Lösningsförslag till problem från Sonja-Kovalevsky-dagarna 2006, Göteborg
|
|
- Niklas Ek
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Lösningsförslag till problem från Sonja-Kovalevsky-dagarna 2006, Göteborg Jag vill först och främst uppmana läsaren att ha papper och penna till hands och aktivt sätta sig in i lösningarna, och själv fylla i detaljer som fattas. Dessutom kan det förekomma ord som vissa läsare kanske inte är bekanta med. I dessa fall rör det sig oftast inte om några komplicerade begrepp, och läsaren hänvisas att söka upp innebörden på eller Ord som kan vara värda att slå upp kommer att markeras med fet stil. Jag vill också nämna att när man möter ett matematiskt problem av en typ man inte har stött på tidigare förundras man ofta över hur någon har lyckats lösa det. Man blir också ofta förvånad över hur mycket bättre man blir på problemlösning då ens erfarenhet växer, och saker som förut verkade omöjliga plötsligt kan te sig väldigt naturligt. Det är denna känsla som gör matematik värd att syssla med, så ha alltid tålamod, problemlösning är en övningssak. Slutligen bör det påpekas att svårighetsgraden på ett problem är väldigt individuell och även svårbedömd. Vissa uppgifter visade sig vara svårare än väntat. Problem 1. Det vänstra ledet (V.L.) är en produkt av två faktorer som är summor av era termer. För att beräkna denna produkt kan man använda sig av den distributiva lagen (the distributive law). Denna lag använder alla antingen medvetet eller omedvetet väldigt ofta. I detta fall använder man sig av den upprepade gånger. Om N > 1 blir resultatet att V.L. innehåller alla termer som förekommer i H.L. och dessutom er termer som alla är positiva. Alltså är V.L. strikt större än H.L. i alla fall förutom N = 1 då V.L. = H.L. = 1. Svar: N = 1. Problem 2. Jag ber om ursäkt att gur saknas, men jag ger här instruktioner för hur guren ska ritas, vilket förhoppningsvis är en bra övning. Då däcket rullas runt de sju däcken kommer det att passera vissa nyckelpositioner. Dels kommer den vara i en sådana positioner att det tangerar två av däcken, och dels i positioner där dess medel punkt ligger på en linje som även passerar genom medelpunkterna till tre andra däck. Rita själv en gur för att se var dessa positioner är. Strategin är att bestämma hur mycket däcket roterar då det passerar från en position av den första typen till nästa position av den andra typen. Den totala rotationen kommer då att erhållas genom att multiplicera med 12, som är antalet föryttningar av denna typ. Vi väljer t.ex. att studera vad som händer då däcket yttas från att vara rakt under de sju däcken till tangera det understa (låt det kallas A) samt däcket strax till höger om 1
2 det understa (B). Låt också det mittersta däcket kallas M. Man kan fylla på guren med cirklar så att det understa däcket benner sig i mitten av en hexagon. Föryttningen är alltså identisk med att rulla A så att den fullständigt överlappar B. Den strecka på M som berörs av A under processen måste vara lika lång som streckan på A som berörs av M om man antar att däcken inte glider mot varandra. Vi betecknar tangeringspunkten mellan två cirklar med (,). Eftersom avståndet mellan alla tangeringspunkter är samma kommer (A,B) att föryttas till (B,M). Rita nu en pil från A:s medelpunkt till (A,B) och en från B:s medelpunkt till (B,M). Genom att även rita den liksidiga triangeln genom med hörn i de tre cirklarnas medelpunkter kan man inse att vinkeln mellan pilarna är 120 grader. Genom att rita alla positioner ser man att det är 12 föryttningar som skall göras. Alltså vrids cirkeln 4 varv kring sin egen axel. 1 Svar: 4 varv Problem 3. För alla heltal n gäller att n 3 n = n(n 2 1) = n(n + 1)(n 1). Detta är alltså en produkt av tre på varandra följande tal. Varje tal har rest 0,1 eller 2 vid division med tre. Tal som har dessa rester kan alltid skrivas som 3k, 3k + 1 respektive 3k + 2. Oavsett på vilken form talet n är så visar en enkel kontroll att ett av de tre talen har rest 0 (dvs är delbart med 3). Detta visar att produkten av 3 konsekutiva heltal är delbar med tre. Ur samma resonemang tillämpat på division med 2 ger att produkten av två konsekutiva tal är delbar med 2. n 3 n är delbart med 2 och 3, alltså även med 6, eftersom 2 och 3 är relativt prima (relatively prime). Problem 4. Låt snigeln börja i punkt B och sluta i punkt S. Om den någon gång kommer till en punkt P som ligger strikt i tredje kvadranten så blir den bästa resan att först åka raka vägen till P och sedan raka vägen till S, vilket beror på att den kortaste streckan mellan två punkter är en rät linje. Detta är dock inte optimalt, för i så fall hade det varit bättre att åka genom origo, vilket lämnas åt läsaren att kontrollera. Om snigeln någon gång