2 Matematisk grammatik

Transkript

1 MATEMATISK GRAMMATIK Matematisk grammatik.1 Skriva matematik Matematisk grammatik, minst lika kul som det låter, och hur man skriver matematik är nästan lika viktigt som vad man skriver. En grammatisk regel bör nämnas. Regel 1. Skriv matematik som om det vore vanlig text. Punkt skall följa efter ett matematiskt uttryck om ny mening börjar direkt efter, komma om situationen så kräver. Viktiga uttryck och formler får en egen rad. Exempel 1. Om + = 4 och + 4 = 6 blir givetvis 6 =. Alla begriper ju att det blir fel annars. När man till exempel ska förtydliga något i vanlig text, lägger man in ett ord/en mening som en bisats. Detsamma gäller för matematiska uttryck. Jämför strukturerna i exemplet nedan. Exempel. Donners bästa lärare, Olle the Greatest, hatar kaffe. Newton härledde Newtons gravitationslag, F = G Mm r ˆr, vilket är den mest sannolika orsaken till att den bär hans namn. Oändliga decimaltal kan man av utrymmesskäl inte skriva ut. Att de fortsätter illustreras med tre punkter. En talföljd som antingen är oändlig eller har många element vilka inte är praktiska att skriva ut men som följer ett tydligt mönster, t.ex. geometriska eller aritmetiska talföljder, illustreras på samma sätt. Exempel = 0, Till skillnad från 0, Exempel 4. Heltalen, N = {1,, 3, 4,...}, är uppräkneligt oändliga till antalet. Exempel 5. De hundra första talen, {1,,..., 99, 100}, är 100 till antalet. 5

2 . Läsa matematik MATEMATISK GRAMMATIK. Läsa matematik Att skriva är en sak, men att kunna läsa matematik kan vara en konst i sig. Matematiska begrepp har ofta vardagliga motsvarigheter, så att man kan ha en känsla för vad man menar, men det räcker inte för att få en strikt och korrekt bild av vad det handlar om. Om något är kontinuerligt kan man tänka sig vad som menas, även om man pratar om matematiska funktioner. Man kan tänka sig att grafen till funktionen inte har några hack, avbrott eller liknande. Men det är ingen strikt definition. Istället formulerar man sig t.ex. enligt följande. Definition.1 (Kontinuerlig funktion). f(x) är kontinuerlig, om dvs lim f(x) = f(a) x a ε > 0 δ > 0 sådant att f(x) f(a) < ε då x a < δ. Vi kan försöka uttyda vad som står i den. Första formuleringen är [förhoppningsvis] bekant till viss del, då ju limesbegreppet introducerades redan på C-kursen. Vi vill alltså att funktionens värde när x närmar sig a, skall närma sig f(a). Detta utesluter hack i grafen, eftersom vi ju inte har specificerat talet a, utan det ska gälla för alla reella tal a. Den andra formuleringen kan vi uttyda bit för bit. ε > 0 för varje epsilon, större än noll Vi väljer ett tal, helt godtyckligt och så litet vi vill, bara det inte är noll. Vi kallar detta talet ε. δ > 0 finns [minst ett] delta, större än noll Oavsett hur vi väljer vårt epsilon, så kommer det att finnas ett tal som vi kallar delta, som också är större än noll (även om det kan vara hysteriskt litet) som uppfyller vissa kriterier, vilka är sådant att f(x) f(a) < ε då x a < δ. sådant att avståndet mellan funktionsvärdet för a och funktionsvärdet för varje tal x, som ligger närmre a [på x-axeln] än δ, är mindre än ε. Om vi väljer ett epsilon som är förbaskat litet, finns det trots allt ett delta, som är litet, större eller mindre än epsilon är det ingen som vet, men om x och a ligger närmre varandra än detta delta, kommer f(x) och f(a) att ligga närmre varandra än epsilon. Man kan illustrera detta med en liten figur. 6

