6 Vägledning till övningar

Transkript

1 6 Vägledning till övningar Deforation 1.2 Tag reda på längden, L, avdcefter deforationen. Använd att töjningen =(L L o )/L o. Ibland underlättar det att använda L =(1+ )L o. Studera den rätvinkliga triangeln ECD ed hjälp av pytagoras sats. För π L o utveckla i Maclaurinserie. Notera att (1 + x) n =1+nx + O(x 2 ). O(x 2 ) är en restter. 1.4 Studera trianglarna AED och ECD. För π L o utveckla i Maclaurinserie se uppgift 1.1. Studera exepel 1 i kap. 1. Töjning 2.2 Betrakta GFE so koordinatriktningar x och y och BAC so koordinatriktningar x Õ y Õ.Det senare koordinatsysteet är roterat vinkeln. Beakta att xy och Õ xy är inskningen av vinkeln GFE respektive BAC. Använd transforationslagarna för töjningar för att beräkna Õ xy. FS:7 2.3 Använd sabandet ellan förskjutning och skjuvning. FS:4 2.5 Huvudspänningarna är töjningstensorns egenvärden. Se FS. O den ena huvudriktningen ges av + n180 gäller att den andra ges av n180 (n är ett godyckligt heltal). 2.8 Rita Mohrs cirkel och finn två diaetrar ed vinkelskillnaden 2 60 = 120 för vilka noraltöjningen är noll. Det ger en relation ellan huvudtöjningarna eller axial skjuvning jäfört ed någon huvudtöjning. Se exvis anvisningar till fig. 4 i kap

2 Ò 2.10 Pytagoras sats i 3 diensioner ger diagonalen lx 2 + ly 2 + lz. 2 Volyen blir l x l y l z. Sätt längderna l i till ursprunglig längd ggr (1 + i ) ed i so respektive töjning. Maclaurinutveckla voly och diagonal var för sig för litet /a. Försua andra ordningens terer. Spänning 3.5 Beakta triangeln so bildas o en linje dras vertikalt från hörnet D upp till linjen BC. Kalla punkten där den nya linjen öter BC för E. Inför x och xy, so belastning på triangelsidan DE. P 2 ersätts, so belastning på sidan EC, av y och xy, so beräknas so funktion av P 2. Kraftjävikt i x-led ger x. Jävikt i y-led kan användas för att kontrollera redan beräknat xy. Spänningskoponenterna x, y och xy används för att beräkna huvudspänningarna. 3.7 Rita upp Mohrs cirkel och lägg in linjen Õ x =3 Õxy. Olinjen skär Mohr s cirkel på ett eller två ställen har probleet en eller två lösningar. Använd transforationslagarna (FS:6) för att beräkna Õ x och Õxy för en godtycklig riktning. Sätt Õ x =3 Õxy. Skriv o resulterande ekvation so en andragradsekvation för tan( ). Finn två rötter för tan( ). 3.8 Bestä A(x) =fid(x) 2 /4. Inför ett tänkt snitt på avståndet x från toppen. Ställ upp jävikt för tvärsnittet geno att integrera fra volyen ovanför tvärsnittet. Behandla D(x) so en okänd funktion. Derivering uttrycket ed avseende på tvärsnittets läge ger en di erentialekvation ed en lösning. Di erentialekvationen kräver ett randvillkor vilket ges av att spänningen i ett tvärsnitt är känd. Vilket? Elasticitet. Enaxliga tillstånd 84

