F3 PP kap 3, ekvationslösning och iteration, forts.

Transkript

1 F3 BE300 & 3 Page 1 of 6 F3 PP kap 3, ekvationslösning och iteration, forts. Övning från förra gången: Visa, att o f (x) > 0 i (a,b) så ligger sekanten geno (a,f(a)) och (b,f(b)) över kurvan. Tips: Låt (a,b) = (0,1). Definiera den styckvis linjära, kontinuerliga tak-funktionen ed ax. i x / ξ,0 < x < ξ 1 x = ξ, N( x; ξ ) = 1 x. Beräkna ed partialintegration, ξ < x < 1 f ( x) N( x; ξ ) dx so ju är > 0. 1 ξ 0 Gissa in vikt binär-sökning i sorterad tabell - O intervall-halvering PP p 74 ff. O sekantetoden PP 80 ff. Vad kan detta ha ed Fibonacci-tal att göra? Jo, för felen e n = α x n där α är nollstället och {x n } talföljden so sekantetoden genererar gäller e li n+ 1 = K dvs. för logariterna En = ln en gäller enen 1 En + 1 = En + En 1 + C Med C = 0 och rätt värden på E 0 och E 1 blir det Fibonacci-tal. Man kan visa att lösningen till rekursionsforeln kan skrivas n n En = Aφ + Bφ C där φ φ 1 = φ är alltså gyllene snittet φ = = , φ = och däred blir E ln = li n+ 1 en+ en+ = li eller li = 1 φe φ ln( ) φ n en en så konvergensordningen för sekantetoden är φ. Störningskänslighet hos nollställen. Iplicita funktions-satsen O f(x,ε) = 0, f(a,0) = 0 och f är deriverbar ed f ( a,0) 0 så definieras därav x = x(ε) ed x(0) = a so en deriverbar funktion i en ogivning till ε = 0. x(ε) kan bestäas t ex so trunkerad potensserie i ε, eller ed Newton-iteration Ö3.8 (PP p95) O ultipelrötter koplexa tal n ( x α ) = εg( x), n > 1: arg( εg( α )) + k π 1/ n x( ε ) α + εg( α) e n, k = 0,1,..., n 1 Exepel Rötter till x +ax +1 = 0 för -10 < a <10 ed MATLAB och roots. Visa att koplexa rötterna ligger på enhetscirkeln. Ett diagra över roten/rötterna sfa a kallas bifurkationsdiagra. T ex reella rötter till x +ax +1 = 0 för -10 < a <10, det finns inga för - < a <. Ex 3.4 p 90.

2 F3 BE300 & 3 Page of 6 Är felen i rötterna så stora so förväntas av ovanstående? Antag, att rötterna beräknas ed ekvationslösning så att P beräknas ed det utvecklade uttrycket och att räkningarna sker ed relativ precision (PP p 4). Ex Ö 3.9 p 95. Skriva o ekvationen? Olika svar? 3:3D Fixpunktsetoden PP p8 ff Newton-Raphsons och intervallhalverings-etoderna är stationära en-punktsiterationer av foren + 1 = G( ), n = 0,1,,... Ett x ed x = G(x) kallas en fixpunkt (eng. fixed point) och iterationen kan användas till att hitta fixpunkter. O an söker nollställen till f(x) får an konstruera ett G. Övning: Hur ser G ut för NR? Så här kan an illustrera iterationen. Man ritar kurvorna y = x och y = G(x) och ritar polygontåget där y k = G(x k ): (x k,y k )),(x k+1,y k ), (x k+1,y k+1 ),(x k+,y k+1 ), Här är G(x) = x 1± 0.84 och det finns två rötter (skärningspunkter) α 1, = Iterationen 0.4 konvergerar ot den indre α 1 för alla x 0 i (-α,α ) och aldrig ot den större. Övning: Konstruera ett G so otiverar nanet cobweb-iteration so ses i ekonoisk litteratur. Tag G = ax(1 x) ed a nära 3, se logistiska ekvationen nedan. Då blir G nära 1: När G är deriverbar så gäller + 1 = G ( ξ )( 1)