når en punkt Q strikt i den första kvadranten så måste den någon gång anlänt till denna kvadrant och någon gång måste den lämna den. Det är klart att den måste ha anlänt vid x-axeln, för hade den kommit in från y-axeln så hade det inte varit någon mening att ta sig in i den första, för då hade den kunnat krypa raka vägen till S. Det är inte heller någon bra idé att lämna den första kvadranten vid x-axeln, ty det hade gått snabbare att förytta sig bara längst med x-axeln. Alltså har den föryttat sig längst en rak sträcka från en punkt på x-axeln till en punkt på y-axeln. Denna strecka är hypotenusan i en rätvinklig triangel med sitt tredje hörn i origo. Låt sidorna vara a,b och c. Tiden det tar att gå längst med hypotenusan är 2c. Går man istället längst med de två kateterna blir tiden a + b. Eftersom hypotenusan alltid är den längsta sidan får vi 2c > a + b. Det går alltså snabbare att gå längst axlarna. Detta betyder att vi måste gå igenom origo, men eftersom vi tar oss från B till origo (O) och sedan till S går det snabbast går längst de raka sträckorna BO och OS. Man kan emellertid intuitivt dra slutsatsen att det är optimalt att gå genom origo. Hade man spännt en tråd mellan de start- och slutpunkt hade den med säkerhet dragits mot hörnet. Svar: Det tar ( )/2 tidsenheter 1 Ett vanligt svar är 2 varv, men det är bara beröringsstreckan som mostsvarar två varv. 2
3 Problem 5. Vi använder oss av reductio ad absurdum, dvs motsägelsebevis. Antag att alla barn får olika belopp. Ordna dem därefter i storleksordning. Om det första talet är n så är nästa tal minst n+1. Det tredje talet är större än det andra. Alltså är det större än n+2. Och så vidare. Det sista talet är alltså minst n+6. Summan av dessa 7 tal är minst 7n > 20. Detta är vår motsägelse och beviset är därför klart. Problem 6. I denna uppgift glömde vi att nämna att a och b är heltal. Metoden är helt rakt på sak. Vi skriver allt vi vet, och det vi inte vet sätter vi nya variabelnamn på: Vi vet: a + kb = n 2 (1) Vi vill ha: a + lb = m 2 (2) Genom att subtrahera (1) från (2) får vi (l k)b = m 2 n 2 = (m + n)(m n) (3) Om vi kan välja m och l som satiserar denna ekvation, så får vi (2) genom att `gå tillbaka', dvs att addera (1) till (3). Detta kan vi göra t.ex. genom att se till att m n = b och därefter l k = m + n. Dvs. m = n + b och l = k + m + n, vilket är i sin ordning. Vi har nu fått fram en ny kvadrat ur följden och genom att upprepa detta oändligt många gånger får vi en oändlig följd av kvadrater. Dessa är distinkta eftersom det är klart att l > k, vilket medför att varje kvadrat är strikt större än den föregående. Problem 7. Vi gör ytterligare ett motsägelsebevis genom att anta att den liksidiga n- hörningen inte har maximal area, dvs. att en icke-liksidig n-hörning har större area. Vi utgår ifrån att det nns en n-hörning med maximal 2 area, och vi ska nu härleda en motsägelse genom att modiera den lite så att vi får en ännu större area, vilket är omöjligt eftersom inget kan vara större än maximum. Eftersom n-hörningen inte är liksidig nns det en punkt som inte ligger precis i mitten av sina grannar (vinkelmässigt). Denna punkt tillsammans med sina grannar bildar en triangel. Genom att rita denna gur ser man att genom att ytta punkten så att den faktiskt hamnar precis i mitten av sina grannar så ändras bara triangeln och ingen annan del av n-hörningen. Arean av triangeln är halva basen multiplicerad med höjden. Det är bara höjden som ändras, och denna är som störst då punkten är i mitten av grannarna. Om inte detta känns helt självklart, så blir det kanske tydligare om man roterar guren (vilket inte påverkar arean) så att de två grannpunkterna är på samma höjd. Då ser man att den mittersta punkten hamnar högst då den är centrerad. 3 2 Det nns mängder som saknar ett maximalt element. T.ex. mängden av alla negativa tal. I detta fall nns dock en n-hörning med maximal area. Beviset en kombination av följande fakta: Kontinuerliga funktioner på kompakta (compact) mängder antar sitt maximala värde i någon punkt. Cirkeln är kompakt. En kartesisk produkt (cartesian product) av mängder är kompakt på grund av Tychono's sats. Arean är en funktion på den kartesiska produkten av n cirklar. Dessa begrepp ingår i en typisk kurs i topologi som brukar ges i tredje eller fjärde året av en utbildning i matematik. 3 Det är ganska anmärkningsvärt att vi tack vare motsägelsebeviset slapp jämföra en godtycklig ickeliksidig n-hörning med den liksidiga. Detta hade varit mycket mer komplicerat eftersom vi hade haft ett optimeringsproblem i n variabler. Nu klarade vi oss med att jämföra med en 'lite mer` liksidig n-hörning, vilket var ett optimeringsproblem i en variabel (t.ex. höjden). 3
