RELATIONER OCH FUNKTIONER
|
|
- Ingemar Axelsson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 RELATIONER OCH FUNKTIONER 1 ORDNADE LISTOR (n-tipplar) Ordningen i en mängd spelar ingen roll Exempelvis {1,,3}={3,1,}={1,3,} För att beskriva listor med objekt där ordningen är viktigt använder vi rundparenteser (eller ibland hakparenteser) Sådana ordnade listor med n element kallar vi n-tipplar Två n-tipplar är lika om och endast om de har lika element på motsvarande platser Alltså a, a, a ) ( b, b,, b ) om och endast om ( 1 n 1 n a1 b 1, b n a,, a bn Exempelvis öljande ordnade par är olika (1,) (,1) (medan mängderna {1,} och {,1} är lika) Samma gäller ör tripplarna (1,,3) (3,1,) (medan mängderna {1,,3}={3,1,}) PRODUKTMÄNGD Deinition 1 Låt A och B vara två givna mängder Man deinierar deras produktmängd A B genom A B {( a, b) : a A, b B} Element i produktmängen A B består alltså av alla ordnade par vars örsta komponent (koordinat ) är rån A och den andra rån B Observera att A B och B A är i allmänt olika mängder De är lika endast om A=B Anmärkning: Produktmängden A B kallas även den kartesiska (eller cartesiska) produkten av A och B, eter den ranske matematikern René Descartes, (latin: Cartesius) Produktmängen A B kan vi åskådligt göra i en sk kartesiskt diagram ( eller kartesiskt koordinatsystem) där vi ritar horisontellt element rån örsta mängden A och vertikal element rån B Exempelvis, om A ={1,,3} och B={a,b} så är A B ={(1,a), (1,b),(,a),(, b),(3,a),(3, b)} som vi kan åskådligt göra i nedanstående diagram 1 av 3
2 Mängdprodukten A A betecknas kortare A T ex R R R {( x, : x R, y R}, där R betecknar mängden av alla reella tal, brukar åskådligt göras med hjälp av ett koordinatsystem i xy-planet: y (x, O(0,0) x Exempel 1 Låt A= {1,,3,4} och B = {a,b} Bestäm a) A B och b) B A Svar: a) A B {( 1, a),(1, b),(, a),(, b),(3, a),(3, b),(4, a),(4, b)} b) B A {( a,1),( a,),( a,3),( a,4),( b,1),( b,),( b,3),( b,4)} RELATIONER Begreppet relation är väldigt viktigt inom lera matematiska områden och olika tillämpningar (diskret matematik, kombinatorik, grateori, datologi, programmering, ekonomi, transport, ) En relation är en icke-tom delmängd av en given mängdprodukt Deinition Låt A och B vara två icke-tomma mängder och låt ρ beteckna en godtyckligt, icke-tom delmängd av produktmängden A B Vi säger då att ρ är en binär relation rån mängden A till mängden B Om ( a, b) säger vi att element a står i relationen ρ till elementet b (eller kortare a är relaterad till b) Detta otast skrivs som a b Deinition 3 Mängden A i ovanstående deinition (De ) kallar vi startmängd och mängden B målmängd Relationens deinitionsmängd är D { a A : ( a, b) } Relationens värdemängd är V { b B : ( a, b) } (På liknande sätt deinierar vi nedan deinitionsmängd och värdemängd ör en unktion ) av 3
3 Anmärkning 1 Man kan välja vilken som helst bokstav ör att beteckna en relation S, T, s, t, osv Väldigt ota väljer man R, r eller ρ (grekisk rho) Anmärkning Istället en binär relation säger man otast bara relation En relation kan vi ange på två sätt: i) Genom att ange produktmängden (dvs att ange start mängd och målmängd) och ett eller lera villkor ör element som bildar relationen Exempel 1 {( x, R R : x y 4} dvs är mängden av alla talpar vars koordinater är reella tal som uppyller x y 4 (dvs cirkeln med radien och centrum i origo ) ii) Om antalet par som bygger en relation är ändlig kan vi deiniera relationen genom att ange alla par som hör till relationen Exempel 3 Låt A={a,b,c,d} och B={x,y,z} Då är produktmängden A B {( a, x),( a,,( a, z),( b, x),( b,,( b, z),( c, x),( c,,( c, z),( d, x),( d,,( d, z)} Om vi väljer en delmängd till A B t ex {( a,,( a, z),( b, x),( c, z),( d, x)} A B då har vi deinierat en relation rån A till B En relation kan vi illustrera på lera olika sätt Vi kan illustrera en relation med hjälp av en tabell För att tolka korrekt måste man ange om den örsta mängden i relationen ligger horisontellt eller vertikalt i) I nedanstående tabell (matris), som visar relationen ρ, ligger den örsta mängden A horisontellt Därmed visar tecknet * att nedanstående element står i relationen mot det element som står till vänster om * T ex b står i relationen ρ till x {( a,,( a, z),( b, x),( c, z),( d, x)} : z * * y * x * * a b c d ii) I nedanstående igur ramställer vi samma relation genom att ange de örsta koordinaterna vertikalt (till vänster om tabellen) och de andra koordinaterna horisontellt ( ovanpå tabellen) (Denna metod används ibland i grateori och köteori) 3 av 3
