En vanlig uppgift är att bestämma max resp min för en trigonometrisk funktion och de x- värden för vilka dessa antas.

Transkript

1 Max och min för trigonometriska funktioner En vanlig uppgift är att bestämma max resp min för en trigonometrisk funktion och de x- värden för vilka dessa antas. Ta t.ex y = 12 sin(3x-90) När man ska studera en sådan funktion börjar man med att plock ut de egenskaper man kan se direkt A = 12 ; p = 360/3 = 120 ; k = 3 Samtidigt kan man beräkna fasförskjutningen v = +90/3 = +30 Dvs förskjutning 30 grader åt höger. Eftersom perioden är 120, så kommer det funktionens nollställen ligga ed avståndet 60 mellan varandra och avståndet mellan max och min är också 60 Dags att rita I figuren ser man att kurvan börjar på +30 (=fasförskjutning). Nästa nollställe = = 90 Max-värdet =12 får man när x = = 60 Resultat: kurvan har sitt största värde = 12 när x = 60 + n 120 Observera att man har ingen användning av derivatan när man beräknar max och min för trigonometriska funktioner Täby Sida 1

2 Kap 3 Studera noga repetition från Ma C på sidorna Där finns några nya regler, tex derivatan för sin och cos samt kedjeregeln. Viktigt!! Titta också på beteckningarna y = dy/dx = D f(x) y = y-prim = första derivatan y = d 2 y/dx 2 = D 2 f(x) y = y-bis = andraderivatan Derivatan av en produkt Formeln för detta tas fram på sid Härledningen inte viktig, men resultatet desto viktigare : Om y = f(x) g(x) ( dvs produkten av 2 funktioner), så är: y = f (x) g(x) + f(x) g (x) Derivatan av en kvot Om i stället funktionen är en kvot av 2 funktioner y = f ( x) g( x) f ( x) g ( x) y = 2 ( gx ( )) f( x) gx ( ), så får man derivatan av: Man ser att täljaren i uttrycket är nästan detsamma som det som finns i formeln för derivatan av en produkt, det skiljer bara på tecknet mellan termerna I produktformeln är tecknet plus(+), medan det i kvotformeln är minus(-) Formlerna kommer att finnas i formelbladet. Ta tex y = x 2 sin x Börja med att derivera den första halvan och låt den andra bar följa med, sedan tvärt om y = 2x sin x + x 2 2 x cos x Om man I stället har en kvot y = sin x får man i stället: 2 2xsin x x cos x y = 2 sin x Täby Sida 2

3 Kap 3.2 Derivator och grafer Här tog vi upp som repetition hur man arbetar för att undersöka en funktion och för att rita grafen till en funktion. Detta är alltså repetition från Ma C (med undantag för användning av andraderivatan, som behandlas sid i läroboken) Mallen för grafritning finns att hämta på hemsidan : Läs och lär in allt som står både i mallen och sid i läroboken!! Viktigt! Titta på följande exempel: I figuren ser du 3 kurvor, en x 4 -kurva, en x 3 kurva och en x 2 -kurva. Betrakta y = x 4 4x 3, du ser att den har en terrasspunkt ( i origo) och en minpunkt när x = 3 x 3 -funktionen är derivatan y = 4x 3-12 x 2. Du ser att i origo, där funktionen har terrasspunkt, har derivatan ett nollställe, som också är en dubbelrot (tangerar x-axeln) Det är typiskt för en terrasspunkt. Villkoret för en terrasspunkt är att derivatan är noll i den punkten, vilket man ser gäller här. Samma sak med minpunkten för x = 3, då har derivatan ett nollställe. Nu till finessen: Om man tittar på andraderivatan ( x 2 -funktionen) så i terrasspunkten, dvs origo så är andraderivatan = noll. I minpunkten däremot är andraderivatan =?, men man ser att andraderivatan säkert är > 0 (positiv) eftersom kurvan ligger över x-axeln Täby Sida 3