4 Problem 8. Vi börjar med ett induktionsbevis. Fallet n = 1 är uppenbart. Vi antar att ekvationen gäller för n = k och ska vi ska visa att den även gäller för n = k + 1. Vi utgår ifrån V.L: 1 1! + 2 2! + + (n + 1) (n + 1)! = = [1 1! + 2 2! + + n n!] + (n + 1) (n + 1)! = = (n + 1)! 1 + (n + 1) (n + 1)! = = (n + 2) (n + 1)! 1 = = (n + 2)! 1 Vilket avslutar induktionen, eftersom dettar är H.L. Man kan också bevisa påståendet genom att observera att det är en teleskoperande serie eftersom k k! = (k + 1)! k!. Då följer det direkt. Problem 9. Varje ordkombination slutar på bokstaven Y. Vi börjar med att räkna antalet kombinationer där KOVALEVSKY bara ligger i den högra delen av guren. Den andra bokstaven från slutet kan antingen vara ovanför eller till höger om Y. Allmänt gäller att varje bokstav kan vara till ovanför eller till höger om den föregående, och båda alternativ är möjliga oberoende av hur de tidigare bokstäverna är kongurerade. Y är x, men för de övriga kan alltså nnas på två olika sätt. Alltså nns det 2 9 möjligheter. Om vi multiplicerar detta med 2 så får det totala antalet kombinationer. Men nu har jag gjort fel! Jag har räknat den lodräta KOVALEVSKY två gånger. Alltså är svaret... Svar: Problem 10. Efter en enkel omskrivning får vi (x + 1) y = 2x. Vi skiljer på tre fall: 1. x = 0: Detta medför y = 0 2. x > 0: Om y 2 blir V.L. för stort, så den den enda möjligheten är y = 1, vilket ger x = x < 0: Vi kan utesluta att y är 0, 1, eller 2, genom att stoppa in dessa värden och se vad x blir. y kan inte heller vara negativt, för då måste x + 1 vara positivt (och nollskilt). Alltså är y 3, dvs 2x 3, vilket ger att x 3. Fallen x = 3 och x+1 x = 2 ger ytterligare två lösningar. Svar: Lösningarna är (0, 0), (1, 1), ( 2, 4), ( 3, 3) Problem 11. Om g är periodisk så nns det x 0 så att g(x) = 0. Eftersom f är positiv får vi då att f(x) = f(ax) = 0, men f har bara nollställen i heltalspunkter. Alltså är x = n ett heltal, och vi har f(an) = 0, vilket leder till att även an är ett heltal: m. a är rationellt eftersom a = m n. Antag nu omvänt att a = m/n. g är då periodisk med period n, vilket visas genom följande kalkyl: g(x + n) = f(x + n) + f(ax + m) = f(x) + f(ax) = g(x) I det första steget användes am = n, och i det andra att f har period 1 så att f(x+k) = f(x) för alla heltal k. 4
5 Problem 12. Beviset bygger på två idéer som vi visar nedan. Den ena är att är att det nns en oändlig mängd rätvinkliga trianglar med heltalssidor så att inga två är likformiga. Den andra idén är att om vi har n stycken trianglar med de givna egenskaperna så kan vi skala om dem så att alla har samma hypotenusa. Det görs genom att skala upp varje triangel med produkten av de n 1 övriga trianglarnas hypotenusor. Alla trianglar kommer då att ha en hypotenusa som är produkten av de n ursprungliga hypotenusorna. Placerar man alla dessa trianglar med en katet längst x-axeln så att hypotenusan utgår ifrån origo så har trianglarna sina hörn på cirkeln med medelpunkt i origo och längden av den gemensamma hypotenusan som radie. Eftersom trianglarna har heltalssidor sammanfaller deras hörn med hörnen i rutnätet. Det återstår nu bara att bevisa att den första idén. Skillnaden mellan två på varandra följande kvadrater är (n + 1) 2 n 2 = 2n + 1. Alltså är alla udda tal skillnaden mellan två på varandra följande kvadrater. Det nns oändligt många udda kvadrater. Alltså har vi a 2 = c 2 b 2 för oändligt många tripler. Detta svarar mot rätvinkliga trianglar på grund av Pythagoras sats. Inget par av dessa är likformiga n eftersom kvoten mellan två av sidorna är för olika värden på n. Inga av dessa värden n+1 är identiska eftersom följden a n = är växande. (Derivera t.ex.). Detta avslutar beviset. n n+1 Problem 13. Låt nu q vara det största tal så att 2 q n. Det nns inte något annat k n som är delbart med 2 q, eftersom då hade vi haft k = 2 q m, där m > 1. Detta hade gett k = 2 q m > 2 q 2 = 2 q+1 > n. Om = r där r är ett heltal och n>1 kan vi 2 n lösa ut 1 och sedan multiplicera med den minsta gemensamma nämnaren (least common 2 q multiple) till de n första heltalen för att få: ( mgn(1,..., n) = mgn(1,..., n) m q q q ) n Den minsta gemensamma nämnaren är delbar med 2 q eftersom 2 q n, så 2 q är ett av talen den är en (gemensam) multipel av. Däremot är mgn inte delbar med 2 q+1. Detta lämnas åt läsaren att bevisa. Vi kan nu dra slutsatsen att V.L. är udda, annars hade mgn varit delbar med 2 q+1. Det följer av de fakta som har visats angående hur höga potenser av 2 som delar mgn och talen lägre än n att H.L. är jämnt. Vi använder oss också av att n > 1 så att mgn är jämn. Vi har vår motsägelse. Problem 14. Drag bisektrisen (the bisector) till vinkeln γ. Kalla skärningspunkten mellan denna och sidan c för M. Låt också hörnen som står emot sidorna a,b,c kallas för A,B,C. Drag nu linjer från A och B vinkelrät mot bisektrisen. Kalla skärningspunkterna för A och B. M delar c i två streckor, AM och BM, som är hypotenusor i de rätvinkliga trianglarna BB M och AA M. Vi ser från guren att AA = b sin( γ ) och 2 BB = a sin( γ ). Eftersom dessa streckor är kateter i de tidigarenämna trianglarna, och hypotenusan 2 alltid är längre än sina kateter, får vi c = AM + BM (a + b) sin( γ ). 2 5