3 MATEMATISK GRAMMATIK. Läsa matematik { f(a) ε > f(x) xa <δ Figur 1: Funktionen f(x), med f(x) f(a) < ε och x a < δ Vi har nu valt ett ε så att f(x) och f(a) ligger närmre varandra på y-axeln än ε, men fortfarande åtskilda, dvs att f(x) f(a) < ε. Då måste ju x och a vara åtskilda, för om de inte vore det, skulle vi ha två y-värden till samma x-värde, och då är inte f(x) en funktion. Alltså måste det finnas ett δ som uppfyller olikheten x a < δ. Ett exempel på detta i praktiken kommer här. Exempel 6. Visa att lim x = 0. x 0 Tag ε > 0. För x > 0 har vi att x 0 = x = 1 x < ε, om vi ser till att välja ε > x. Om vi då låter δ = ε, så medför x 0 = x < δ att x 0 < ε. Alltså är lim x 0 x = 0. Det vi nu visade var i princip alltså att funktionen f(x) = x är kontinuerlig i punkten x = 0. En funktion är ju definierad att ge ett enda y-värde för varje instoppat x-värde 7

4 3 MATEMATIKENS STRUKTUR 3 Axiom, logik och bevis 3.1 Axiom Matematiken består av ett enormt antal satser eller teorem, vilka med logiska slutledningar kunnat bevisas vara sanna, samt ett antal definitioner. Men för att detta ska fungera tillfredsställande 3, måste man utgå ifrån något, något som kan anses vara sant, men vars sanningsvärde inte går att bevisa. Sådana påståenden kallas axiom, och den moderna matematiken 4 har 5 sådana vilka är uppkallade efter en 1800-talsmatematiker. Förenklat kan man formulera dem enligt nedan: Peanos axiom 1. 1 är ett heltal. Till varje heltal hör ett unikt heltal, som kallas efterföljare 3. 1 är inte efterföljare till något heltal 4. Olika heltal har olika efterföljare 5. Om A är en mängd 5 heltal, 1 tillhör A, och om det medför att efterföljaren till p tillhör A förutsatt att p gör det, så innehåller A alla heltal. Det är lättare 6 att uttrycka dessa axiom på matematiska: Peanos axiom N. p N, p N 3. p N, 1 p 4. n, m N, n m, n m 5. Om A N, 1 A, och om p A p A, då ära = N Dessa axiom utgår man alltså ifrån, och konstruerar sedan alla tal, binära operationer (de fyra räknesätten) och algebraiska räkneregler, t.ex. distributiva lagen [a(b + c) = ab + ac]. 3 För att undvika hönan eller ägget 4 Geometrin har egna axiom som kan härledas till Euklides 5 Se avsnitt 4 [Abstrakt algebra] 6 Snyggare, alltså 7 Axiom 5 kallas induktionsaxiomet, se kap

5 3 MATEMATIKENS STRUKTUR 3. Logik 3. Logik En matematisk sats [ett teorem] är antingen på formen eller där både p och q har värdet sant Implikation Om vi låter p q p q, p : det regnar q : det finns moln på himlen så motsvaras påståendet om det regnar, så finns det moln på himlen av den logiska implikationen p q. Om p är sann, dvs om det regnar, så är q sann. (om inte mina meteorologikunskaper är skeva) Dock kan q vara sann utan att p är det, det kan finnas moln på himlen utan att det regnar. Man säger att p implicerar q eller p medför q. 3.. Ekvivalens Om vi låter p : det är den första januari q : det är nyårsdagen så motsvaras påståendet det är den första januari om och endast om det är nyårsdagen av den logiska ekvivalensen p q. Om p är sann, dvs om det är den första januari, så är q sann. Men också om q är sann, dvs om det är nyårsdagen, är p sann. Man säger att p är ekvivalent med q. Fundera över formuleringen, man kan dela upp påståendet: om det är nyårsdagen, så är det den första januari och endast om det är nyårsdagen, så är det den första januari. Det rör sig egentligen om två implikationer, p q p q, och när man bevisar en ekvivalens måste man bevisa båda implikationerna, var och en för sig. 9