3 4.2 Kraften på en assa i cirkulär bana ed radien r är Ê 2 r (se TEFYMA eller liknande). Teckna kraft per längdenhet för stången. Använd di erentialekvationen för enaxligt belastad stång (FS:21). 4.5 Se till att stångkrafterna uppfyller jävikt och att de stångförlängningar de ger via Hookes lag är kopatibla ed sabandet ellan förlängningarna i stängerna (se uppgift 1.1). För att forulera deforationssabandet och jävikt kan an anse att de bägge icke-vertikala stängerna förblir parallella ed sina respektive utgångsriktningar. 4.7 Antag att linorna förlängs +1, respektive 1. Beräkna krafter so funktion av. Se till att krafterna är i jävikt ed given last. 4.8 Skriv linornas förlängningar so +, respektive. Kraft- och oentjävikt beaktas (se 4.5). P placeras i triangelns tyngdpunkt Skissa Mohrs cirkel ed hjälp av inforationen o huvudspänningarna. Inkludera tredje huvudspänningen so är känd efterso punkten finns på kroppens yta. Identifiera ax. Använd FS:15 för att beräkna x + y och sedan FS:8 för att beräkna huvudspänningarna Utgå från att vinkeln är 20 fel. Antag att de korrekta huvudtöjningarna är 1 och 2. Ställ upp sabandet so ger de kända töjningarna 20 därifrån dvs Õ 1 =0.25h, Õ 2 =0.35h. Det ger huvudtöjningarna. Bestä skjuvningen Õ 12 och otsvarande skjuvspänning sat beräkna e ektivspänningen för Õ 1, Õ 2 och Õ 12. Notera att aterialets egenskaper endast koer in via skjuvodulen G för den aktuella e ektivspännings-hypotesen. Observera att plan spänning råder. 85

4 Viskocitet. Enaxliga tillstånd 5.2 Tag fra ett saband ellan töjning och spänning inklusive deras tidsderivator. När deforationen appliceras direkt analyseras endast töjningens respektive spänningens högsta derivata. Fortvarighet analyseras geno att endast de lägst deriverade tererna beaktas. 5.3 Saa anvisning so för 5.2. I detta fall åste den oreducerade di erentialekvationen lösas för t> Tag fra ett saband ellan töjning och spänning inklusive deras ti dsderivator. Man kan se att spänningen dalar efter t>. Lös di erentialekvationen fra till t =. 5.7 Avgör geno eget resoneang när största spänning uppnår. Vridning 6.1 Ï = MvL GK,Kges av forler i forelsalingen. Forlerna finns i stycket efter forel (FS:24). 6.3 Använd den inkreentella foren av FS26, dvs dï = Mdx GK. 6.4 Den est påkända delen är den yttersta. Här nås högsta skjuvspänning ax = Mv W v. W v hittar an i FS på saa ställe so K. Med M_v bestät beräknas för båda och adderas saan. 6.6 Snitta på sex ställen. I ändarna placeras ett oent M o. Förvridningar beräknas för alla fe delarna. M o bestäs av att suan av delarnas förvridning skall bli noll. Det ger M o =(4/5)M. Med alla oent kända kan axial vridning nu beräknas. 86

5 6.7 I fall b: Balkdelen so sitter fast böjs och vrids. Den utvinklade delen böjs och roteras p g a tidigare nända vridning. Detta ger tre bidrag till fria ändens nedböjning. Böjning 7.1 Sätt x =0i den fria änden. Se att T (x) är konstant. Integrera elastiska linjens ekvation tre ggr för T(x). Randvillkor M(0) = 0, w(l) =0och w Õ (L) = Saa so föregående en här är q(x) konstant. Versionen av elastiska linjens ekvation integreras fyra gånger. 7.6 Mellan två rullar uppför sig bandet so 2 ggr balken i övning 7.1. Tag randvillkoren vid en rulle so w(0) = 0 och w Õ (0) = 0. Betrakta delen so figuren visar. Figuren nedan visar också detaljerna vid en rulle ed avståndet från rullens itt till edellinjen vilket ger nedböjningen (a + d + h)/2 7.8 Så länge kraften P är liten ligger en del av balken platt ot underlaget. Krökningen och däred även oentet är noll nära kontaktytan. När kontaktytan begränsas till en linje dvs x =0är först oentet noll och kontakpunkten bär halva balken. Moentet ökar ed ökande P tills kontaktkraften försvunnit. Moent- och kraftjävikt tillsaans ed olikheterna M Ø 0 (balken kan inte välvas uppåt) och T>0 (när T =0lyfter balken från underlaget) ger svaret. 87

6 7.10 Bandet utsätts för dragbelastning och böjning där krökningsradien (w ÕÕ (x) =D/2) är given. Den saanlagda spänningen begränsas av sträckgränsen. O för tunn blir dragbelstningen för stor, o för tjock blir böjspänningen för stor Betrakta reaktionskraften från ittstödet so godtycklig. Kraftens korreta värde ges av att den skall häva den nedböjning so skulle ha blivit fallet o ittstödet inte fanns. 88