Analys 360 En webbaserad analyskurs Analysens grunder. Om de reella talen. MatematikCentrum LTH

Transkript

1 Analys 60 En webbaserad analyskurs Analysens grunder Om de reella talen Anders Källén MatematikCentrum LTH

2 Om de reella talen () Introduktion Den matematiska analysen är intimt förenad med det faktum att de reella talen är tillräckligt många. Grunden för analysen är att man kan beräkna olika gränsvärden och verkligen få olika tal. De tal som så dyker upp utgör de reella talen. Vi ska i detta kapitel därför diskutera lite om tal och då framför allt om relationen mellan de reella talens fullständighetsegenskap och existensen av just gränsvärden. Bland de reella talen ligger de rationella talen, alltså bråk av heltal, tätt. Det innebär att det godtyckligt nära ett reellt tal finns rationella tal. Så i praktiken kan man inte skilja ett reellt tal från ett rationellt tal bara genom att titta på det. Man kan fråga sig varför det inte räcker med de rationella talen. Ytterst beror det på att tal som inte är rationella, de irrationella talen, naturligt dyker upp (t.ex. π och Eulers konstant e), och i så fall skulle vi behöva beskriva dessa i form av approximationer med rationella tal. Vilket blir mycket mer komplicerat! Finns det irrationella tal? Det naturliga talen N = {,,,,...} är på något sett givna av gud, som den kände 800-tals-matematikern Leopold Kronecker sa. Allt annat är människoverk. T.ex. uppfann indierna nollan, något som grekerna inte gjorde eftersom noll inte var någonting och därför inte kunde vara ett tal. Sedan kommer de övriga talen genom att vi börjar ställa frågor. De negativa heltalen uppkommer genom att vi vill lösa ekvationen x + n = 0 där n N och därigenom får vi tillgång till alla heltalen Z = {0, ±, ± ±,...}. Sedan vill vi lösa ekvationen qx = p, där p, q Z och får därmed de rationella talen som består av kvoter av heltal: Q = { p ; p, q Z}. q Att det finns ytterligare tal som man måste ta hänsyn till kom en dag som en chock för det pytagoreanska sällskapet i södra Italien när de upptäckte att inte är rationellt! Att så är fallet kullkastade hela sällskapets världsbild, och det berättas att stackaren som gjorde upptäckten dränktes i en sjö för att förhindra att kunskapen spreds utanför sällskapet. Upptäckten byggde på ett tämligen enkelt resonemang []. Antag att det finns heltal p, q sådana att = p och att vi inte kan förkorta detta bråk längre (dvs p, q har ingen gemensam nämnare). Om vi kvadrerar och multiplicerar upp nämnaren i högerledet får vi att det ska gälla att q = p. Det i sin tur betyder att p är ett jämnt tal, och en kvadrat kan bara vara jämn om det vi kvadrerar är jämnt. Alltså gäller att p = r för något heltal r. q

3 Om de reella talen () Stoppar vi nu in detta uttryck för p i relationen q = p får vi, efter förkortning med, att q = r. Men av samma skäl som ovan följer att även q då måste vara jämnt. Men eftersom bråket var förkortat så långt som möjligt kan inte både p och q vara jämna, vilket är en motsägelse. Om man i ett resonemang som utgår ifrån vissa premisser kommer fram till en motsägelse, måste någon av premisserna vara fel. I detta fel är det endast ett antagande som kan vara fel, nämligen att är rationellt. Därmed är det alltså bevisat att är irrationellt. Ett sådant bevis kallas ett motsägelsebevis. De reella talen Ett sätt att se på de positiva reella talen är som alla möjliga mätetal, vilket gör att definitivt är ett reellt tal, eftersom det mäter diagonalens längd i en kvadrat med sidan ett. Upptäckten att det inte är rationellt visar då att det finns irrationella tal, alltså reella tal som inte är rationella. Ett rationellt tal är definierat som en kvot av heltal, men kan också skrivas i form av en decimalutveckling, och när man gör det blir det alltid ett tal med en periodisk decimalutveckling. Att så alltid gäller framgår om vi räknar igenom ett exempel. Exempel Låt oss bestämma decimalutvecklingen för det rationella talet /7. Normalt när man gör en sådan division använder man sig av någon form av uppställning (liggande stolen eller trappan), men låt oss beskriva divisionen mer i ord. Vi skriver 7 = = 0 ( ) = = (8 + 7 ) = = ( ) = = (7 + 7 ) = Låt oss ta en paus där. Vid de olika divisionerna med 7 har vi här fått i tur och ordning resterna 6,, 5,. Möjliga rester vid division med 7 är 0,,,,, 5, 6. Det betyder att håller vi på tillräckligt länge får vi tillbaka samma rest en gång. Låt oss se när så sker genom att fortsätta processen ovan: 7 = (+ 5 7 ) = = (+ 7 7 ) = Ur detta ser vi att 7 = ( ) = Fortsätter vi ser vi att 7 = = 0.857, där strecket ovanför betyder att denna period ska upprepas i det oändliga.

