En bijektion mellan två mängder A och B som har ändligt antal element kan endast finnas om mängderna har samma antal element.

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "En bijektion mellan två mängder A och B som har ändligt antal element kan endast finnas om mängderna har samma antal element."

Siv Månsson
för 5 år sedan
Visningar:

1 BIJEKTION, INJEKTION, SURJEKTION NUMRERBARA (eller UPPRÄKNELIGA) MÄNGDER Allmän terminologi. I samband med variabelbyte vid beräkning av integraler har vi en avbildning mellan två mängder A och B, dvs en unktion : A B. Vi har otast krav att varje element x i A har precis en bild (x) i B och att varje element i B har precis ett original i A. Sådana avbildningar kallar vi bijektioner. En bijektion mellan två mängder A och B som har ändligt antal element kan endast innas om mängderna har samma antal element. Om det inns en bijektion mellan två mängder A, B (ändliga eller oändliga) säger vi att de har lika kardinalitet: ( kardinaltal). Beteckning: Kardinaltalet ör en mängd A betecknas otast på en av öljande sätt: card (A), eller A. Om det inns en bijektion mellan A och B då säger vi också att A och B är två ekvivalenta mängder och betecknar A ~B. Alltså om A och B är två ekvivalenta mängder har de samma kardinalitet, dvs. A ~B A = B. Om det inns en bijektion rån A till en delmängd av B då skriver vi A B. Om A B och A B då skriver vi A < B. Anmärkning: Man kan visa att ör två mängder A och B gäller exakt en av öljande tre relationer: A < B, A = B eller A > B. av 7

2 i) Kardinaltalet till en ändlig mängd A är lika med antalet element i A. T ex För A={, 45, 34} har vi card(a)=3 ( dvs A har 3 element) ii) Kardinaltalet ör mängden som är ekvivalenta med mängden av alla naturliga tal N = {0,,,3,...} kallas ale -0 (ale-noll). Ale-noll är minst av alla kardinaltal som tillhör en oändlig mängd. Med andra ord, om A är en oändlig mängd då gäller N A. iii) Kardinalitet ör mängden av alla reella tal R betecknas otast med c. Man kan visa att c > ale-noll dvs att R inte är ekvivalent med N. Exempel. Mängden av alla naturliga tal N = {0,,,3,...} är ekvivalent med mängden av alla naturliga jämna tal N = {,4,6,8,...} dvs N och N har samma kardinalitet. Bevis: Funktionen ( n) n är en bijektion mellan N och N. Exempel. Mängden av alla hela tal Z={0, ±, ±, ± 3,...} är ekvivalent med mängden av alla naturliga tal N = {0,,,3,...}. Med andra ord har de två mängder samma kardinalitet (trots att N är en delmängd av Z). Vi visar detta genom att ordna alla hela tal i en talöljd. En bijektion rån N till Z visas i schemat N Z Själva bijektionen kan vi ormellt deiniera enligt öljande : N Z där ( 0) 0 och ör n=,,3, (n) n (n ) n. Exempel 3. Mängden av alla rationella tal ekvivalent med N. m Q, där m, n är hela tal och n 0 är n Exempel 4. Mängden av alla reella tal R är inte ekvivalent med N. av 7

3 DEFINITION. Låt vara en unktion rån mängden A till B dvs : A B. Vi säger att är en bijektiv unktion (eller en bijektion) om öljande gäller:. Funktionens deinitionsmängd D är lika med A.. Ekvationen ( x) y, ör varje y B, har precis en lösning x A. Anmärkning: En bijektiv unktion har inversen - som deinieras enligt öljande: För en given y inns det precis ett x sådant att ( y) x. ( x) y och därör kan vi deiniera Exempel 5. A och B är mängder med ändligt många element) Bestäm vilka av öljande avbildningar är bijektioner: 3 av 7

4 iii) A 3 B 3 iv) A 4 4 B b a 3 A B c b a Svar i) Nej, element 4 i mängden A har ingen bild. ii) Nej, element d i mängden B har inget original. iii) Nej, element b har två original-element och 3 iv) Ja, varje element i A har exakt en bild och varje element i B har exakt ett original. DEFINITION.. INJEKTION. Funktionen : A B, deinierad ör alla x A, kallas injektiv om ekvationen ( x) y, ör varje y B, har högst en lösning x A ( d v s ingen eller en lösning x A).. SURJEKTION. Funktionen : A B, deinierad ör alla x A, kallas surjektiv om ekvationen ( x) y ör varje y B, har minst en lösning x A. Från deinitionen ramgår öljande:. En unktion : A B, deinierad ör alla x A, är injektiv om och endast om olika original har olika bilder dvs x ( x x x ) ( ). Om det inns en injektiv unktion : A B där deinitionsmängd D är lika med A då är kardinalitet (A) kardinalitet (B) ; med vardagliga ord "antalet element i A " "antalet element i B" 4 av 7

5 . En unktion, deinierad ör alla x A, är surjektiv om och endast om V = B Om det inns en surjektiv unktion : A B, där deinitionsmängd D är lika med A, då är kardinalitet (A) kardinalitet (B) ; 3. En unktion : A B vars deinitionsmängd är A, är bijektiv om och endast om den är både surjektiv och injektiv. Exempel 6. Exempel 7. Bestäm ör varje av öljande avbildningar om den är en surjektion, injektion eller/och bijektion. 5 av 7

6 iii) A 3 B b a Svar: i) är varken injektiv eller surjektiv. ii) är injektiv men inte surjektiv. iii) 3 är surjektiv men inte injektiv. iv) 4 är både injektiv och surjektiv och därmed bijektiv. ================================= NUMRERBARA (eller UPPRÄKNELIGA) MÄNGDER Numrerbar (eller uppräknelig) mängd. Låt N beteckna mängden av alla naturliga tal. En mängd A är numrerbar (eller uppräknelig) om den är ekvivalent med en delmängd till N ( eller med hela N). Alternativt kan man säga att en mängd A är numrerbar om card(a) card (N). Med andra ord en mängd A är numrerbar (eller uppräknelig) om det inns en injektiv unktion : A N. Anmärkning: I några böcker används begreppet numrerbar (eller uppräknelig) endast på oändliga mängder ekvivalenta med N. Några exempel på numrerbara mängder:. Varje ändlig mängd är numrerbar. Mängden av alla naturliga tal är numrerbar 3. Mängden av alla hela tal är numrerbar 4. Mängden av alla rationella tal är numrerbar 6 av 7

7 Några exempel på icke-numrerbara mängder:. Man kan visa att mängden av alla reella tal mellan 0 och dvs intervallet (0,) är inte numrerbar.. Samma gäller ör vilket intervall som helst med ändpunkterna a och b där a < b, till exempel [,3] dvs. intervallet { x R : x 3} är inte numrerbar. Intervallet (,3) dvs. intervallet { x R : x 3} är inte numrerbar. 3. Mängden av alla reella tal R är inte numrerbar. 4. En delmängd till R som innehåller ett intervall (a,b), där a < b, är inte numrerbar. 7 av 7

Relevanta dokument

En bijektion mellan två mängder A och B som har ändligt antal element kan finnas endast om mängderna har samma antal element.

En bijektion mellan två mängder A och B som har ändligt antal element kan finnas endast om mängderna har samma antal element. Inversa unktion BIJEKTION, INJEKTION, SURJEKTION Allmän terminologi I samband med variabelbyte vid beräkning av integraler har vi en avbildning mellan två mängder A och B, dvs en unktion : A B Vi har otast