6 Problem 15. Observera att alla termer i V.L. har en faktor med udda index och en faktor med jämnt index. Det är därför praktiskt att införa a = x 1 + x och b = x 2 + x Det är klart att V.L. ab, så vi måste bara visa att ab (a+b)2 4, eftersom s = a + b. Detta kan man antingen göra genom att två gånger använda olikheten mellan aritmetiskt- och geometriskt medelvärde: ab a2 +b 2 2. Denna får man från att (a b) 2 0. Alternativt kan man direkt skriva (a b) = a 2 + b 2 2ab = (a + b) 2 4ab 0. En helt annan lösning vore att för ett godtyckligt xt värde på s visa olikheten genom optimering. Maximum nås då x i = 0 för alla i förutom tre. Detta visas med motsägelsebevis. Tankesättet är likt det i problem 7. Om det nns minns 4 nollskilda x i och x 1 0, så får vi en motsägelse ty x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 4 x 2 (x 3 + x 1 ) + (x 3 + x 1 ) x 4. Det lönar sig alltså att byta ut x 1 och x 3 mot 0 och x 1 + x 3, vilket är tillåtet att göra eftersom summan bibehålls. Har vi bara tre nollskilda x i så reduceras V.L. till x 2 (x 1 + x 3 ). Vi kan anta att x 3 = 0, då detta inte ändrar något. Hela påståendet reduceras till x 1 x 2 (x 1+x 2 ) 2 4, vilket vi redan har visat. Vi har också visat att likhet gäller om och endast om (omm (i)) x 1 = x 2, men läsaren får fylla i detaljerna. 6
Lösningar till udda övningsuppgifter
Lösningar till udda övningsuppgifter Övning 1.1. (i) {, } (ii) {0, 1,, 3, 4} (iii) {0,, 4, 6, 8} Övning 1.3. Påståendena är (i), (iii) och (v), varav (iii) och (v) är sanna. Övning 1.5. andra. (i) Nej.
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet. Lösningsförslag till naltävlingen den 20 november 2004
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Lösningsförslag till naltävlingen den 0 november 004 1. Låt A, C vara de två cirklarnas medelpunkter och B, D de två skärningspunkterna. Av förutsättningarna
MVE365, Geometriproblem
Matematiska vetenskaper Chalmers MVE65, Geometriproblem Demonstration / Räkneövningar 1. Konstruera en triangel då två sidor och vinkeln mellan dem är givna. 2. Konstruera en triangel då tre sidor är givna..
Högstadiets matematiktävling 2018/19 Finaltävling 19 januari 2019 Lösningsförslag
Högstadiets matematiktävling 2018/19 Finaltävling 19 januari 2019 Lösningsförslag 1. Lösningsförslag: Vi börjar med att notera att delbarhet med 6 betyder att N är delbart med 2 och 3. Om N är delbart
INDUKTION OCH DEDUKTION
Explorativ övning 3 INDUKTION OCH DEDUKTION Syftet med övningen är att öka Din problemlösningsförmåga och bekanta Dig med olika bevismetoder. Vårt syfte är också att öva skriftlig framställning av matematisk
Finaltävling i Lund den 19 november 2016
SKOLORNS MTEMTIKTÄVLING Svenska matematikersamfundet Finaltävling i Lund den 19 november 2016 1. I en trädgård finns ett L-format staket, se figur. Till sitt förfogande har man dessutom två färdiga raka
i=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n
Årgång 48, 1965 Första häftet 2505. Låt M = {p 1, p 2,..., p k } vara en mängd med k element. Vidare betecknar M 1, M 2,..., M n olika delmängder till M, alla bestående av tre element. Det gäller alltså
2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a
2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a Ett plan är en yta som inte är buktig och som är obegränsad åt alla håll. På ett plan kan man rita en linje som är rak (rät). En linje är obegränsad åt båda
Kapitel 4. cos(64 )= s s = 9 cos(64 )= 3.9m. cos(78 )= s s = 9 cos(78 )= 1.9m. a) tan(34 )= x x = 35 tan(34 )= 24cm
Kapitel 4 4107 4103 a) tan(34 )= x x = 35 tan(34 )= 4cm 35 b) cos(40 )= x x = 61 cos(40 )= 47cm 61 c) tan(56 )= 43 x x = 43 tan(56 ) = 9cm d) sin(53 )= x x = 75 sin(53 )= 60cm 75 4104 a) tan(v )= 7 4 v
Trigonometri. Sidor i boken 26-34
Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor
8-6 Andragradsekvationer. Namn:..
8-6 Andragradsekvationer. Namn:.. Inledning Nu har du arbetat en hel del med ekvationer där du löst ut ett siffervärde på en okänd storhet, ofta kallad x. I det här kapitlet skall du lära dig lösa ekvationer,
Lösningsförslag till problem 1
Lösningsförslag till problem Lisa Nicklasson november 0 Att beskriva trianglar Vi ska börja med att beskriva hur trianglar kan representeras i x, y)-planet Notera att varje triangel har minst två spetsiga
Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.
Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln
Funktioner. Räta linjen
Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter
Övningshäfte 2: Induktion och rekursion
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2017 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 2: Induktion och rekursion Övning D Syftet är att öva förmågan att utgående från enkla samband, aritmetiska och geometriska,
Enklare matematiska uppgifter
Elementa Årgång 41, 1958 Årgång 41, 1958 Första häftet 143. I en given cirkel är inskriven en triangel ABC, i vilken b + c = ma, där m är ett givet tal > 1. Sök enveloppen för linjen BC, då hörnet A är
Kängurutävlingen Matematikens hopp
Kängurutävlingen Matematikens hopp Student 2017, svar och lösningar Här följer svar, rättningsmall och redovisningsblanketter. Förutom svar ger vi också några olika lösningsförslag. Ett underlag till hjälp
MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR
MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS.0.08 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsättningar som ges här är inte bindande för studentexamensnämndens bedömning. Censorerna beslutar
Enklare uppgifter, avsedda för skolstadiet
Elementa Årgång 1, 198 Årgång 1, 198 Första häftet 97. Ett helt tal består av 6n siffror. I var och en av de på varandra följande grupperna av 6 siffror angiva de 3 första siffrorna samma tresiffriga tal
2: E TOOT Bokstäverna O och T har en lodrät symmetriaxel, men inte R, B och L. Därför kommer endast ordet TOOT kunna skrivas på detta sätt.
Kängurutävlingen 018 Cadet svar och kommentarer Facit Cadet 1: C 19 0 + 18 = 8 = 19 : E TOOT Bokstäverna O och T har en lodrät symmetriaxel, men inte R, B och L. Därför kommer endast ordet TOOT kunna skrivas
Kvalificeringstävling den 30 september 2008
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2008 Förslag till lösningar Problem 1 Tre rader med tal är skrivna på ett papper Varje rad innehåller tre
Repetitionsuppgifter. Geometri
Endimensionell anals, Geometri delkurs B1 1. Fra punkter A, B, C och D ligger pa en cirkel med radien 1 dm. Se guren! Strackorna AD och BD ar lika langa. Vidare ar vinkeln BAC och vinkeln ABC 100. D Berakna
Kängurutävlingen Matematikens hopp
Kängurutävlingen Matematikens hopp Junior 2010 Här följer svar, rättningsmall och redovisningsblanketter. Förutom svar ger vi också några olika lösningsförslag. De flesta problem kan lösas på flera sätt
Matematik CD för TB. x + 2y 6 = 0. Figur 1:
Kontroll 8 1 Bestäm ekvationen för den linje som går genom punkterna P 1 (,4) och P 2 (9, 2). 2 Bestäm riktningskoefficienten för linjen x + 4y 6 = 0 Bestäm ekvationen för en linje som går genom punkten
Sidor i boken Figur 1:
Sidor i boken 5-6 Mer trigonometri Detta bör du kunna utantill Figur 1: Triangeln till vänster är en halv liksidig triangel. Varje triangel med vinklarna 0,60,90 är en halv liksidig triangel. Hypotenusan
Explorativ övning euklidisk geometri
Explorativ övning euklidisk geometri De viktigaste begreppen och satser i detta avsnitt är: Kongruens och likhet mellan sträckor, vinklar och trianglar. Kongruensfallen för trianglar. Parallella linjer
Kvalificeringstävling den 30 september 2014
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2014 1. Ett tåg kör fram och tillbaka dygnet runt mellan Aby och Bro med lika långa uppehåll vid ändstationerna,
4-7 Pythagoras sats. Inledning. Namn:..
Namn:.. 4-7 Pythagoras sats Inledning Nu har du lärt dig en hel del om trianglar. Du vet vad en spetsig och en trubbig triangel är liksom vad en liksidig och en likbent triangel är. Vidare vet du att vinkelsumman
Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK
Chalmers tekniska högskola Matematik- och fysikprovet Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov 008 - MATEMATIK 008-05-17, kl. 9.00-1.00 Skrivtid: 180 min Inga hjälpmedel tillåtna.
Uppsalas Matematiska Cirkel. Geometriska konstruktioner
Uppsalas Matematiska Cirkel Geometriska konstruktioner Matematiska institutionen Uppsala universitet Våren 2019 Några ord om Uppsalas Matematiska Cirkel Uppsalas Matematiska Cirkel bildades hösten 2018
Explorativ övning euklidisk geometri
Explorativ övning euklidisk geometri De viktigaste begreppen och satser i detta avsnitt är: Kongruens och likhet mellan sträckor, vinklar och trianglar. Kongruensfallen för trianglar. Parallella linjer
Matematiska uppgifter
Årgång 54, 1971 Första häftet 8. Bestäm alla reella tal x sådana att x 1 3 x 1 + < 0 (Svar: {x R: 1 < x < 0} {x R: < x < 3}) 83. Visa att om x > y > 1 så är x y 1 > x y > ln(x/y). 84. Undersök om punkterna
Matematiska uppgifter
Elementa Första häftet 3220. Bestäm alla reella tal x för vilka 3 x x + 2. 322. Pelles och Palles sammanlagda ålder är 66 år. Pelle är dubbelt så gammal som Palle var när Pelle var hälften så gammal som
A: mindre än 4 år. B: minst 4 år. C: exakt 4 år. D: mer än 4 år. E: inte mindre än 3 år. (Schweiz) A: 0 B: Oändligt många C: 2 D: 1 E: 3 (Italien)
Trepoängsproblem 1. Andrea föddes 1997 och hennes yngre syster Charlotte 2001. Skillnaden i ålder mellan systrarna är med säkerhet A: mindre än 4 år. B: minst 4 år. C: exakt 4 år. D: mer än 4 år. E: inte
Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2
Matematik Gymnasieskola Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg Del 6: Undersökande arbetssätt med matematisk programvara Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2 I texten Undersökande arbetssätt