4 Om de reella talen () Anmärkning Notera att vi får periodiciteten då en viss rest dyker upp för andra gången. I det här fallet råkar det vara den första resten som dyker upp igen. Så behöver det absolut inte vara. Det vi lär oss från exemplet är att varje rationellt tal kan skrivas som en periodisk decimalutveckling. Detta innefattar fallet med ändliga decimalutvecklingar, som kan skrivas som periodiska med period som består av nollor: 5 = 0. = = 0.0. Sådana tal kan f.ö. skrivas på ett alternativ sätt: Vi har nämligen att så 5 5 = =, = = 0.( ) = 0. = 0.. Anmärkning Antag nämligen att <. Hur skulle vi då beskriva det tal som ligger mitt emellan i decimalform? Det går uppenbarligen inte, varför likheten måste gälla. Ett annat bevis för likheten använder den geometriska serien. Att omvänt alla tal som beskrivs av periodiska decimalutvecklingar (inklusive ändliga sådana) är rationella tal lämnas åt läsaren att bevisa. Vi definierar nu de reella talen som alla oändliga decimalutvecklingar, där vi noterar att vissa tal kan skrivas på två olika sätt (med nollor eller nior i slutet). Den viktiga egenskapen hos de reella talen som hela analysen bygger på är det som oftast kallas axiomet om övre gräns: Varje uppåt begränsad mängd av reella tal har en minsta övre begränsning. Om mängden kallas S, betecknar vi med sup S denna minsta övre begränsning. Att en sådan finns är ingen självklarhet (det gäller t.ex. inte de rationella talen), utan ett sätt att förklara att de (positiv) reella talen verkligen är alla mätetal, att det inte finns några hål bland dem. Axiomet om övre gräns kan vi förstå genom att vi successivt provar oss fram på följande sätt. Vilket är det största heltal a som ligger i S?. Det ska vara sådant att a + inte ligga i S, vilket betyder att det största talet i S har heltalsdelen a. Vilket är sedan det största tal a (heltal mellan 0 och 9) som är sådant att a.a ligger i S?. På det här sättet kan vi närma oss gränsen genom att bygga upp en decimalutveckling, och genom att vi kan göra detta i det oändliga [] kan vi uppnå den minsta övre gränsen. Vi ser att vår tolkning av reella tal som oändliga decimalutvecklingar är fundamental här.

5 Om de reella talen () Exempel Låt S = {x; x < }. För att hitta α = sup S gör vi som följer. = < men = >, så heltalsdelen av α är. Sedan provar vi:. =.96 < men.5 =.5 >, så α =..... Vidare. =.988 < men. =.06 >, så α =..... Fortsätter vi på det sätter får vi den oändliga decimalutvecklingen av det irrationella talet. En följd av axiomet av övre gräns är naturligtvis att även en nedåt begränsad mängd S av reella tal har en största nedåt begränsning. Denna kallas inf S. Om vi nämligen låter S beteckna mängden av tal x där x S. Då vet vi att S har en minsta övre begränsning, sup( S), och då gäller att sup( S) är en största nedre begränsning till S. Anmärkning Vi ser också från ovanstående att det godtyckligt nära ett reellt tal alltid finns ett rationellt sådan. Vi tar helt enkelt med endast ett visst antal decimaler (d.v.s. sätter de följande siffrorna till 0) och får därigenom ett rationellt tal. Genom att ta med tillräckligt många decimaler kan vi komma hur nära vi vill ett givet reellt tal. De reella talen går inte att räkna upp Man säger att två mängder har lika många element om det går att para ihop dem så att inga element blir över. Matematiskt uttrycker vi detta i form av funktioner på följande sätt. En funktion f : A B mellan två mängder A och B sägs vara injektiv om det gäller att två olika element i A inte kan ha samma bild i B: f(a) = f(b) a = b. Finns det en sådan funktion f kan det inte finnas fler element i A än i B, vilket vi skriver som att #A #B. Om istället varje element i B kan fås som en bild av ett element i A sägs f vara surjektiv. Med andra ord, till varje b B finns minst ett a A sådant att b = f(a). Finns det en sådan funktion f kan det inte finnas fler element i B än i A, vilket vi skriver #B #A. Om, slutligen, en funktion f : A B är både injektiv och surjektiv sägs den vara bijektiv. Om det finns en bijektion mellan två mängder A, B, så säger vi att mängderna har lika många element: #A = #B. Exempel Det finns lika många heltal som det finns naturliga tal. Det handlar helt enkelt om att vi kan räkna upp dem. En bijektiv funktion kan vi definiera genom följande tabell: N : Z : 0...

