Om a 2 är ett jämnt tal, så är också a ett jämt tal sant. = 4n 2 + 4n + 1

Transkript

1 1127 Påstående betecknas med P Motsatsen till påsteåendet betecknas P = icke P = inte P = ej P P n är ett udda tal P n är ett jämnt tal Kommentar: n kan enbart vara udda eller jämnt, P a + 2b 15 P a + 2b = 15 Kommentar: VL kan enbart vara 15 eller "inte 15" c) P u + v > 90 P u + v 90 Kommentar: Summan av två vinklar kan enbart vara "större än 90 " eller "minder än eller lika med 90 " d) P Minst ett av talen k och l är udda = ett eller två av talen k och l är udda P Inget av talen k och l är udda = både k och l är jämna k Jämnt l Jämnt Jämnt Udda Minst ett udda 1128 Om a 2 är ett jämnt tal, så är också a ett jämt tal i två påståenden P a 2 är ett jämnt tal Q a är ett jämt tal Vårt ursprungliga påstående kan nu skrivas P Q Q a är ett jämnt tal Q a är ett udda tal P a 2 är ett jämnt tal P a 2 är ett udda tal c) vilket ger om a är ett udda tal a 2 är ett udda tal VL Om a är udda kan det skrivas som 2n + 1 HL a 2 = (2n + 1) 2 = 4n 2 + 4n + 1 = 2(2n 2 + 2n) + 1 = 2 heltal + 1 = 2k + 1 = udda tal Saken är klar påståendet om a är ett udda tal a 2 är ett udda tal är sant och då är även påståendet Om a 2 är ett jämnt tal, så är också a ett jämt tal sant Udda Jämnt Minst ett udda Udda Udda Minst ett udda

2 1129 Påstående Om x = 4, så är 3x 5 10" Bevisa påståendet. Sätt in x = 4 i 3x 5 10 ger VL: = 7 HL: 10 Påståendet är sant då VL HL Antag motsatsen Om x = 4, så är 3x 5 = 10 Sätt in x = 4 i ekvationen VL = = 7 HL = 10 VL = HL ger 7 = 10 som ger en motsägelse, inte sant. sålunda gäller att om x = 4, så är 3x Vad beträffar både talen a och b kan de vara mindre än noll, lika med noll eller större än noll Logisk motsats till a < 0 är a 0 och Logisk motsats till b < 0 är b 0 Logisk motsats till antingen a < 0 eller b < 0 blir då antingen både a 0 och b 0 (gör produkten a b positiv eller noll) eller både a < 0 och b < 0" (gör produkten a b positiv) vilket ger antingen både a 0 och b 0 eller både a < 0 och b < 0 a b 0 Kan delas upp i två fall Fall 1 både a 0 och b 0 a b 0 Fall 2 både a < 0 och b < 0 a b > 0 Vi vet att om ett tal är större än noll så är det positivt och mindre än noll negativit. Teckenreglerna säger att: Produkten av två positiva tal är alltid positiv. Produkten av två negativa tal är alltid positiv. Produkten av ett negativt och ett positivt tal är negativ. Så för att produkten ska bli negativ krävs att ett av talen är negativt dvs < 0 Produkten av två tal som är större eller lika med noll är naturligtvis själv större eller lika med noll. Produkten av två tal som båda är mindre än noll är större än noll. Alltså gäller att om a b < 0, så är antingen a < 0 eller b < 0 v. s. b.

3 1131 Antag att minst ett av talen a och b är jämnt. Om a är ett jämnt tal så gäller att a = 2n där n är ett positivt heltal. Då är a b = 2n b Eftersom produkten är delbar med 2 så är ab ett jämnt tal oavsett om b är ett udda eller jämnt tal. Motsvarande gäller om b är ett jämnt tal. Därmed gäller att om produkten av två tal a och b är udda så är båda talen a och b udda. vilket ger att påståendet om produkten av a och b är udda både a och b udda kan logiskt ersättas av påståendet om minst ett av talen a och b är jämnt produkten av a och b jämn Kommentar: Alla jämna tal innehåller faktorn 2, om det jämna talet mulipliceras med ett heltal så finns faktorn 2 fortfarande kvar. Sålunda om minst ett jämnt tal ingår i en produkt av heltal så blir produkten alltid jämn "om produkten av två tal a b är jämn" ger P "a b är jämnt" "så är minst ett av talen jämnt" ger Q "minst ett av talen a eller b är jämnt " Vi ska visa att P Q påstå motsatsen och vända på implikationen. P "a b är udda" Q "både a och b är udda" Vi visar nu istället att Om både a och b är udda kan vi sätta a = 2m + 1 och b = 2n + 1 vilket ger a b = (2m + 1) (2n + 1) = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2 (2mn + m + n) + 1 = 2 heltal + 1 = 2k + 1, vilket är ett udda tal Sålunda är sant och då är även P Q sant v. s. v

4 1133 om n är ett udda tal så är n ett jämnt tal P "n är ett udda tal" Q "n ett jämnt tal" Vi ska visa att P Q påstå motsatsen och vända på implikationen. P "n är ett jämnt tal" Q "n ett udda tal" Sätt n = 2k + 1 ger n = (2k + 1) = *se eventuellt formelblad Ma 4 8k k k = 8k k 2 + 6k + 6 = 2 (4k 3 + 6k 2 + 3k + 3) = 2 heltal = 2m, vilket är ett jämnt tal 1134 P det finns inte ett reellt tal r som är större än alla andra tal P det finns ett reellt tal r som är större än alla andra tal Bevisa att P är sant för talet r r > 0 eftersom positiva tal större än negativa. r > x, x R (r större än alla reella tal x) antag nu till exempel att talet k = r + 1 då r + 1 > r blir k > r och vi har funnit ett tal som är större än r och sålunda är P falskt och då måste P vara sant. Vi har visat att är sant och då är även P Q sant v. s. v * Formelblad Ma4 s.1

5 1135 Visa att P 3 är ett irrationellt tal Använd motsägelsebevis och visa att P 3 är ett rationellt tal" Om 3 är rationellt så innebär det att 3 = a b, där a och b är heltal och b 0 samt att bråket a b är förkortat så långt som möjligt 3 = a2 b 2 3b 2 = a 2 Eftersom vi förkortat bråket a så långt som möjligt b så måste talen a och b vara udda (eftersom jämna tal alltid kan förkortas) Om a och b är udda så är även a 2 och b 2 udda. (om ett tal är udda så är även talets kvadrat udda enligt räknelagar för udda och jämna tal) a = 2m + 1 b = 2n + 1 gör att 3b 2 = a 2 kan skrivas som 3(2n + 1) 2 = (2m + 1) 2 3(4n 2 + 4n + 1) = 4m 2 + 4m n n + 3 = 4m 2 + 4m n n + 2 = 4m 2 + 4m 2(6n 2 + 6n + 1) = 2(2m 2 + 2m) 6n 2 + 6n + 1 = 2m 2 + 2m 2(3n 2 + 3n) + 1 = 2(m 2 + m) 2 heltal + 1 = 2 heltal 2p + 1 = 2q udda tal = jämnt tal motsägelse sålunda saknar ekvationen 3 = a b, där a och b är heltal och b 0 samt att bråket a b är förkortat så långt som möjligt lösningar och därmed kan inte 3 vara ett rationellt tal. 3 är ett irrationellt tal v. s. b.