geometri ma B 2009-08-26
OP-matematik opyright Tord Persson geometri ma 2009-08-26 Uppgift nr 1 Uppgift nr 3 26 13 z s Hur stor är vinkeln z i den här figuren? Uppgift nr 2 Hur stor är vinkeln s i den här figuren? Uppgift nr 4
Tentamen 973G10 Matematik för lärare årskurs 4-6, del2, 15 hp delmoment Geometri 4,5 hp, , kl. 8-13
Kurskod: 9G0 Provkod: STN Tentamen 9G0 Matematik för lärare årskurs -, del, 5 hp delmoment Geometri,5 hp, 0-0-08, kl 8- Tillåtna hjälpmedel : Passare, linjal För varje uppgift ska fullständig lösning med
Svar och lösningar. Kängurutävlingen 2009 Cadet för gymnasiet
Svar och lösningar 1: D 200 9 Ett tal är jämnt om entalssiffran är jämn. Det enda talet som uppfyller det villkoret är 200 9 = 1800 2: C 18 cm Stjärnans yttre består av 12 lika långa sidor med sammanlagd
2 Matematisk grammatik
MATEMATISK GRAMMATIK Matematisk grammatik.1 Skriva matematik Matematisk grammatik, minst lika kul som det låter, och hur man skriver matematik är nästan lika viktigt som vad man skriver. En grammatisk
KS övning 1. Problem 1. Beräkna Problem 2. Förenkla. (x 1 3 y
KS övning 1 Problem 1. Beräkna 48 1 3 Problem 2. Förenkla 6 1 3 (x 1 3 y 1 3 )(x 2 3 +x 1 3 y 1 3 +y 2 3 ) Problem 3. I ABC är AB = 15 cm och AC = 12 cm. En rät linje parallell med BC träffar AB i D och
Moment 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, Viktiga exempel 4.1, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.13, 4.14 Övningsuppgifter 4.1 a-h, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.
Moment 4.2.1, 4.2.2, 4.2., 4.2.4 Viktiga exempel 4.1, 4., 4.4, 4.5, 4.6, 4.1, 4.14 Övningsuppgifter 4.1 a-h, 4.2, 4., 4.4, 4.5, 4.7 Många av de objekt man arbetar med i matematiken och naturvetenskapen
Geometri och statistik Blandade övningar. 1. Vid en undersökning av åldern hos 30 personer i ett sällskap erhölls följande data
Geometri och statistik Blandade övningar Sannolikhetsteori och statistik 1. Vid en undersökning av åldern hos 30 personer i ett sällskap erhölls följande data 27, 30, 32, 25, 41, 52, 39, 21, 29, 34, 55,
y º A B C sin 32 = 5.3 x = sin 32 x tan 32 = 5.3 y = tan 32
6 Trigonometri 6. Dagens Teori Vi startar med att repetera lite av det som ingått i tidigare kurser angående trigonometri. Här följer en och samma rätvinkliga triangel tre gånger. Med en sida och en vinkel
Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg
Tema: Pythagoras sats Linnéa Utterström & Malin Öberg Innehåll: Introduktion till Pythagoras sats! 3 Pythagoras sats! 4 Variabler! 5 Potenser! 5 Att komma tillbaka till ursprunget! 7 Vi bevisar Pythagoras
Enklare matematiska uppgifter
Elementa Årgång 44, 1961 Årgång 44, 1961 Första häftet 2298. Beräkna för en triangel (med vanliga beteckningar) ( (b 2 + c 2 )sin2a) : T (V. Thébault.) 2299. I den vid A rätvinkliga triangeln OAB är OA
Välkommen till Kängurutävlingen Matematikens hopp 17 mars Student för elever på kurs Ma 4 och Ma 5
Till läraren Välkommen till Kängurutävlingen Matematikens hopp 17 mars 2016 Student för elever på kurs Ma 4 och Ma 5 Tävlingen ska genomföras under perioden 17 mars 1 april. Uppgifterna får inte användas
Introduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Höstterminen 006 Introduktionskurs i matematik för civilingenjörsprogrammet F Tentamen på Introduktionskursen i matematik äger rum lördagen den 6 september
Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter
Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Fler exempel på optimering Exempel 1. Utifrån en rektangulär pappskiva med bredden 7 dm och längden 11 dm, vill man åstadkomma en kartong utan lock,
SF1620 Matematik och modeller
KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF1620 Matematik och modeller 2007-09-03 1 Första veckan Geometri med trigonometri Till att börja med kom trigometrin till för att hantera och lösa geometriska
Utforska cirkelns ekvation
Utforska cirkelns ekvation Målet med denna aktivitet är att eleverna förstår definitionen av en cirkel som en uppsättning av punkter som är lika långt från en given punkt. eleverna förstår att koordinaterna
Avdelning 1, trepoängsproblem
Avdelning 1, trepoängsproblem 1. Vilket av dessa tal är delbart med 3? A: 2009 B: 2 + 0 + 0 + 9 C: (2 + 0) (0 + 9) D: 2 9 E: 200 9 2. I ett akvarium finns det 200 fiskar varav 1 % är blå medan övriga är
Svar och arbeta vidare med Student 2008
Student 008 Svar och arbeta vidare med Student 008 Det finns många intressanta idéer i årets Känguruaktiviteter. Problemen kan inspirera undervisningen under flera lektioner. Här ger vi några förslag att
Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I
Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I J A S, ht 04 1 Induktion Detta avsnitt handlar om en speciell teknik för att försöka bevisa riktigheten av påståenden eller formler, för alla heltalsvärden
5B1134 Matematik och modeller
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-04 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda, båglängd, vinkel, grader, radianer, sinus, cosinus,
Matematiska uppgifter
Årgång 55, 1972 Första häftet 2863. Lös ekvationssystemet { 2sin x cos x = 1 (Svar: π + 2nπ, n Z) 2864. Visa att (1,000001) 1000000 > 2. sin x 2cos x = 2 2865. Visa att ekvationen x 4 x 2 + 2x + 3 = 0
Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS.