4 Sammanfattning: Om funktionens derivata har nollställe = x 1 gäller om y (x 1 ) = 0 är det en terrasspunkt, om y``( x 1 ) >0 är det en minimipunkt och om y ( x 1 ) < 0, så är det en maximipunkt. Studera noga de lösta exemplen på sid 141. Repetera också hur man beräknar tangentens ekvation i en given punkt till en given funktion. Det måste du kunna! Numerisk lösning av ekvationer. 0,7 3 +0,7-1 = 0,043> 0, ta ett mindre x = 0,6 Ta tex x 3 + x 1 = 0 En snabb titt i grafräknaren ger följande figur. Man ser att ekvationen har ett nollställe, x 0,7. Pröva genom att stoppa in i ekvationen: 0,6 3 +0,6-1 = -0,184 < =. Man inser att lösningen måste ligga mellan 0,6 0ch 0.7. Av de båda x:en, så gav 0,7 ett bättre värde ( närmare noll), så det tal vi söker borde ligga mellan 0,65 och 0,7. Pröva med x = 0,67 0, ,67-1 = -0,029237, dvs ganska nära noll, men lite för litet. Pröva x= 0,68 0, ,68-1 = -0, < 0, dvs fortfarande ett för liet x, men man vet att x ligger mellan 0,68 och 0,7 Man kan gissa ganska nära 0,68. Allt det här gör man ganska snabbt med miniräknarens hjälp. Men man inser att man kan inte hålla på så här. Ett annat bra sätt är att använda table i grafräknaren. Man gör ungefär på samma sätt: Gå in i Tblset (2nd, Window): Ställ in Tblstart 0,65 och Tbl = 0,01 Gå sedan in i Table (du måste ha funktionen liggande i y=) Du får följande: Du ser då att det växlar tecken mellan 0,68 och 0,69. Man kan också se att lösningen ligger närmare 0,68 än 0,69, vilket gör att man kan avrunda till x 0,68. Ett anat sät i grafräknare är att använda Root( eller zero) Gå till grafen, välj sedan Calc och Zero, I detta fall kan du välja Left bound = 0 och right bound = 1 och guess = 1, då får du: Du ser x= 0, ,68, dvs ditt tidigare resultat var ganska bra Täby Sida 4

5 De här metoderna bygger på att man prövar sig fram, vilket känns lite osäkert. I boken används en metod, de kallar intervallhalvering. Den påminner mycket om hur man löser problemet med table. Newton- Raphsons metod. Se sid 146. Metoden bygger på att man börjar med ett startvärde x 1 som är ett värde nära lösningen ( välj gärna ett heltal) Från startvärdet går man till kurvan och lägger in en tangent och sedan hittar man tangentens nollställe(dvs var tangenten skär x-axeln) Det bör ge ett bättre värde på lösningen till ekvationen. Sedan upprepar man förfarande ett abtal gånger, så att man till sist är framme vid lösningen. Du behöver inte kunna härleda formeln, men enkla beräkningar ger: f( x1 ) x 2 = x 1 - f ( x ) 1 Se sammanfattningen sid 146 i boken Täby Sida 5

6 Pröva metoden på den ekvation vi hade tidigare x 3 + x - 1 = 0 Du har då startvärde x 1 = 1 och f(x) = x 3 + x 1 dvs f (x) = 3x Eftersom du ska upprepa beräkningarna fler gånger använder du räknarens answer funktion (ans). Börja med att lägga in ditt startvärde: i det här fallet x = 1. Tryck 1 och sedan Enter. Då läggs talet 1 in i Ans. f( x1 ) Formeln är: x 2 = x 1 - f ( x ) 1 = x 1 (x x 1-1)/(3x ) x 1 = 1 Slå sedan in hela uttrycket ovan (längst till höger), men i stället för x 1, så använd Ans. Du får x2 = Ans (Ans 3 + Ans 1)/(3Ans 2 +1) Tryck Enter och du får x2 = 0,75. Du ska nu göra en ny beräkning med det nya svaret(0,75) liggande i Ans. Tryck 2nd, Enter(=Entry) (Andra funktionen på Enter). Du får ung följande i fönstret på räknaren: Ettan längst upp är ditt startvärde, sedan kommer formeln och x 2 och sedan formeln igen och x 3. Upprepa så många gånger det krävs, till dess x-värdet inte ändras, Du får: x 1 =1 ; x 2 = 0,75 ; x 3 = 0,68604 ; x 4 = 0, ; x 5 =0, ; x 6 = 0, Och en bild så här: Jämför med grafräknarens värde, när du använde Zero, så ser du att det är samma svar. (med alla decimalerna) Förmodligen för att räknaren använder samma metod. Lär dig metoden, lär dig hur man slår på räknaren. Observera att metoden bygger på att dels så ska ekvationen vara f(x) = 0. Det måste alltså vara noll i höger ledet. Och att man kan derivera funktionen.. Studera exemplen på sid 147. Observera att man måste redovisa följden av tal x 1, x 2, x 3 osv. samt lösningen till ekvationen. Åven formeln med insatta funktioner är viktig Täby Sida 6