4 {( a,,( a, z),( b, x),( c, z),( d, x)} x y z a * * b * c * d * iii) Vi kan illustrera en relation med hjälp av pilar som visar relaterade element Pilen startar i örsta mängden Relationen {( a,,( a, z),( b, x),( c, z),( d, x)} illustrerar vi med nedanstående igur iv) En relation i R R dvs i R, där R betecknar mängden av reella tal deinierar vi genom att ange villkor ör de talpar som hör till relationen Vi illustrerar en sådan relation med en graisk bild, genom att rita punktmängden av de talpar som ligger i relationen Exempel 4 Låt S= {( x, R R : x 3, y } Nedanstående gra (den gröna delen) illustrerar relationen S 4 av 3
5 H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic Exempel 5 Låt S= {( x, R R : y x } Då illustreras relationen S med den räta linje i xy-planet vars ekvation är y x Exempel 6 (Denna uppgit kan du lösa eter lektionen om andragradskurvor) Rita öljande mängd i xy-planet A= {(x, R : x +y 9 } Svar: Cirkelskivan med radien r = 3 ochh centrum i origo: D A 3 Exempel 7 (Denna uppgit kan du lösa eter lektionen om andragradskurvor) Rita öljande relation i xy-planet x D= { (x, R : y 1 och y 0 } 4 Svar: (Den blå delen i nedanstående igur) Invers relation Låt A B vara en relation rån A till B Inversen till relationen är en relation rån B till A som vi betecknar B A och deinierar som {( y, x) : ( x, y ) } Exempel 8 Låt A={a,b,c,d} och B={1,,3} Låt {(aa,),( a,3), ( b,1),( c,1)} A B 5 av 3
6 Då är inversen {(, a),(3, a),(1, b),(1, c)} B A Anmärkning: Inversrelation är alltid deinierad (till skillnad rån inversunktion, som vi diskuterar nedan) FUNKTIONER (eller avbildningar) Deinition 4a Låt A och B vara två icke-tomma mängder En icke-tom delmängd av produktmängden A B kallas unktion (eller avbildning) rån A till B om varje x A örekommer i högst ett av paren i Formellt kan vi utrycka deinitionen av en unktion enligt öljande: En relation A B är en unktion om och endast om [( x, och ( x, z) ] y z Om vi jämör deinitioner ör relation och unktion ser vi att en unktion är en relation med egenskapen att örsta koordinat örekommer högst en gång Följande ekvivalenta deinition av begreppet unktion används i matematisk analys: Deinition 4b En unktion (eller avbildning ) rån en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B Att är en unktion rån A till B betecknar vi på öljande sätt : A B Om ( x, skriver vi otast y ( x) Vi säger också att x är unktionens oberoende variabel eller argument Bokstaven y i uttrycket y (x) kallas unktionens beroende variabel I detta all kallas y unktionsvärdet ör argumentet x Exempel 9 Låt A={1,,3,4} och B={1, 15, } Bestäm om öljande relationer är unktioner 6 av 3
7 a) S 1 ={(1, 1), (1,15), (4,)} b) S ={(1, ), (3,15}, (4,)} Lösning: a) Relationen S 1 är inte en unktion etersom örsta koordinaten 1 örekommer två gången (inns i två par (1, 1) och (1,15) ) b) Relationen S är en unktion etersom örsta koordinaterna (dvs element som hör till A={ 1,,3,4} ) örekommer högst en gång Exempel 10 Låt A={a,b,c,d} och B={x,y,z} Bestäm om relationer S 1 och S som deinieras i nedanstående igurer är unktioner Lösning: i) Relationen S 1 är inte en unktion etersom a örekommer två gången som örsta koordinaten ( Från a går två pilar, mot y och mot z Därmed inns a i två par (a, och (a,z) ) ii) Relationen S är en unktion etersom de örsta koordinaterna örekommer högst en gång (Från varje element i A går högst en pil mot B) Exempel 11 Bestäm om relationer S 1 (en ellips) och S (en parabel), som deinieras i nedanstående kartesiska koordinatsystem, är unktioner y S 1 S y a) b) O x O x Lösning: a) Relationen S 1 är inte en unktion 7 av 3
8 Det inns minst en linje x=a som skär graen i två punkter (se ovanstående igur) Därmed inns a i två par (a, y 1 ) och (a,y ) som hör till relationen S 1 Härav öljer att relationen S 1 inte är en unktion b) Relationen S är en unktion etersom en godtycklig linje x=a skär graen i högst en punkt Med andra ord örekommer de örsta koordinaterna högst en gång Deinitionsmängd och värdemängd Funktionens deinitionsmängd och värdemängd deinieras genom D { x A : det inns ett par ( x, } V { y B : det inns ett par ( x, } Graen G till unktionen är mängden G = {( x, : ( x, } {( x, ( x)) : x D } Anmärkning: I kurser omenvariabelanalys brukar vi åskådligt göra graen till en unktion i xy-planet Mängden A ar unktionens startmängd (eng: initial set ) Mängden B är unktionens målmängd eller kodomän (eng: inal set, target set, codomain,) : A B x y 8 av 3