Lösningar till några övningar i Kap 1 i Vektorgeometri 17. I figuren är u en spetsig vinkel som vi har markerat i enhetscirkeln. Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät
Lokala mål i matematik
Lokala mål i matematik År 6 År 7 År 8 År 9 Taluppfattning (aritmetik) förstår positionssystemets uppbyggnad med decimaler ex: kan skriva givna tal adderar decimaltal ex: 15,6 + 3,87 subtraherar decimaltal
Känguru 2012 Student sid 1 / 8 (gymnasiet åk 2 och 3) i samarbete med Jan-Anders Salenius vid Brändö gymnasiet
Känguru 2012 Student sid 1 / 8 NAMN GRUPP Poängsumma: Känguruskutt: Lösgör svarsblanketten. Skriv ditt svarsalternativ under uppgiftsnumret. Lämna rutan tom om du inte vill besvara den frågan. Felaktigt
Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper
Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning Ellipser och hyperbler är, liksom parabeln, s.k. kägelsnitt, dvs kurvor som uppkommer
.I Minkowskis gitterpunktssats
1.I Minkowskis gitterpunktssats Minkowskis sats klarar av en mängd problem inom den algebraiska talteorin och teorin för diofantiska ekvationer. en kan ses som en kontinuerlig, eller geometrisk, variant,
Geometriska konstruktioner
Stockholms Matematiska Cirkel Geometriska konstruktioner Lisa Nicklasson Gustav Zickert Institutionen för matematik KTH och Matematiska institutionen Stockholms universitet 2017 2018 Innehåll 1 Vad är
Kängurutävlingen Matematikens hopp
Kängurutävlingen Matematikens hopp Student 016, svar och lösningar Här följer först svar, rättningsmall och redovisningsblanketter. Förutom svar ger vi också några olika lösningsförslag. Ett underlag till
A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi
A1:an Repetition Philip Larsson 6 april 013 1 Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi 1.1 Delmängd Om ändpunkterna ska räknas med används symbolerna [ ] och raka sträck. Om ändpunkterna inte skall
Sidor i boken KB 6, 66
Sidor i boken KB 6, 66 Funktioner Ordet funktion syftar inom matematiken på en regel som innebär att till varje invärde associeras ett utvärde. Ofta beskrivs sambandet mellan invärde och utvärde med en
Om a 2 är ett jämnt tal, så är också a ett jämt tal sant. = 4n 2 + 4n + 1
1127 Påstående betecknas med P Motsatsen till påsteåendet betecknas P = icke P = inte P = ej P P n är ett udda tal P n är ett jämnt tal Kommentar: n kan enbart vara udda eller jämnt, P a + 2b 15 P a +
Enklare uppgifter, avsedda för skolstadiet.
Årgång 11, 1927 Första häftet 265. Lös ekvationssystemet { x 3 5x + 2y = 0 y 3 + 2x 5y = 0 266. Visa att uttrycket na n+1 (n + 1)a n + 1 där a och n äro positiva hela tal och a > 2, alltid innehåller en
Explorativ övning Vektorer
Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken
M0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15
M0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 29 Läsövning Summan av två tal Differensen mellan två tal a + b a b Produkten av två tal
MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR
MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 6..019 BESKRIVNING AV GODA SVAR Examensämnets censorsmöte har godkänt följande beskrivningar av goda svar. Av en god prestation framgår det hur examinanden har kommit fram
5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891
KTH Matematik 5B1134 Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari 6 1. a) Bestäm sidlängderna i en triangel med vinklarna 44, 63 73 om arean av triangeln är 64 cm. Ange svaren som närmevärden
Mer om analytisk geometri
1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare
Den räta linjens ekvation
Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är
Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION
Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken matematisk induktion. Termen induktion är lite olycklig därför att matematisk
Matematiska uppgifter
Elementa Årgång 67, 984 Årgång 67, 984 Första häftet 3340. a) Vilket av talen A = 984( + + 3 + + 984 ) är störst? b) Vilket av talen B 3 = 3 + 3 + 3 3 + + 984 3 är störst? A / = 984( + + 3 + + 984) B =
Den räta linjens ekvation
Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är
Enklare matematiska uppgifter
Årgång 17, 1934 Första häftet 654. Lös ekvationen sin x + cos x + tan x + cot x = 2. (S. B.) 655. Tre av rötterna till ekvationen x 4 + ax 2 + bx + c = 0 äro x 1, x 2 och x 3. Beräkna x 2 1 + x2 2 + x2
7F Ma Planering v2-7: Geometri
7F Ma Planering v2-7: Geometri Arbetsform under en vecka: Måndagar (50 min): Genomgång av gemensamma svårigheter i begrepp och metoder. Arbete i grupp med begrepp och metoder. Läxa (30 min): Läsa på anteckningar
Ellipsen. 1. Apollonius och ellipsen som kägelsnitt.