6 Om de reella talen 5 () Vi ser att efter att har räknat upp nollan gäller att de positiva heltalen svarar mot de udda naturliga talen och de negativa mot de jämna. Det betyder att vi kan skriva funktionen som Vi ser alltså att #Z = #N. f() = 0, f(k) = k, f(k + ) = k, k =,,... En mängd som har lika många element som de naturliga talen sägs vara uppräknelig. Exempel De rationella talen är uppräkneligt många. För att se att så är fallet räcker det att vi kan visa att vi kan räkna upp de positiva. Ett sätt att lista dem är På plats (p, q) i den här tabellen har vi det rationella talet p/q. Uppenbarligen får vi med alla positiva rationella tal på detta sätt, och dessutom ofta flera gånger eftersom t.ex. / = / = /6 o.s.v. Vi kan då räkna upp de positiva rationella talen genom att genomlöpa tabellen enligt följande diagonalförfarande: (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) o.s.v. Alltså går de positiva rationella talen att räkna upp, och därmed alla de rationella talen (ta t.ex. vartannat positivt och vartannat negativt och börja med noll). De reella talen är emellertid inte uppräkneligt många. För att se det ska vi använda ett argument som kallas Cantor s diagonaliseringsresonemang. Det är ett motsägelsebevis som bygger på att om någon hävdar att de har en uppräkning av alla de reella talen, så kan vi konstruera ett nytt tal som inte ingår i uppräkningen. Antag därför att vi har en uppräkning av de reella talen, skrivna i decimalform. Vi ska nu konstruera ett nytt tal 0.a a a a... där alla a i är heltal mellan 0 och 9. Här väljer vi talet a i på följande sätt:

7 Om de reella talen 6 () Om det i:te talet i uppräkningen har en decimal på plats i som är något av talen 0,,,,, sätt a i = 5. Om inte, sätt a i =. Härigenom konstrueras ett nytt tal som inte kan finnas i uppräkningen, eftersom det kommer att skilja sig från varje element i uppräkningen på minst en decimal. Konvergens av talföljder En talföljd av reella tal är en funktion f : N R och vi skriver a n = f(n). Vi säger att talföljden {a n } konvergerar mot det reella talet a om följande gäller: till varje ɛ > 0 finns ett N = N(ɛ) sådant att n N a n a < ɛ. Vi skriver detta antingen som a n a då n, eller lim a n = a. n Här kan vi tillåta a = ± genom att modifiera definitionen lite. T.ex. gäller att a n då n om det till varje A finns ett N = N(A) sådant att n N a n A. En konsekvens om axiomet om övre gräns är nu att en växande och uppåt begränsad talföljd konvergerar. Om den inte är uppåt begränsad går den mot oändligheten. På samma sätt blir en avtagande och nedåt begränsad talföljd också konvergent, och är den obegränsad nedåt går den mot minus oändligheten. Vi ska illustrera detta med två exempel. Det första exemplet kräver att vi kan den aritmetisk-geometriska olikheten att det för positiva reella tal a, b gäller att ab a + b med likhet då och endast då a = b Detta följer av en enkel kvadratkomplettering: a + b ab = ( a b) 0. Exempel 5 Definiera talföljden {a n } genom a =, a n+ = (a n + a n ). Vi börjar med att konstatera att enligt den aritmetisk-geometriska olikheten gäller att a n+ a n =, a n