9 H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic Man kan också deiniera deinitionsmängden och värdemängdenn på öljande sätt: Deinitionsmängden (eng: domain) D till unktionen är mängden m av alla originaler dvs mängden av alla x på vilka tillämpas (den gula mängden i graen) Värdemängden (eng: range) ) V är mängden av alla bilder ( x ) som ås då x genomlöper deinitionsmängden, eller mer precis V { ( x) : x D } (den blå mängden i ovanstående gra) Notera skillnaden mellan startmängden A och deinitionsmängen D samt skillnaden mellan målmängden B och värdemängden V Generellt gäller: D Aoch V B Exempel 13 (Ändliga A och B) Bestäm startmängden, målmängden, deinitionsmängdenn och värdemängden ör unktionen : A B, som deinieras i iguren till höger Svar: startmängden =A= { 1,,3,4} målmängden = B { a, b, c, d, e }, deinitionsmängdenn är { 1,,3}, D värdemängden är V { a, c} ====== ========= ========= ========= ========= ========= ========= ======== === I kurserr om envariabelanalyss betraktar vi reella unktioner y= = (x) av en reell variabel, med andra ord, både x och y är reella tall dvs : R R För att deiniera en unktion : R R måste vi ange 1 unktionens deinitionsmängd D och ett uttryck y= (x) ( dvs en regel som till varje x D ordnar exakt ett reellt tal (x) ) Lägg märke till att vi kan beteckna variabler med andra bokstäver: T ex, vi betraktar ( x) 3x 8, unktioner x R och g( t) 3t 8, t R somm två lika Funktionens värdemängd V är mängden av alla ( (x) då x varierar inomm deinitionsmängdenn dvs V { ( x) : x D } D Deinitionsmängden ör unktionen (x ) 9 av 3
10 i iguren till höger är D (1,8 ] medan värdemängden består av två intervall V ( 1,4) [6,8] I envariabelanalys, som standard, gäller öljande överenskommelse: Om vi inte anger, på explicit sätt, deinitionsmängden ör en unktion : R R menar vi att unktionens deinitionsmängd består av alla reella x ör vilka (x) är ett reellt tal Dvs, vi menar att D ( i ett sådant all) är den största möjliga deinitionsmängden ör (x) Exempel 1 Låt : R R, där ( x) 1 x målmängd och deinitionsmängd Bestäm unktionens startmängd, Lösning: För den här unktionen är startmängden= R, målmängden = R, Etersom 1 x är ett reellt tal om och endast om 1 x 0 x 1 x 1, drar vi slutsats att deinitionsmängden är intervallet [ 1,1] Svar: D = [ 1,1] Anmärkning: Värdemängden till unktionen ( x) 1 x är [0,1] Detta inser vi om vi analyserar värdmängden ( ör x som ligger i deinitionsmängden dvs x 1) Vi har x 1 0 x x x 1, som vi, i det här allet, enklast bestämmer genom att rita unktionskurvan Deinition 5 Graen G till en unktion som ges av y (x) är mängden av alla ( x, ( x)) då x varierar inom deinitionsmängden, dvs G= {( x, ( x)) : x D } Om : R R då kan vi å en graisk bild av unktionen genom att i xy-planet rita (grovt skissera) punkterna {( x, ( x)) : x D } Motsvarande kurva i xy-planet kallas unktionskurva För varje x i deinitionsmängden D har vi exakt en punkt på unktionsgraen igur A igur B (x) x1 x1 10 av 3
11 Kurvan i igur A är en unktionskurva ( ör varje reellt tal x 1 har vi högst en motsvarande punkt på unktionskurva [Om x 1 ligger i deinitionsmängden då har vi exakt en motsvarande punkt på unktionskurvan] Kurvan i igur B (en ellips) är INTE en unktionskurva ( ör minst ett x 1 har vi minst två motsvarande punkter på graen Deinition 6 Två unktioner och g, är lika om öljande tre krav är uppyllda: 1 och g har samma startmängd A och samma målmängd B, dvs : A B och g : A B och g har samma deinitionsmängd dvs D Dg 3 ( x) g( x) ör alla x D Anmärkning: I ovanstående deinitionen garanterar och 3 tillsammans att {( x, ( x)) : x D } = {( x, g( x)) : x Dg} Exempel 14 Låt : R R och g : R R där ( x) x, x [1,5 ] och g( x) x, x [0,] är två olika unktioner etersom D [1,5] och D g [0,] dvs D Dg RESTRIKTION AV EN FUNKTION Deinition 7 Låt och g vara två unktioner med deinitionsmängder A respektive B där B A Om ( x) g( x) ör alla x B säger vi att g är restriktionen av unktionen till B Med andra ord, en restriktion g har samma regel som (dvs ( x) g( x) om x B ) men har en mindre deinitionsmängd ( B A ) T ex Om ( x) x x, med deinitionsmängden D [1, 5], och g( x) x x, med D [, 4] då är g restriktionen av unktionen till [, 4] g Exempel 15: Rita unktionen y x, där x Bestäm unktionens värdemängd Lösning: Funktionens deinitionsmängd är mängden av alla reella tal x sådana att x 11 av 3
12 H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic Alltså D Vi ritar den del av parabeln y x, därr x Lägg märke till att punkten (, 4) inte tillhör graen Vi ser att 0 y 4 Därmed är unktionens värdemängd { y R : 0 y 4} V D { x R : x } som vi skriver på kortare sätt Vi skriver på kortare sätt V [0, 4) D [, ) Exempel 16: Låt y x ( där x och y är reella tal) ) Bestäm unktionens deinitionsmängd ( dvs den största möjliga deinitionsmängd) och värdemängd Rita graen tilll unktionen Lösning x är ett reellt tal om och endast om x 0 Funktionen antar alla värden y 0 Svar: [0, ) D V [0, ) 1 av 3
