8 Teknisk balkteori. 8.1 Snittstorheter. 8.2 Jämviktsekvationerna för en balk. Teknisk balkteori 12. En balk utsätts för transversella belastningar:

Transkript

1 Teknisk balkteori 12 8 Teknisk balkteori En balk utsätts för transversella belastningar: 8.1 Snittstorheter N= normalkraft (x-led) T= tvärkraft (-led) M= böjmoment (kring y-axeln) Positiva snittstorheter: T N N y x M M T 8.2 Jämviktsekvationerna för en balk dn dx dt dx dm dx = 0 = q(x) = T(x) Metodik för statiskt bestämda problem T(x) T(x 0 ) M(x) M(x 0 ) = x x 0 q(x) dx = x x 0 T(x) dx För bestämning av hur snittstorheterna N, T och M varierar i balkens längsled (x-led) så efter bestämning av reaktionsstorheterna använd: För problem med punktlaster och/eller punktmoment använd direkt snittmetod (fungerar alltid). Kontrollera att dt/dx = q(x) och dm/dx = T(x) stämmer på varje balkdel utan punktlast och punktmoment. För problem med enbart utbredda laster så är det lättare att använda integration av jämviktsekvationer + randvillkor.

2 Teknisk balkteori Normalspänning vid böjning, linjärt elastiskt material Ren böjning Definieras av N = 0 och T = 0 dvs M(x) = konstant. Normaltöjningen varierar i tvärsnittet enligt: tp ɛ() = ɛ 0 + R där ɛ 0 är töjningen hos tvärsnittets tp och R är krökningsradien. R Bernoullis antagande plana tvärsnitt förblir plana tvärsnitt förblir vinkelräta mot balkens medellinje Geometriska egenskaper hos tvärsnitt Area: A = A da Statiska moment: S y = A da och S = A y da Yttröghetsmoment: I y = I = A 2 da och I = A y2 da Deviationsmoment tröghetsprodukt): D y = y da A (eller Speciellt om -axeln är symmetrilinje i tvärsnittet fås D y = 0 (plan böjning). tp y

3 Teknisk balkteori Normalspänning Totala spänningen fås som: σ = N A + M I y Speciellt fås största spänningen i tvärsnittet (vid x) som σ max (x) = M(x) W b där elastiska böjmotståndet W b definieras som: I y W b = max( ) Dessutom skall man studera var M(x) är störst längs balken för att få det absolut största värdet på normalspänningen Steiners sats (parallellförflyttningssatsen) tp I λ = I λ + Ad 2 d

4 Teknisk balkteori Skjuvspänningar vid böjning Positiva snittstorheter: T N N y x M M T Från tvärkraften T(x) fås böjskjuvspänningen: τ(x, ) = S A T(x) I b( ) där S A är statiska momentet av den avsnittade arean, I är yttröghetsmomentet för hela tvärsnittet, b är skjuvspänningsupptagande bredden vid snittet. Snitt i tvärsnitt kan göras där τ kan anses vara konstant över snittet med bredd b. x Ex. på snitt: S A är definierat enligt: S A = da A Skjuvkraft som tas upp per längdenhet: df s dx = S T(x) A = S A dm I I dx För konstant S A och I (över längden x) fås skjuvkraften: F s = S A I M * b A * x

5 Teknisk balkteori Elastiska linjens ekvation Låt w vara medellinjens utböjning. Elastiska linjens ekvation: E I w (x) = M(x) varmed (från jämvikt) d dx [EIw (x)] = T(x), d 2 [EIw (x)] = q(x) dx2 x

6 Teknisk balkteori Elastiska linjens ekvation Låt w vara medellinjens utböjning. Elastiska linjens ekvation: E I w (x) = M(x) varmed (från jämvikt) d dx [EIw (x)] = T(x), d 2 [EIw (x)] = q(x) dx2 Speciellt för konstant E I: EIw (x) = T(x), EIw (x) = q(x) x Denna d.e. ger tillsammans med randvillkor (RV). Möjliga randvillkor (skall tecknas 2 RV per balkände): För x = 0: { w(0) = given, w (0) = given, P.s.s för x = L: { w(l) = given, w (L) = given, eller: T(0) = EI w (0) = given eller: M(0) = EI w (0) = given eller: T(L) = EI w (L) = given eller: M(L) = EI w (L) = given För statiskt bestämda balkar kan reaktionskrafter bestämmas ur jämvikt och böjmomentfördelningen M(x) kan fås m.h.a. t.ex snittmetoden. Därmed är EI w (x) = M(x) given. Utböjningen kan då fås genom att integrera denna 2:a ordningens d.e. Möjliga RV är givna w och/eller w.

7 Teknisk balkteori 18 Lösning av d.e. med RV fungerar för statiskt bestämda liksom statiskt obestämda balkar I elementarfall i KTH fs finns för statiskt bestämda fall Införande av (en eller flera) statiskt övertalig last (av en okänd reaktionskraft/- moment) som bestäms m.h.a. deformationsvillkor (för att tillfredställa verklig inspänningen) + superposition med verklig yttre last överför ett statiskt obestämt fall till två (eller flera) statiskt bestämda fall. P 1 P 2 1 Superposition (addition) av utböjningen (t.ex. w 1 (x), w 2 (x)) från respektive yttre last (t.ex. P 1 (x), P 2 (x)) ger totala utböjningen (t.ex. = w 1 (x) + w 2 (x)) från alla yttre laster tillsammans (t.ex. P 1 (x) och P 2 (x)). = + P 1 P