6 3. Logik 3 MATEMATIKENS STRUKTUR Det är inte alltid tydligt att en matematisk sats är på den ena eller andra formen, så för att hjälpa sig själv kan man formulera om den, även om man inte ska blanda ord och matematiska uttryck. Exempel 7. Sats 3.1. En konstant funktion har derivatan noll Implikation eller ekvivalens? Ja vi säger ju ingenting om vad som kan tänkas hända för andra funktioner än konstanta. Det kan alltså existera icke-konstanta funktioner med derivatan noll. Men om en funktion är konstant, vet vi att derivatan är noll. Vi har en implikation, konstant funktion derivatan noll Övning Formulera nedanstående teorem som en implikation eller ekvivalens. Notera att du inte behöver veta vad teoremet innebär för att kunna göra detta. Formulera dem i termer om p och q, och definiera p respektive q vid sidan om. 1. d dx f(g(x)) = f (g(x))g (x). Varje kompakt mängd har en ändlig öppen övertäckning. 3. För en rätvinklig triangel gäller att, om a och b är kateter och c är hypotenusan, a + b = c, och omvänt. 4. Man kan inte, med penna, passare och ograderad linjal som enda hjälpmedel, till en cirkel med given area konstruera en kvadrat med samma area. 5. R är tät. 10

7 3 MATEMATIKENS STRUKTUR 3.3 Bevis 3.3 Bevis En sats kan ofta bevisas på olika sätt, och vissa satser kan vara omöjliga att bevisa på ena sättet, men busenkelt på det andra. Jag ska ge exempel på tre olika varianter Slutledningsbevis (modus ponens) Jag ska bevisa sats 3.1. Med slutledningsbevis menar jag att vi utgår ifrån det som vi kunde identifiera som vänsterledet i implikationen, dvs vi börjar med en konstant funktion och sedan kommer fram till slutsatsen att högerledet är sant. Observera att vi inte får ta någon specifik funktion, utan en helt godtycklig, konstant funktion f(x) = k. Bevis av sats 3.1 Låt f(x) = k = k 1. 1 = x 0, så f(x) = k x 0. Deriveringsregeln för polynom ( d dx kxn = nkx n 1 ) ger oss att f (x) = 0 kx 1 = 0 Övning Utgå från derivatans definition och 1. bevisa kedjeregeln. bevisa produktregeln f f(x + h) f(x) (x) = lim, h 0 h d dx f(g(x)) = f (g(x))g (x). d dx f(x)g(x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) Motsägelsebevis (modus tollens) Ibland kan det vara fördel att utgå från högerledet i implikationen, i sats 3.1 handlar det om att derivatan är noll. Man antar helt sonika att högerledet är falskt, dvs att derivatan inte är noll, och försöker komma fram till att funktionen man har deriverat inte kan vara konstant. Förvissa dig om att detta faktiskt innebär att satsen är sann. Sats 3.1 var väldigt enkel att bevisa, som synes här ovan. Ett motsägelsebevis hade varit jobbigare, eftersom det finns oändligt många derivator som inte är noll, och vi måste visa att var och en av dem inte kommer från en konstant funktion. Jag ska bevisa en annan sats istället, för att demonstrera tillvägagångssättet. 11