13 INJEKTION, SURJEKTION, BIJEKTION Allmän terminologi I samband med variabelbyte vid beräkning av integraler har vi en avbildning mellan två mängder A och B, dvs en unktion : A B Vi har otast kravet att varje element x i A har precis en bild (x) i B och att varje element i B har precis en original i A Sådana avbildningar kallar vi bijektioner mellan A och B (eller rån A till B) En bijektion mellan två mängder A och B som har ändligt antal element kan innas endast om mängderna har samma antal element Om det inns en bijektion mellan två mängder A, B (ändliga eller oändliga) säger vi att de har lika kardinalitet ( kardinaltal) Deinition 8 Låt vara en unktion rån mängden A till B dvs : A B Vi säger att är en bijektiv unktion (eller en bijektion) mellan A och B (eller rån A till B) om öljande gäller: 1 Funktionens deinitionsmängd D är lika med A Ekvationen ( x) y, ör varje y B, har precis en lösning x A Exempel 14 (A och B är mängder med ändligt många element) Bestäm vilka av öljande avbildningar är bijektioner: 13 av 3
14 iii) A 3 B 3 iv) A 4 4 B b a 3 1 A B c b a Svar i) Nej, element 4 i mängden A 1 har ingen bild ii) Nej, element d i mängden B har ingen original iii) Nej, element b har två original-element och 3 iv) Ja, varje element i A 4 har exakt en bild och varje element i B 4 har exakt en original Deinition 9 1 INJEKTION Funktionen : A B kallas injektiv om ekvationen ( x) y, ör varje y B, har högst en lösning x A ( D v s ingen eller en lösning x A) SURJEKTION Funktionen : A B kallas surjektiv om ekvationen ( x) y ör varje y B, har minst en lösning x A (Med andra ord om värdemängden V =B) 3 BIJEKTION Funktionen : A B kallas bijektiv om öljande gäller a) Funktionens deinitionsmängd D är lika med A b) Funktionen är både injektiv och surjektiv Viktigast ör oss är att undersöka om en unktion är injektiv Som vi ser nedan, en unktion är inverterbar om och endast om den är injektiv Från deinitionen ramgår öljande: 1 En unktion är injektiv om och endast om olika original har olika bilder dvs x1 x ( x1 ) ( x ) Detta är ekvivalent med ( x1 ) ( x ) x1 x Om : R R dvs om är en unktion rån reella tal till reella tal kan vi testa om är en injektion genom att lösa ut x ur ekvationen y (x) Om högst en lösning till y (x) ligger i D då är en injektion Anmärkning: Om : A B är en injektiv unktion då är en bijektion mellan deinitionsmängden D och värdemängden V 14 av 3
15 T ex, unktionen d c b a A : A B deinierad i nedanstående diagram B är injektion rån A till B men den är bijektion mellan deinitionsmängden D ={a,b,c} och värdemängden V ={1,,3} Exempel 17 Bestäm vilken/vilka av öljande avbildningar är en surjektion, injektion, bijektion Svar: i) 1 är varken injektiv eller surjektiv ii) är injektiv men inte surjektiv iii) 3 är surjektiv men inte injektiv iv) 4, som är deinierad på hela A 4, är både injektiv och surjektiv, och därmed bijektiv Exempel 18 Bestäm om : R R är en injektion då a) y ( x) x, x b) ( x) x, x 0 Lösning: a) D =R= (, ) Vi löser ekvationen y x på x och år x y Vi ser att vi har två lösningar x1 y, x y ör ett y (om y >0) där båda ligger i D =R Funktionen är inte en injektion 15 av 3
16 H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic Vi kan dra samma slutsats med hjälp av graen Om vi ritar graen till då ser vi att det inns (minst en ) linje parallell med x-axeln som skär kurvan i minst två t punkter (y har två originaler) som betyder att inte är en injektion x y x 1 y ====== ========= ========= ========= ==== INVERSA FUNKTIONER Deinition 10 (Invers unktion) Låt : A B vara en injektiv unktion med deinitionsmängdenn D och värdemängd den V Låt vidare {( x, : x D } vara unktionens gra Den inversa unktionen 1 : B A, deinieras genom {( y, x) : där ( x, } (Anmärkning: Ovanstående deinition används i analyskurserna I diskret matematik deinierar man inversen endast ör bijektiva unktioner) Enligt deinitionen: ( x) y ( x dessutom D V, och V D Alltså, deinitionsmängden till inversen är samma som värdemängdenn till 1 Värdemängden till inversen är sammaa som deinitionsmängden till 16 av 3