8 Om de reella talen 7 () så sviten är nedåt begränsad, och det gäller att att a n. Men ur detta följer att a n+ = a n + ( a n a n ) = a n + a n ( a n) a n. Vi har alltså en oändlig, avtagande, nedåt begränsad, talföljd, som därför måste konvergera. När vi nu vet att den konvergerar kan vi lätt beräkna gränsvärdet genom att göra gränsövergång i rekursionsformeln som definierar talföljden: om vi sätter a = lim n a n så gäller att a = (a + a ) a = a + a = Anmärkning Mer om konvergens av talföljder definierade genom rekursion kan läsas om i artikeln Grafisk analys av en skalär rekursion. Den andra tillämpningen är att visa att den talföljd som brukar användas för att definiera Eulers tal e verkligen konvergerar. För den behöver vi först följande observation: om x > 0 gäller att ( + x) m + mx. Detta kan visas genom att vi använder binomialteoremet [], men också med hjälp av analys genom att använda medelvärdessatsen []. Exempel 6 Vi ska visa att gränsvärdet existerar ändligt. e = lim n ( + n )n För detta tittar vi på a n = ( + n )n+. (Observera exponenten!) Då gäller att a n a n+ = (n + )n+ (n + ) n+ n = n + n+ n + ( + n(n + ) )n+ > n + n + ( + n + ) =. Här har vi använt lemmat med m = n + och x = /(n + n) /(n + ). Vi ser att {a n } är en strängt avtagande talföljd. Eftersom den uppenbarligen är nedåt begränsad av noll följer att den måste konvergera mot ett reellt tal. Gränsvärdet kallar vi e. Anmärkning Vi använder här att om a n a och b n b då n, så gäller att a n b n ab då n eftersom vi skriver lim n a n = lim n ( + n )n lim n ( + n ) = lim n ( + n )n.

9 Om de reella talen 8 () Detta visas lätt med hjälp av definitionen ovan, men vi låter det tillhöra ett annat kapitel [5]. Varianter av axiomet om övre gräns Vi har ovan diskuterat hur axiomet om övre gräns karakteriserar de reella talens fullständighet. Vi ska nu se på två ekvivalenta formuleringar som ska visa sig ha naturliga generaliseringar till R n. Den första omformuleringen handlar om hopningspunkter. Definition Ett reellt tal c kallas en hopningspunkt till en mängd S av reella tal om varje punkterad omgivning [6] till c innehåller oändligt många tal ur S. En ändlig mängd kan aldrig ha en hopningspunkt och en obegränsad mängd behöver inte ha någon hopningspunkt som t.ex. mängden S = N visar. Vidare behöver inte en hopningspunkt tillhöra mängden, t.ex. gäller att mängden S = { ; n N} har 0 som n hopningspunkt men 0 / S. Däremot har vi Sats : Bolzano-Weierstrass sats Varje begränsad oändlig mängd av reella tal har en hopningspunkt. Ur varje oändlig svit i denna mängd kan vi välja ut en delsvit som konvergerar mot hopningspunkten. Bevis. Låt S vara en oändlig delmängd av intervallet [a, b]. Definiera D = {x [a, b]; [a, x] innehåller endast ändligt många av elementen i S}. Det är en begränsad, icke-tom mängd och vi sätter c = sup D. Vi ska då visa att c är en hopningspunkt till S. Vi kan anta att c > a; annars minskar vi bara a lite. Tag ett klot med centrum i c som ligger helt i [a, b] och tag sedan z i detta sådant att c < z. Då gäller att z / D, så intervallet [a, z] innehåller oändligt många punkter ur S. Varje klot med centrum i c innehåller alltså oändligt många punkter ur S, vilket betyder att c är en hopningspunkt. För att visa den andra delen av satsen låter vi S = {x n } vara en oändlig, begränsad, svit av reella tal. Om antalet olika element i S är ändligt, upprepas något tal oändligt många gånger i sviten och vi kan ta dessa tal som konvergent delsvit. Antag därför att S består av oändligt många olika element. Låt a vara hopningspunkt för S och betrakta omgivningarna 0 < x a < /n för n N. Eftersom a är en hopningspunkt kan vi då ta ut ett element ur var en av dessa omgivningar och härigenom skapa en delsvit som per konstruktion konvergerar mot hopningspunkten.