3 F3 BE300 & 3 Page 3 of 6 Fixpunktssatsen: O G ( ξ ) < 1för alla ξ i tillräckligt stor ogivning till x 0 så Det finns precis en fixpunkt α där x j konvergerar ot α Det gäller Anärkning x x x x x n n n α n + 1 n 1, li = 1 1 Fixpunktssatsen gäller även för funktioner (avbildningar) från t ex R till R n. O den förinskar, f ( x) f ( y) x y, < 1 kallas den en kontraktion. O an lägger en karta över Sverige på arken ( = n =, Euklidesk nor) koer det att finnas precis en punkt där karta och verklighet saanfaller. Konvergensen är alltså linjär o är skild från noll. För Newton-Raphson blir G (α) = 0 (visa det!). En långsa konvergens kan snabbas upp ed felterskorrektion, PP pp 57 α + ( 1) 1 Exepel G(x) = x/ +1. Fixpunkten är x =. x 0 = 0, x 1 = 1, x = 1.5; = (1.5 1)/(1 0) = 0.5 so ju är precis G (x) (för alla x) Alltså, felterskorrektion ger x* = x + /(1 ) (x x 1 ) = (1.5 1) =. Kan det ånne fungera också för linjärt divergenta följder? G(x) = x, igen fixpunkt x =. Men G = så iterationen divergerar. x 0 = 0, x 1 =, x = 6; = ( 6+)/( 0) = so ju är precis G x* = x + /(1 ) (x x 1 ) = 6 ( 6 +) =. Jo! Ett sätt att skriva felterskorrektionen är ( x 1) ˆ = n x x n n 1 + so brukar kallas Aitken-extrapolation. Logistisk ekvation; periodfördubbling till kaos x n+1 = ax n (1 x n ), a > 0 x(a) = 0, 1-1/a Vad ger iterationen för olika a? O a < 4 och 0 < x 0 < 1 koer alla x j att ligga i (0,1). G = a(1-x), G (0) = a så för a < 1 konvergerar iterationen ot 0 Vidare är G (1-1/a) = -a + så då -a < 1, dvs.1 < a < 3 blir det konvergens ot 1-1/a. För a > 3 är G > 1 för alla x i (0,1) så det blir ingen konvergens. Men talföljden är uppåt och nedåt begränsad så det åste finnas hopningspunkter, en vilka? Vi illustrerar ed att iterera ed ånga x satidigt, och ser var de hanar

4 F3 BE300 & 3 Page 4 of 6 % logistic ap % +1 = a -1(1--1) figure(1) clf hold on for a = linspace(0,4,4000) x = linspace(0,1,1800); for k = 1:380 x=a*x.*(1-x); end plot(a*ones(size(x)),x,'.') end So synes nedan blir det för a i (3,3.45) två hopningspunkter, för (3.54,3,56) fyra, (3.56, 3.57) åtta, Mönstret ed periodfördubbling upprepar sig, en detaljerna skulle kräva större upplösning.

5 F3 BE300 & 3 Page 5 of 6 Julia-ängd Newtons etod på z 3 +1 = 0. Här ska vi färglägga koplexa talplanet. O start i z ger konvergens ot -1 får z bli gul, o konvergens ot e iπ/3 blå, o ot e iπ/3 brun. Vi får = 3 3 so för stora x är en kontraktion. Vi vet att det finns en liten cirkelskiva ed rätt färg okring varje rot, en nästan varje z koer att ge konvergens ot någon rot, en annars just inget. Juliaängden är det so förblir ofärgat, efter Gaston Julia. Så här ser det ut: Igen önster so upprepas när an förstorar,

6 F3 BE300 & 3 Page 6 of 6 etc. Övning Rita grafen so hör ihop ed 1 c 1. Herons etod för kvadratrötter x n+ 1 = ( + ) x. Iterationen 1 = c + för beräkning av 1/x där c > 0. (Båda är Newton-Raphson-iterationer). Visa att 1. konvergerar för alla x 0 > 0, att x n > c och x n+1 < för n > 0.. konvergerar för alla 0 < x 0 < /c, att x n < 1/ c och x n+1 > för n > 0. EXS.15 Ö 3.19 ed felterskorrektion n