17 Kommentar 1: Om vi betraktar som en relation då alltid existerar inversrelationen men den behöver inte vara en unktion Antagandet att är en injektion är viktigt Det garanterar att inversrelation är också en unktion Etersom vi antar att är en injektiv unktion då andra komponenten y örekommer högst en gång i graen Därmed den örsta komponent y i graen örekommer högst en gång och därör är relationen också en unktion Om inversunktionen existerar säger vi att är inverterbar Från deinitionen av inversunktionen ramgår öljande: En unktion : A B är inverterbar om och endast om är injektiv Hur bestäms inversen till en injektiv unktion? Vi betraktar två all: Fall 1 Om graen {( x, : x D } till : A B har ändligt många par då bildar vi {( y, x) : där ( x, } helt enkelt genom att byta plats på örsta och andra komponenter Exempel 19 Låt : A B där A={a,b,c,d}, B={1,,3,4,5}och {( a,1),( b,),( c,3)} a) Bestäm inversen till (om är inverterbar) b) Rita graerna till och Lösning: a) Funktionen är inverterbar etersom den andra komponenten i ett par örekommer högst en gång dvs varje element i B har högst ett original (med andra ord är en injektiv unktion) Vi år inversen genom att byta plats på koordinaterna: {(1, a),(, b),(3, c)} b) Graen till kan vi å mad hjälp av graen till, genom att ange pilarna i motsats riktning (Alternativt kan vi rita en ny gra med B till vänster) Graerna till och : 17 av 3
18 Fall Om graen {( x, : x D } till : A B har ändligt många par då anges unktionen otast med hjälp av ett uttryck och deinitionsmängden dvs på ormen y ( x), x D För att bestämma om är inverterbar, löser vi x ur ekvationen y (x) i) Om vi, ör varje y B, år högst en lösning x g( i deinitionsmängden D då är inverterbar med inversen g ( dvs 1 ( g( ii) Om det inns två (eller lera) lösningar i deinitionsmängden saknar inversen D ör minst ett y B då Exempel 0 Bestäm om : R R är en inverterbar unktion Om svaret är ja bestäm inversen a) y ( x) x 3, x b) ( x) x, x c) ( x) x, x 0 Lösning: a) Vi löser ut x ur ekvationen y x 3 y 3 Vi har y x 3 x y 3 x Vi år högst en lösning (den här gången, exakt en lösning) ör varje unktionen är injektiv och därmed inverterbar 3 Vi har även ått inversen ( ) y 1 y Anmärkning: Man otast betecknar oberoende variabel med x så att man kan skriva 3 ( ) x 1 x y R som betyder att b) Vi löser ut x ur ekvationen y x Vi har y x x y Som vi ser rån lösningen kan vi å två lösningar y ör ett y (om y>0) Båda lösningar ligger då i deinitionsmängden D = (, ) T ex ör y= 9 har vi två x-värden x = 3 och x = 3 och båda ligger i D Därör drar vi slutsatsen att unktionen inte är inverterbar c) ( x) x, x 0 Notera att deinitionsmängden är D = (,0) (och inte hela R som i b-uppgiten) Vi löser ut x ur ekvationen y x Vi har y x x y Etersom x 0 enligt unktionens deinition accepterar vi endast lösningen x y Därmed har vi högst en lösning i D, som betyder att unktionen är inverterbar och har inversen 1 ( y ======================================= 18 av 3
19 BLANDADE ÖVNINGAR Uppgit 1 Relationen rån A={a,b,c,d} till B={m,n,p} deinieras som {( a, m),( a, n),( b, m),( b, n)} Bestäm relationens i) startmängd ii) målmängd iii) deinitionsmängd iv) värdemängd v) invers Svar: i) Startmängden är A={a,b,c,d} ii) Målmängden är B={m,n,p} iii) Deinitionsmängd är D={a,b} iv) Värdemängden är V={m,n} v) {( m, a),( n, a),( m, b),( n, b)} B A Notera att inversrelation alltid existerar (till skillnad rån inversunktion) Uppgit Vilka av öljande relationer rån A={1,,3,4,5} till B={a,b,c,d} är unktioner? i) 1 {(1, a),(, b),(3, c),(3, d)} ii) {(1, a),(, b),(, c),(3, d)} iii) 3 {(1, a),(1, b),(1, c),(3, d)} iv) {(1, a),(, a),(4, d),(5, d)} Svar: i) Nej, etersom 3 örekommer två gånger (dvs mer än en gång) som den örsta komponenten ii) Nej, etersom örekommer två gånger (dvs mer än en gång) som den örsta komponenten iii) Nej, etersom 1 örekommer tre gånger (dvs mer än en gång) som den örsta komponenten iii) Ja, etersom varje element rån A örekommer högst en gång som den örsta komponenten i relationen Uppgit 3 Funktionen : A B, där A={1,,3,4,5} och B={a,b,c,d} deinieras genom ={(1,a), (,b),(3,b),(4,a)} Bestäm unktionens i) startmängd ii) målmängd iii) deinitionsmängd iv) värdemängd Bestäm också v) (3) vi) (5) Svar: i) Startmängden är A={1,,3,4,5} ii) Målmängden är B={a,b,c,d} iii) Deinitionsmängd är D ={1,,3,4} iv) Värdemängden är V ={a,b} v) (3)=b vi) (5) är inte deinierad Uppgit 4 Låt R beteckna mängden av alla reella tal Funktionen : R R är deinierad som ( x) x, 1 x 3 Bestäm unktionens i) startmängd ii) målmängd iii) deinitionsmängd iv) värdemängd Bestäm också v) (3/) vi) (5) vii) Rita (grov skissera) en graisk bild till unktionen Svar: i) Startmängden är R ii) Målmängden är R iii) Deinitionsmängd är intervallet [1,3]= { x R, 1 x 3} iv) Värdemängden är intervallet [1,9] = { y R, 1 y 9} ( Om x antar alla värden mellan 1 och 3 då (x) antar alla värden mellan 1 och 9) v) (3/)=9/4 vi) (5) är inte deinierad 19 av 3