10 Om de reella talen 9 () Anmärkning Andra delen av satsen, att varje begränsad svit av reella tal har en konvergent delsvit, kallas ibland Bolzano-Weierstrass sats på sekventiell form. Den andra omformuleringen av axiomet om övre gräns verkar vid första påseende inte ha något som helst med detta att göra Sats : Heine-Borels lemma Om det till varje x i det kompakta intervallet [a, b] är givet en öppen omgivning I(x), så gäller att det finns ändligt många punkter x,..., x m i [a, b] sådana att mängderna I(x i ), i =,..., m övertäcker [a, b], alltså [a, b] m I(x i ). i= Bevis. Vi gör ett motsägelseargument. Antag alltså att det inte går att övertäcka intervallet med ändligt många I(x). Dela intervallet [a, b] på mitten. Då måste något av delintervallen [a, c], [c, b], där c är mittpunkten, vara likadant, dvs det går inte att övertäcka det med ändligt många I(x). Genom att på detta sätt halvera intervallen och välja ut ett som inte har någon ändlig övertäckning (gäller det båda tar vi det vänstra), så får vi en svit I i = [a i, b i ] av intervall sådana att I i+ I i för alla i och sådana att deras längd är (b a) i, vilket går mot noll då i. Om vi sätter c = sup{a i }, så ser vi att eftersom a i :na utgör en växande svit, att a i c då i. Men eftersom intervall-längderna går mot noll följer då även att b i c. Till c hör en omgivning I(c) sådan att I i I(c) om i bara är tillräckligt stort (därför att I(c) är ett öppet intervall). Men detta är en motsägelse till antagandet att I i inte kan övertäckas med ändligt många intervall I(x). Därmed är satsen bevisad. Anmärkning Ett alternativt bevis för att Heine-Borels lemma som direkt använder axiomet om övre gräns får vi om vi först inför definitionen att ett intervall är ett ω-intervall om Heine-Borels lemma gäller för det. Definiera då S = {x [a, b]; [a, x] är ett ω intervall}. Då gäller att a S eftersom {a} kan övertäckas av I(a). Skriv nu som vanligt c = sup S och antag att c < b. Då finns ett klot B δ (c) som ligger i I(c) och om vi tar d = c + δ/ så har vi dels att [a, d] inte är ett ω-intervall p.g.a. definitionen av c, men å andra sidan att [a, d] kan övertäckas av den ändliga övertäckningen av [a, c] plus I(c). Denna motsägelse visar att c = b.

11 Om de reella talen 0 () Cauchy-sviter Definitionen av ett gränsvärde ovan hjälper oss inte att avgöra om en talföljd är konvergent om vi inte vet vad den konvergerar mot. Vi vill därför hitta ett kriterium sådant att vi kan avläsa direkt från sviten om den är konvergent eller inte. Utan att veta vad den konvergerar mot. Ett sådant kriterium gavs av Cauchy. Definition En talföljd {a n } sådan att det till varje ɛ > 0 finns ett N sådant att a n a m < ɛ för alla n, m N, kallas en Cauchy-svit. Vi har då Sats En talföljd {a n } är konvergent om och endast om den är en Cauchy-svit. Bevis. Nödvändigheten följer direkt ur triangelolikheten: om a n a då n och ɛ > 0 så finns ett N sådant att a n a < ɛ/ då n N. Om både n, m N gäller då att a n a m a n a + a m a < ɛ + ɛ = ɛ. Beviset går för tillräckligheten går i tre steg: a) Vi visar att talföljden är begränsad. Detta följer av att det finns ett N sådant att om n N så gäller att x n x N <, ty då följer det att för sådana n gäller att x n x N +. b) Vi använder nu den sekventiella formen av Bolzano-Weierstrass sats till att ta ut en konvergent delsvit {a n}. Antag att a n a då n. c) Vi kan nu använda triangelolikheten på följande sätt: a n a a n a n + a n a. Givet ɛ > 0 kan vi nu välja N sådan att a n a < ɛ/ då n N. Eftersom a n är en delsvit av a n och denna är en Cauchysvit kan vi också anta att a n a n < ɛ/, ev. efter att ha ökat N lite. Därmed är satsen bevisad.

12 Om de reella talen () Exempel 7 Som tillämpning på detta betraktar vi åter problemet i Exempel 5. Den här gången ska vi först visa att talföljden är en Cauchysvit, för att sedan, när vi vet att den konvergerar, bestämma gränsvärdet i ett andra steg. Vi ska då börja med att visa att a n för alla n. Om det nämligen gäller för ett visst n så gäller det också för nästa, eftersom = ( + ) a n+ ( + ) =. Det är sant för a, och alltså sant för alla a n [7]. Vi har nu att a n+ a n = (a n a n + ( a n a n )) = (a n a n )( a n a n ). Men vi vet att a n a n+, så vi måste ha att (a n a n ) a n+ a n (a n a n ), alltså a n+ a n a n a n. Men då följer att a n+ a n ( )n a a n. Men från detta kan vi nu uppskatta skillnader a n a m på grövsta möjliga sätt: antag att n > m. Vi har då att så triangelolikheten ger att a n a m = a n a n + a n a n a m+ a m, a n a m a n a n + a n a n a m+ a m n + n m. Den geometriska summan visar då att högerledet är ( m ) < n m m så vi har att a n a m < om n > m. m Men det följer att talföljden är en Cauchy-svit, och enligt satsen konvergerar den därför mot ett tal a. Gränsvärdet bestäms sedan som tidigare. Vi kan nu definiera de irrationella talen som de gränsvärden vi kan få av Cauchy-sviter av rationella tal. Man kan därför (som Cantor gjorde) identifiera de reella talen med sådana Cauchy-sviter, där man dock måste införa en ekvivalensrelation så att två sviter som konvergerar mot samma tal betraktas som samma svit.

