MATEMATIK Datum: Tid: förmiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.

Transkript

1 MATEMATIK Datum: -- Tid: förmiddag Chalmers Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.: 7-88 Lösningar till tenta i TMV Analys och linjär algebra K/Bt/Kf, del A.. Sats. Formulera och bevisa satsen om feluppskattning för linjär approimation. Kolla boken. Kap.., Th., sid. 7. (p). Gränsvärde och kontinuitet. i) Formulera de nitionen av gränsvärde. ii) Två funktioner f och g är båda ode nierade i punkten : f() sin ep och g() ln : Bestäm om någon av dessa funktioner kan utvidgas till punkten, d.v.s. om f() eller g() kan de nieras i punkten, så att funktionen blir vänster kontinuerlig i den punkten. I fall det är möjligt ange hur man kan göra det. (p) Vi måste kolla om vänstergränsvärden nns för dessa funktioner då. I fall den nns, så kan funktionen utvidgas till den punkten och bli vänsterkontinuerlig efter utvidgningen. sin ep sin ep ep y ep (y) Instängnigssatsen (satsen om två polismämnnen) medför att sin ep ln + ( ln ()) y ( y ) y y y y (L Hopitals regel) y : Vi ck att båda funktioner har vänstergränsvärde noll i origo och kan då utvidgas till den punkten med värden f() och g() så att de båda blir vänsterkontinuerliga.. Tillämpning av derivator. Betrakta funktionen: g() jj ep( ) Bestäm punkter där funktionen inte är kontinuerlig, singulära punkter, lokala etrempunkter, absolut maimum och absolut minimum om de nns. (p) Bestäm de intervall där funktionen är väande, avtagande, böjningspunkter (in ection points), och de intervall där funktionen är konkav uppåt och konkav neråt. Rita en skiss av grafen till funktionen. (p) Funktionen g är jämn: g() g( ). Det gör att för mest av egenskaper räcker det att undersöka den bara för. Alla strukturer för < blir spegelbild av de för. dg d d d ep( ) e e e for > dg d d ep( ) e e e for < d

2 Vi observerar att vänsterderivata i origo är är kontinuerlig i origo eftersom + g() punkt. Kritiska punkter är p och p. och högerderivata i origo är. Funktionen g(). Men derivatan saknas och origo är en singulär Andra derivata saknas i origo, eftersom första derivatan saknas. d g d d g d d d ( ep( )) e e e ( ) för > : d d ( ep( )) e + e e ( + ) för < : Nollpunkter för andra derivatan d g är böjningspunkter (in ection points), där grafen till d funktionen ändras från konkav till conve eller tvärtom. Det är punkter och för g -funktionen. Funktionen har två lokala mapunkter i och. Och en lokal minpunkt i origo. Det följer från första derivatans test eftersom derivatan byter tecken från plus till minus i och och byter tecken från minus till plus i origo. g() och g() eftersom ep funktionen går mot noll snabbare än vilken som helst polynom. Man kan visa det med hjälp av LHopitals regel för kvoten för > : ep( ) ep( ). Fallet < visas likadant eller kan använda ep( ) funktionens symmetri. Funktionen antar ett globalt maimum p ep( ) i punkterna ; p och har ett globalt minimum i origo lika med noll. Grafen till funktionen är konkav uppåt för konkav neråt för, ; ; ; :Skiss av grafen:, ;. Den är y Linjär approimation. Betrakta funktionen f() arcsin() och dess linjär approimation kring a för : Uppskatta feltermen för den approimationen och ange intervallet där värdet arcsin() måste ligga enligt dessa uppskattningar. (p) Allmänna formler som användes här är:

3 L() f(a) + f (a)( a); E() f() L() f (s)( a) ( a) min (f (s)) E() ( s[;a] a ; ( a). f () d (arcsin()) p d ; d a) ma s[;a] (f (s)) (arcsin()) ( ) d f () är en väande funktion på intervallet [; a]. Det gör att ma (f (s)) f (a) s[;a] och f () f (a). Detta medför att L() f() L() + ( f(a) ; f (a) p : ; a) f (a) f (a) ; L() ; tan(). Gränsvärden. Beräkna gränsvärdet: sin() tan() sin() (p) Kan lösas med l Hopital metod eller med Taylorutveckling. Visar lösning med l Hopital och produktregeln. tan() cos () cos () cos () sin() cos() cos () ( cos()) ( cos()) ( + cos()). Geometri i rummet. Bestäm skärningspunkten av en linje och ett plan. Linjen är given av ekvationerna y + z. Planet är given av ekvationen + y + z. (p) Svar. (,-,) Vi skriver linjen på parametrisk form och söker "tiden" vid vilkn linjen trä ar planet. Sedan sätter tidens värde i ekvationen för linjen och får punktens koordinater. Fördelen med den metoden att man löser bara en skalär ekvation istället för system av tre ekvationer för,y,z koordinater.

4 Linjen har parametrisk ekvation + t; y t; z t eller t "tiden" t. y z :Vi sätter uttryck för,y,z i planets ekvation och får en skalär ekvation för ( + t) + ( t) + t t :Ekvationen ger "trä tiden" t och efter insättning i linjensekvation - svaret till problemet: ; y ; z. 7. Geometri i rummet. Bestäm kortaste avståndet mellan linjer med ekvationer: + y + z och t + ; y t; z t +. (p) Allmän formel för avståndet för två linjer med vektorekvationer r P + t V och r Q + t V är: V P V Q A V V För givna linjer V V V P Q V P V Q ; V A j( V V )( P Q)j j( V 7: V )j 8 8 ; ; P ; ; Q V V p Vektorer. Bestäm endpunkterna A, B av en sträcka AB sådan att punkterna C (; ; ) och D (; ; ) delar AB i tre lika långa sträckor (p) +

5 Punkterna A; C; D; B ligger längs samma sträcka och avståndet mellan AC, CD och DB är samma. Det gör att vektorer AC, CD och DB är likadana vektorer: AC CD DB D C Detta medför att A C A AC och B D + CD ; B + Tips: Börja lösa uppgifter från den som verkar vara lättats, ta sedan den som känns vara näst lättast o.s.v. Mapoäng: ; : ; : ; : 8