20 H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic vii) Graen består av den del av parabel y x som ligger ovann D =[1,3], Svar vii: Graen till y ( x ) x, 1 x 3 : Uppgit 5 Bestäm om : A B och g : C D är två lika unktioner där a) A={1,,3}, B={ m,n,p,q}, C={1,,3,4}, D={ m, n,p,q}, ={(1,m), (,p)}, g={(1,m), (,p)},( b) A={ 1,,3}, B= ={ m,n,p,q}, C={1,,3} }, D={ m,n,p}, ={(1,m), (,p)}, g={(1,m), (,p)},( c) A={ {1,,3}, B= ={ m,n,p,q}, C={1,,3}, D={ m,n,p,q}, ={(1,m), (,p)}, g={(1,m), (,p),(3,q)}(, d) A={1,,3}, B={ m,n,p,q}, C={1,,3}, D={ m,n,,p,q}, ={(1,m), (,p)}, g={(1,m), (,p)},( Lösning: Två unktioner : A B och g : C D som är deinierade med deras graer och g är lika om och endast om deras startmängder är lika, A=C, deras målmängder är lika B=D och slutligen deras graer är lika =g a) Funktionerna och g är inte lika etersom A C (olika startmängder) b) Funktionerna och g är inte lika etersom B D (olika målmängder) c) Funktionerna och g är inte lika etersom g (olika graer) d) Funktionerna och g är lika (etersom A C ={1,,,3}, B D ={ m,n,p,q} och g ={(1,m), (,p)} Uppgit 6 Låt R beteckna mängden av alla reella tal Bestäm om o är två lika unktioner där a) (x ) x 3, b) (x ) x 3, c) (x ) x 3, 1 x 5, 1 x 5, 1 x 5, g( x) x 3, g( x) x 3, g( t) t 3, 3 x 4 1 x 5 1 t 5 : R R och g : R R 0 av 3
21 Lösning: Två unktioner : A B och g : C D som är deinierade med uttryck y ( x) där x D resp y g( x) där x Dg är lika om och endast om deras startmängder är lika, A=C, deras målmängder är lika B=D, deras deinitionsmängder är lika, D Dg och slutligen ( x) g( x) ör x D Svar: a) Nej, etersom D Dg b) Ja c) Ja (I allmänt kan vi beteckna en oberoende variabel med vilken bokstav som helst) Uppgit 7 Bestäm om unktionen : A B där A={5,6,7,8,9} och B ={q,w,e,r,t} år inverterbar då a) {( 5, w),( 6,r),(7,w)} b) {( 5, r),(6, r),(7, r)} c) {( 5, t),(6, r),(7, w) Lösning: En unktionen : A B som är deinierad med sin gra är inverterbar om och endast om den är injektiv dvs om varje element i B har högst en original (med andra ord, om andra komponenten i graen örekommer högst en gång) a) Nej, w har två originaler (dvs w örekommer två gånger som andra komponent i graen ) b) Nej, r har tre originaler c) Ja, element rån B örekommer högst en gång i graen Uppgit 8 Bestäm om unktionen : R R år inverterbar då a) ( x) x 3, 5 x 5, b) ( x) 3x 8, 5 x 5 c) ( x) x 3, 0 x 5 Bestäm inversen i all är inverterbar Lösning: a) Från y x 3 har vi x y 3 För några y har vi två lösningar i D (T ex om y=4 har vi x Funktionen är inte inverterbar b) Från y 3x 8 har vi x ( y 8) / 3 dvs högst en lösning Funktionen är inverterbar med inversen 1 ( ( y 8) / 3 där 7 y 3 (deinitionsmängden till inversen är lika med värdemängden till ) Vi kan, om vi vill, beteckna den oberoende variabeln med x dvs vi an skriva ( x) ( x 8) / 3 där 7 x 3 c) Från y x 3 har vi x y 3 Etersom x>0 i D, har vi högst en lösning x y 3 i deinitionsmängden Därmed är unktionen inverterbar Inversen ges av ( y 3, där 3 y 8 (varör?) Allternativt, om vi betecknar den oberoende variabeln med x, kan vi skriva ( x) x 3, där 3 x 8 1 av 3
22 H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic Uppgit 9 Funktionen : R R år deinierad som (xx ) x 3, 3 x 5, a) Bestäm unktionens deinitionsmängd och värdemängd b) Bestäm inversenn samt inversens deinitionsmängd och värdemängdv d Lösning: a) Deinitionsmängden är intervallet D ( 3,5] { x R : 3 x 5} Om x antar alla värden i intervallet 3 x 5 då y ( x) x 3 antar alla värden i intervallet 9 y 13 Alltså är värdemängden V ( 9,13] b) Från y x 3 har vi x ( y 3) / Därmed ges inversen av a ( ( y 3) / där 9 y 13 Notera att och Svar: a) (3,5], ( 9,13] b) D D V V ( ( y 3) / där D V (9,13] (3,5] 3 D (9,13] 9 och V (3 5], Uppgit 10 Funktionen (x) x, x avbildar intervall D= = [, ] på värdemängden V a) Rita graen och bestäm värdemängdenn V b) Är unktionen inverterbar? c) Bestäm om g(xx ) x, med deinitionsmängden D [ 0, ] är inverterbar ( Vi behåller samma ormel men ändrar deinitionsmängden till t D [ 0, ] ) Lösning: a) Graen: av 3
23 H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic Värdemängden till är V=[,, 6] b) Vi ser på graen att det inns punkter y ( t ex y=5) sådana att ekvationen ( x) y har två lösningar som båda ligger i D= [ 1, ] Funktionen är INTE inverterbar c) y x x y x y Formellt har vi ått två lösningar men endast en lösning x y ligger i deinitionsmängdenn D [0, ] Funktionen g : Dg V g är inverterbar etersom, ör varje y, har ekvationen g( ( x) y precis en lösning i deinitionsmängdenn [0, ] 1 ( y D (där y y ligger i Vg = [, 6] ) 3 av 3
En bijektion mellan två mängder A och B som har ändligt antal element kan finnas endast om mängderna har samma antal element.