13 Om de reella talen () Om alternativa definitioner av de reella talen Den definition av reella tal som oändliga decimalutvecklingar är inte helt tillfredsställande för alla. Bland annat bygger den på att vi använder basen 0, men naturligtvis kan vi använda vilken bas vi vill. Vi vill därför gärna hitta en definition som inte bygger på vilket talsystem vi väljer att använda för att beskriva talen. Vi tänker oss ett reellt tal som ett mätetal, alltså en punkt på den reella linjen. Ett att definiera vad vi menar med det, som inte använder decimalutvecklingar, bygger på sekvenser av nestade intervall. Låt {I k } k= vara en svit av intervall sådan att I k I k+ och sådan att längden m(i k ) 0 då k [8]. Då har vi vad vi kan kalla ett geometriskt axiom, nämligen att till varje sådan svit {I k } finns precis en punkt på tallinjen som ligger i dem alla. Punkterna på tallinjen kan alltså identifieras med sådana nestade intervallsviter, där vi antar att varje intervall har rationella tal som gränser. Exempel 8 Tag I = (, ), I = (.,.5), I = (.,.), I = (.,.5),.... Detta utgör början på en svit av nestade intervall med rationella ändpunkter som definierar talet. Det är nu möjligt (men tråkigt i sina detaljer) att visa att om vi definierar de reella talen på detta sätt kan vi definiera de fyra räknesätten för talen så att de uppfyller de grundläggande räknereglerna. Ett annat välbekant sätt att definiera de irrationella talen är genom s.k. Dedekind-snitt. Idén kommer från Richard Dedekind (8-96) och bygger på en speciell typ av snitt enligt följande. Antag att vi har en metod att dela in Q i två klasser A och B så att varje element i B är större än varje element i A. Det finns då tre möjligheter: a) Mängden A har ett största element a b) Mängden B har ett minsta element b c) A har inte ett största element och B har inte ett minsta element. Det som inte kan gälla är att A har ett största element och B ett minsta element, ty då skulle medelvärdet av dem vara ett rationellt tal som inte ligger i någon av mängderna. Här är a och b rationella tal, men i det tredje fallet definieras genom snittet ett irrationellt tal. Relationen med de nestade intervallen ovan är att vi till en sådan svit definierar ett snitt så att A består av alla rationella tal som ligger till vänster om minst ett av intervallen I n, och B de övriga rationella talen. Exempel 9 Mängderna A = {x Q; x < eller x < 0} och B = {x Q; x > och x > 0} representerar Dedekind-snitt för.

14 Om de reella talen () För att se att så är fallet måste vi visa att A inte har något största element. Antag motsatsen, att a A är det största talet i A. Då gäller att b = (a + )/(a + ) är ett rationellt tal sådant att b > a men b <, och vi har alltså konstruerat ett ännu större tal i A. Det följer att A inte kan ha ett största element. På samma sätt ser man att B inte har något minsta element. Dedekinds snitt är en tämligen abstrakt konstruktion, eftersom vi inte har några restriktioner på hur mängderna A och B får se ut. Noteringar. Åtminstone om man bortser från en detalj, nämligen att man behöver veta något om entydigheten av primtalsfaktorisering av heltal.. Tja! Inte kan vi göra något i det oändliga. Men vi har definierat de reella talen som det vi får om vi gör detta i det oändliga.. Se artikeln Binomialsatsen och lite kombinatorik. Se kapitlet Analys av polynomfunktioner i Grundkursen 5. Se kapitlet Gränsvärden och L Hospitals regel. 6. En punkterad omgivning till c är ett klot med c borttaget, alltså punkter som uppfyller 0 < x c < r för något r. 7. Vi gör alltså ett induktionsbevis. 8. Detta är egentligen samma idé som decimalutvecklingar, men utan referens till ett speciellt talsystem.