Ellipsen 1. Apollonius och ellipsen som kägelsnitt. Vi skall stifta bekantskap med, och ganska noga undersöka, den plana kurva som kallas ellips. Man kan närma sig kurvan på olika sätt men vi väljer som
Student för elever på kurs Ma 4 och Ma 5
Till läraren Välkommen till Kängurutävlingen Matematikens hopp 16 mars 2017 Student för elever på kurs Ma 4 och Ma 5 Tävlingen genomförs under perioden 16 24 mars. Uppgifterna får inte användas tidigare.
Känguru Student (gymnasiet åk 2 och 3) sida 1 / 6
Känguru Student (gymnasiet åk 2 och 3) sida 1 / 6 NAMN KLASS/GRUPP Poängsumma: Känguruskutt: Lösgör svarsblanketten. Skriv ditt svarsalternativ under uppgiftsnumret. Lämna rutan tom om du inte vill besvara
Matematiska uppgifter
Elementa Årgång 6, 977 Årgång 6, 977 Första häftet 36. Lös ekvationssystemet { x y = 8 y log x + x log y = 2 (Svar: x = y = 8) 36. lös ekvationen 6sin x 6sin2x + 5sin3x =. (Svar: x = n 8, 84,26 + n 36,
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp
Enklare matematiska uppgifter
Årgång 47, 1964 Första häftet 2457. ABC är en fix liksidig triangel. Linjerna AD och BE är parallella och skär linjerna BC och AC i D resp. E. Vidare är A 1, D 1, B 1 och E 1 mittpunkterna på sträckorna
Finaltävling i Umeå den 18 november 2017
KOLORNA MATEMATIKTÄVLING venska matematikersamfundet Finaltävling i Umeå den 18 november 017 1. Ett visst spel för två spelare går till på följande sätt: Ett mynt placeras på den första rutan i en rad
markera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor ETT ETT TVÅ TVÅ TRE TRE FYRA FYRA klart
PLANERING MATEMATIK - ÅR 9 Bok: Z (fjärde upplagan) Kapitel : 3 Geometri Kapitel : 4 Samband och förändring Elevens namn: markera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor ETT ETT TVÅ TVÅ TRE TRE
Matematisk kommunikation för Π Problemsamling
Problemsamling Charlotte Soneson & Niels Chr. Overgaard september 200 Problem. Betrakta formeln n k = k= n(n + ). 2 Troliggör den först genom att exempelvis i summan +2+3+4+5+6 para ihop termer två och
Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION
Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken matematisk induktion. Termen induktion är lite olycklig därför att matematisk
8F Ma Planering v2-7 - Geometri
8F Ma Planering v2-7 - Geometri Arbetsform under en vecka: Tisdagar (50 min): Genomgång av gemensamma svårigheter i begrepp och metoder. Arbete i grupp med begrepp och metoder. Läxa (30 min): Läsa på anteckningar
Högskoleprovet Kvantitativ del
Högskoleprovet Kvantitativ del Här följer anvisningar till de kvantitativa delproven XYZ, KVA, NOG och DTK. Provhäftet innehåller 40 uppgifter och den totala provtiden är 55 minuter. XYZ Matematisk problemlösning
Laboration: Att vika ett A4-papper
Laboration: Att vika ett A4-papper Vik ett A4-papper så att det övre vänstra hörnet, P, hamnar på motstående långsida i en punkt som vi kallar P. Då bildas en rätvinklig triangel där den nedvikta sidan
SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009
KTH Matematik SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 9 1. a) Visa att sin(6 ) = /. () b) En triangel har sidor av längd 5 och 7, och en vinkel är 6 grader. Bestäm
Matematiska uppgifter
Elementa Årgång 65, 982 Årgång 65, 982 Första häftet 3260. På var och en av rutorna på ett schackbräde (med 8 rutor) ligger en papperslapp. Kan man flytta papperslapparna så att samtliga kommer att ligga
Explorativ övning Geometri
Explorativ övning Geometri Syftet med denna övning är att ge kunskaper om grundläggande geometriska begrepp och resultat om geometriska figurer. Vi vill också ge en uppfattning om geometri som en matematisk
5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005
KTH Matematik B Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den januari. a) I en triangel är två av sidlängderna 7 respektive 8 längdeneter vinkeln mellan dessa sidor är. Bestäm den tredje sidans
Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.
Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att
INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. f(x) = arctan x.
TENTAMENSSKRIVNING Endimensionell analys, B1 010 04 06, kl. 8 1 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. 1. a) Lös ekvationen cos sin + 1 = 0. (0.) b) Lös
Kapitel 8 Ledtrådar. = 111 p, för något Låt det sista talet man behöver addera vara x. Det ger: positivt heltal p.
Kapitel 8 Ledtrådar 800 Testa för mindre tal där du lättare kan kontrollera resultatet, försök sedan föra över resonemanget på problem med betydligt större tal Du inser att efter det första omloppet är
5B1134 Matematik och modeller
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 5 september 2005 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda båglängd, vinkel, grader, radianer sinus, cosinus,
Sammanfattningar Matematikboken Z
Sammanfattningar Matematikboken Z KAPitel procent och statistik Procent Ordet procent betyder hundradel och anger hur stor del av det hela som något är. Procentform och 45 % = 0,45 6,5 % = 0,065 decimalform
9E Ma Planering v2-7 - Geometri
9E Ma Planering v2-7 - Geometri Arbetsform under en vecka: Måndagar (50 min): Genomgång av gemensamma svårigheter i begrepp och metoder. Arbete i grupp med begrepp och metoder. Läxa (45 min): Läsa på anteckningar