Inversa unktion BIJEKTION, INJEKTION, SURJEKTION Allmän terminologi I samband med variabelbyte vid beräkning av integraler har vi en avbildning mellan två mängder A och B, dvs en unktion : A B Vi har otast
Läs merEn bijektion mellan två mängder A och B som har ändligt antal element kan endast finnas om mängderna har samma antal element.
BIJEKTION, INJEKTION, SURJEKTION NUMRERBARA (eller UPPRÄKNELIGA) MÄNGDER Allmän terminologi. I samband med variabelbyte vid beräkning av integraler har vi en avbildning mellan två mängder A och B, dvs
Läs merDefinition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.
Deinitionsmängd FUNKTIONER. DEFINITIONSMÄNGD OCH VÄRDEMÄNGD. Deinition En unktion (eller avbildning ) rån en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.
Läs merSådana avbildningar kallar vi bijektioner mellan A och B (eller från A till B).
BIJEKTION, INJEKTION, SURJEKTION Allmän terminologi. I samband med variabelbyte vid beräkning av integraler har vi en avbildning mellan två mängder A och B, dvs en funktion f : A B. Vi har oftast krav
Läs merDagens teman. Mängdlära forts. Relationer och funktioner (AEE 1.2-3, AMII K1.2) Definition av de naturliga talen, Peanos axiom.
Dagens teman Mängdlära orts. Relationer och unktioner (AEE 1.2-3, AMII K1.2) Deinition av de naturliga talen, Peanos axiom. Relationer och unktioner Relationer Generell deinition: En relation R på mängden
Läs merY=konstant V 1. x=konstant. TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z = f ( x, LINEARISERING NORMALVEKTOR (NORMALRIKTNING) TILL YTAN.
Tangentplan Linjära approimationer TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z LINEARISERING NORMALVEKTOR NORMALRIKTNING TILL YTAN Låt z vara en dierentierbar unktion i punkten a b Då är N a b a b en normalvektor
Läs merarcsin(x) udda ( x) varken udda eller jämn alla reella tal ( 0, ) 1. y=a 1 x udda/jämn Värdemängd derivatan Definitionsmängd Arcusfunktioner
ARCUSFUNKTIONER Deinitionsmängd Värdemängd arcsin( [-, ] [, ] arccos( [-, ] [00, ] arctan( alla reella tal (, arccot( alla reella tal ( 0, derivatan udda/jämn udda varken udda eller jämn udda varken udda
Läs merARCUSFUNKTIONER. udda. arcsin(x) [-1, 1] varken udda eller jämn udda. arccos(x) [-1, 1] [ 0, π ] arctan(x) alla reella tal π π. varken udda eller jämn
Arcusunktioner ARCUSFUNKTIONER Deinitionsmängd Värdemängd derivatan udda/jämn arcsin() [-, ] [, ] arccos() [-, ] [ 0, ] arctan() alla reella tal (, ) arccot() alla reella tal ( 0, ) + + udda varken udda
Läs merDefinition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.