8 3.3 Bevis 3 MATEMATIKENS STRUKTUR Sats 3.. / Q. även och Detta är en implikation, löst omformulerad kan man skriva ett tal x är lika med x kan inte skrivas som ett bråk av två heltal, roten ur två är irrationell x = x a b, a, b Z är trevliga formuleringar. 8 Vi ser hur kraftfullt det är med matematiskt språk. Låt oss nu bevisa satsen 3.. Bevis av sats 3. Antag att Q, dvs att roten ur två är rationellt, dvs att det finns ett tal x Q, sådant att x =. Då kan vi skriva x = a b, där a och b inte har några gemensamma faktorer (bråket är förkortat så långt det går). Då är x = = a b, dvs b = a. Eftersom vänsterledet nu är delbart med, är även högerledet det. Men om a är delbar med måste även a vara det 9 vilket medför att vi kan skriva a = c och a = (c) = 4c. Vi har alltså att vilket kan förkortas till b = 4c, b = c. Detta medför att även b är delbart med enligt nyss förda resonemang, och kan således skrivas b = d. Men a och b hade inga gemensamma faktorer enligt antagandet. Vi har nått en motsägelse, vilket medför att antagandet [roten ur två går att skriva som ett bråk, dvs x Q : x = ] måste vara falskt. Det finns inget sådant tal x, och satsen är bevisad Induktionsbevis I vissa lägen kan man få användning av Peanos femte axiom (se kap. 3.1), det så kallade induktionsaxiomet. Jag ska bevisa att n = n(n + 1). (3.1) 8 Denna sats tillskrivs Pythagoras, även om han säkert formulerade den annorlunda 9 Det finns en sats som säger detta 1

9 3 MATEMATIKENS STRUKTUR 3.3 Bevis Vi har en formel som påstås gälla för alla tal, här sägs det att vi kan beräkna summan av alla naturliga tal från 1 till vilket som helst tal n bara genom att använda formeln i högerledet i (3.1). Induktionsaxiomet säger att om vi kan visa att formeln gäller för n = 1 [eller något annat tal n = b], samt om vi genom att anta att den gäller för något tal n vilket som helst, kan visa att den då gäller även för n + 1, den också gäller för alla n N [eller alla tal n b]. Förvissa dig om att detta är sant. Bevis av (3.1) Låt n = 1. Summan av alla tal från 1 till n när n = 1 är ju 1. Vi kollar att formeln ger detta: 1(1 + 1) = = 1. Antag nu att formeln gäller för ett tal n. Då har vi att n = n(n + 1). Om vi nu lägger till n + 1 till vänsterledet, borde vi [om formeln stämmer] få n + (n + 1) = (n + 1)((n + 1) + 1) Vi adderar (n + 1) till båda leden i (3.1) och förenklar högerledet n + (n + 1) = H.L = = n + n n(n + 1) + n + + (n + 1) = n(n + 1) n(n + 1) = n + n + n + Men (n + 1)(n + ) = n + 3n +, så då kan vi skriva n + 3n + = (n + 1)(n + ) = + = (n + 1)(n + ). + (n + 1), (n + 1) = = n + 3n +. (n + 1)((n + 1) + 1) och vi har visat att formeln gäller för n + 1, givet att den gäller för n. Eftersom den gäller för n = 1, gäller den för alla heltal. Denna formel kom den tyske matematikern Karl Friedrich Gauss på när han 10 år gammal av en trött lärare fick i uppgift att summera talen från 1 till 100. Läraren trodde nog han skulle få en bra stunds lugn och ro, men Gauss blev klar på ett par minuter genom att se ett mönster och konstruera denna formel. 13

10 3.3 Bevis 3 MATEMATIKENS STRUKTUR Övning 1. Bevisa med induktion att d dx xn = nx n 1 (du får använda andra kända deriveringsregler).. Ett triangeltal är ett tal som kan bilda en triangel, t.ex. talet 6, eftersom man kan placera 6 stycken stenkulor i triangelform, en i toppen, två under och tre längst ned. 6 är det tredje triangeltalet. Konstruera en formel för det n : te triangeltalet, och bevisa den med induktion. 3. Visa med induktion att n N. n m m = (n 1) n+1 + m=0 4. Visa, med ett induktivt resonemang 10, att om 0 < a 0 < 1, och a n+1 ges rekursivt av formeln a n+1 = a n a n n N. (Tips: kvadratkomplettera högerledet i for- så är 0 < a n < 1 meln) 5. Bevisa med induktion att n N. n m=1 m = n3 + 3n + n 6 10 Du kanske inte kan räkna som i de andra uppgifterna 14