximalt tål en skjuvspänning av 1,7 Mpa. Svar: a) τ = 64 MPa, L = 150 mm P. Carlsson 12

13 Ex. 5. Två tunna remsor av ett plastmaterial skarvas enligt figur. Medelskjuvspänningen i limmet får inte överstiga 950 kpa. Hur stor längd L måste skarvdelen ha om remsorna ska kunna belastas med en kraft om P = 50 kn? Svar: L = 175 mm P. Carlsson 13

14 Spänningar i sneda snitt Det är inte så enkelt att man antingen har normal- eller skjuvspänningar i en axiellt belastad kropp! Som framgår av följande exempel uppträder båda typerna av spänningar samtidigt om man studerar ett snitt som ligger vinklat mot lasten. Ex. 6 En axiell kraft P = 22 kn appliceras på en grov träbalk med tvärsnittet 100 x 100 mm. Balken är försedd med styva metallskoningar i ändarna. Bestäm normal- och skjuvspänningar i ett plan parallellt med fiberriktningen i balken (se figur). Svar: σ = 128,7 MPa, τ = 516,5 MPa P. Carlsson 14

15 Hållfasthetsvärden för svensk fura (tall). Som framgår sjunker hållfastheten väldigt snabbt för belastningar som inte följer fiberriktningen! P. Carlsson 15