Satser om gränsvärden med bevis som saknas

Transkript

1 Satser om gränsvärden med bevis som saknas i Adams. Struktur av alla bevis här är likadan. Varje bevis består av tre steg. Först formulerar vi om villkor i satsen i termer av olikheter som måste gälla. Sedan formulerar vi om slutsatser också med hjälp av olikheter. Efter detta försöker vi transformera slutsatser som vi vill bevisa så, att efter transformationer blir det lätt att observera att de verkligen följer från givna villkor. Vi markerar meningen som vi vill bevisa med och slutet av varje bevis med : Sats om uppskattning för en funktion som har gränsvärde (Ex. 32, Section.5). Om lim = M så nns M > 0 sådant att för 0 < jx aj < M =) jj < + jmj. Man kan formulera om satsen lite informelt bara med ord. Om en funktion har ett gränsvärde M när argumentet x går mot talet a, måste funktionens absolut belopp bli mindre än absolut belopp av gränsvärdet plus ett (eller vilket som helst annat positivt tal) när agumentets värde blir tillräckligt nära a.. Vi skriver ner först de nitionen på gränsvärde och förklarar vad villkor i satsen betyder. Vi uttrycker vad detta betyder, att gränsvärdet lim = M existerar: För varje " > 0 nns ett " > 0 sådant att för 0 < jx aj < " =) j Mj < ". Eller med kortare beteckningar: 8" > 0 9 " > 0: för 0 < jx aj < " =) j Mj < ": Nu välj " =. Då nns > 0 sådant att för 0 < jx aj < =) j Mj <. Detta betyter att avståndet mellan talen och M på reella linjen är mindre än och medför att jj jmj < och slutligen jj < + jmj.

2 2 Produktregeln för gränsvärden. Om lim f(x) = L och lim = M, så nns gränsvärde lim [f(x)] och [f(x)] = LM: lim Vi förklarar först villkor i satsen: vad betyder att gränsvärden lim f(x) = L och lim = M existerar: För varje " > 0 nns ett " > 0 sådant att för 0 < jx aj < " =) jf(x) Lj < ". För varje " 2 > 0 nns ett "2 > 0 sådant att för 0 < jx aj < "2 =) j Mj < " 2. Vi vill bevisa att lim [f(x)] = LM. Det betyder att vi vill bevisa följande: För varje " > 0 nns ett " > 0 sådant att för 0 < jx aj < " =) jf(x) LMj < ". För varje " > 0 vill vi hitta ett " > 0 sådant att för 0 < jx aj < " =) jf(x) LMj < ": Vi betraktar jf(x) LMj - skillnaden mellan f(x) och LM och försöker hitta en begränsning för jx aj som garanterar att den blir godtyckligt liten. Vi adderar till f(x) LM ett uttryck lika med noll: L + L och använder egenskaper hos absolut belopp: ja + bj jaj + jbj och jabj = jaj jbj. Detta leder till följande uppskattningar: jf(x) LM j = jf(x) L + L LM j jf(x) Lj + jl LMj = jj jf(x) Lj + jlj j Mj och låter oss använda olikheter jf(x) Lj < " och j Mj < " 2 med godtykligt små " och " 2 : Vi kommer också att använda olikheten jj < + jmj från föregående sats som gäller för 0 < jx aj < M : För att ha alla tre olikheterna samtidigt måste vi ha samtidigt 0 < jx aj < M ; 0 < jx aj < ", 0 < jx aj < "2. För att garantera detta väljer vi ett min = min f M ; " ; "2 g. Om 0 < jx aj < min gäller jf(x) Lj < " och j Mj < " 2 med godtyckligt små " och " 2 och jj < + jmj samtidigt. Vi analyserar olikheten som vi ck tidigare: jf(x) LMj jj jf(x) Lj + jlj j Mj 2

3 och vill välja " och " 2 så att varje av termerna i höger blir mindre än "=2. Detta skylle medföra jf(x) LMj " och beviset blir klart. Vi visar nu hur man gör detta. Betrakta olikheten jf(x) LMj ( + jmj) " + jlj " 2 som följer från uppskattningar jj < +jmj ; jf(x) Lj < " och j Mj < " 2. Observera att om vi väljer " < ("=2) = ( + jmj) och " 2 < ("=2) = ( + jlj), blir varje term i högerledet av sista uppskattningen mindre än "=2 exakt som vi ville och beviset blir klart. 3 Exercise.5.34 An undergräns för en funktion som har ett gränsvärde skild från noll. Om lim = M, med M 6= 0; måste nns ett tal > 0 sådant att för 0 < jx aj < =) jj > jmj =2. Vi börjar med att formulera om villkor här med hjälp av olikheter. lim = M betyder att för varje " 0 > 0 nns ett "0 > 0 sådant att för 0 < jx aj < "0 =) j Mj < " 0. Välj " 0 < jmj =2 och motsvarande M=2 observera att detta medför att j Mj < jmj =2. Sista olikheten medför att jmj jj < jmj =2 och efter att ytta till höger och jmj =2 till vänster av olikheten får vi att jj > jmj =2: Detta gäller för 0 < jx aj < med = M=2 : 3

4 4 Reciprokregeln för gränsvärden. (Ex..5.35) Om lim = M, med M 6= 0; så existerar lim (=) och lim =. M Vi börjar med att formulera om villkor här med hjälp av olikheter. lim = M betyder att för varje " 0 > 0 nns ett "0 > 0 sådant att för 0 < jx aj < "0 =) j Mj < " 0. Vi vill visa att M kan göras hur liten som helst, t.ex. M < " med att välja " > 0 så att M < " gäller för alla x på avståndet mindre än " från a (exklusive själva punkten a) 0 < jx aj < " : Vi transformerar uttrycket M : M = M M = M jm j Enligt föregående resultat från Ex kan en M=2 > 0 väljas så att för 0 < jx aj < M=2 =) jj > jmj =2 och då < 2 M. Detta medför att M < 2 M 2 jm j Nu måste vi välja " > 0 så att jm j <" och beviset blir M klart. För att garantera detta väljer vi " 0 ovan i de nitionen för gränsvärde så att 2 M 2 "0 < " eller " 0 < "M 2 =2. Vi kan alltid göra detta eftersom " 0 kan göras hur litet som helst enligt de nitionen av gränsvärde för g. 5 Kvotregeln för gränsvärden. Om lim f(x) = L och lim = M, och M 6= 0 så nns gränsvärde lim [f(x)=] och lim [f(x)=] = L=M:. Vi kunde genomföra bevis med att kombinera ideer från bevis till produktregeln och till reciprokregeln men vi kan nu bara använda dessa två regler för att bevisa kvotregeln. 4

5 Gränsvärde lim [f(x)=] = lim enligt produktregeln. h i lim L M = L=M: = M h f(x) i = lim [f(x)] lim h enligt reciprokregeln:detta medför att lim [f(x)=] = i 5