Deinitionsmängd FUNKTIONER. DEFINITIONSMÄNGD OCH VÄRDEMÄNGD. Deinition En unktion (eller vbildning ) rån en mängd A till en mängd B är en regel som till någr element i A ordnr högst ett element i B. Att
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om funktioner och relationer Mikael Hindgren 1 oktober 2018 Funktionsbegreppet Exempel 1 f (x) = x 2 + 1, g(x) = x 3 och y = sin x är funktioner. Exempel 2 Kan
Läs merDiskret matematik, lektion 2
Diskret matematik, lektion Uppgifter med (*) är överkurs, och potentiellt lite klurigare. Ni behöver inte kunna lösa dessa. 1 Uppgifter 1. Låt A = {1,, 3}, B = {a, b}. Vilka element finns med i... a) A
Läs merINVERSA FUNKTIONER DEFINITION. (invers funktion) Låt ff vara en funktion av en reell variabel med definitionsmängden DD ff och värdemängden VV ff. Vi säger att funktionen ff är inverterbar om ekvationen
Läs merH1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic
H009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic ABSOLUTBELOPP Några exempel som du har gjort i gymnasieskolan: a) b) 0 =0 c) 5 5 Alltså x Absolutbeloppet av ett tal x är lika med själva talet x om
Läs merExaminator: Armin Halilovic Undervisande lärare: Bengt Andersson, Elias Said, Jonas Stenholm
Tentamen i Matematik, HF93, 9 oktober, kl 8.5.5 Hjälpmedel: Endast ormelblad miniräknare är inte tillåten) För godkänt krävs poäng av möjliga poäng. Betgsgränser: För betg A, B, C, D, E krävs, 9, 6, 3
Läs merFöreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära
Inledande matematisk analys tma970, 010, logik, mängdlära Föreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära Dessa öreläsningsanteckningar kompletterar mycket kortattat kap 0 och appendix B i Persson/Böiers,
Läs merKap. 8 Relationer och funktioner
Begrepp och egenskaper: Kap. 8 elationer och funktioner relation, relationsgraf och matris, sammansatt relation reflexivitet, symmetri, anti-symmetri, transitivitet ekvivalensrelation, partialordning,
Läs merModul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer
Modul : Komplexa tal och Polynomekvationer. Skriv på formen a + bi, där a och b är reella, a. (2 + i)( 2i) 2. b. + 2i + 3i 3 4i + 2i 2. Lös ekvationerna a. (2 i)z = 3 + i. b. (2 + i) z = + 3i c. ( 2 +
Läs merBegreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken.
MÄNGDER Grundläggande begrepp och beteckningar egreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken. Vi kan beskriva (ange, definiera) en mängd som innehåller ändligt många element genom
Läs merSTABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Innehåll Stabilitet för en kritisk punkt (grundbegrepp) Stabilitet för ett linjärt homogent system
Läs merÖvningshäfte 3: Funktioner och relationer
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MAM100, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 3: Funktioner och relationer Övning H Syftet är att utforska ett av matematikens viktigaste begrepp: funktionen. Du har
Läs merTENTAMEN Kurs: HF1903 Matematik 1, moment TEN2 (analys) Datum: 29 okt 2015 Skrivtid 8:15 12:15
TENTMEN Kurs: HF9 Matematik moment TEN anals Datum: 9 okt 5 Skrivtid 8:5 :5 Eaminator: rmin Halilovic Rättande lärare: Fredrik Bergholm Elias Said Jonas Stenholm För godkänt betg krävs av ma poäng Betgsgränser:
Läs merKapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner
Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet
Läs merTentamen i Matematik 1 HF aug 2012 Tid: Lärare: Armin Halilovic
Tentamen i Matematik HF70 6 aug 0 Tid: 3. 7. Lärare: Armin Halilovic Hjälpmedel: Formelblad (Inga andra hjälpmedel utöver utdelat formelblad.) Fullständiga lösningar skall presenteras på alla uppgifter.
Läs merMängder och kardinalitet
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 28 september 2007 Mängder och kardinalitet Dessa blad utgör skissartade föreläsningsanteckningar kombinerat med övningar. Framställningen
Läs merBegreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken.
MÄNGDER Grundläggande begrepp och beteckningar Begreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken. Vi kan beskriva (ange, definiera) en mängd som innehåller ändligt många element genom
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER
Läs merAnalys av funktioner och dess derivata i Matlab.
Analys av unktioner oc dess derivata i Matlab. 5B47 Envariabelanalys Ludvig Adlercreutz, ME Hans Lindgren, IT Stockolm den 7 mars 7 Kursledare: Karim Dao Inneåll Uppgit 5...3 Uppgit 6...5 Uppgit 7...7
Läs merFöreläsning 8 i kursen Ma III, #IX1305, HT 07. (Fjärde föreläsningen av Bo Åhlander)
Föreläsning 8 i kursen Ma III, #IX1305, HT 07. (Fjärde föreläsningen av Bo Åhlander) Böiers 5.3 Relationer. Vi har definierat en funktion f: A B som en regel som kopplar ihop ett element a A, med ett element
Läs merSidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c
Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +
Läs merUppgifter om funktioner
Uppgifter om funktioner Mikael Forsberg September 27, 2004 1. Med hjälp av uttrycket y = x 2 så definierar vi tre funktioner: f 1 : R x x 2 R, f 2 : R x x 2 R f 3 : R x x 2 R, där R = {x R : x 0} Eftersom
Läs merRelationer och funktioner
Relationer och funktioner Joakim Nivre Uppsala universitet Institutionen för lingvistik och filologi Översikt Relationer: Binära relationer på mängder Mängd-, graf- och matrisnotation Egenskaper hos relationer
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
Föreläsning 3 Institutionen för matematik KTH VT 2018 Previously on Flervariabel 1 Analytisk geometri i R n, kap 10 1. Topologiska begrepp a. Omgivning b. Randpunkter, Inre punkter c. Öppen mängd, Sluten
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer
Läs merArmin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
ABSOLUTBELOPP Några eempel som du har gjort i gymnasieskolan: a) b) c) 5 5 Alltså et av ett tal är lika med själva talet om talet är positivt eller lika med et av är lika med det motsatta talet om är negativt
Läs merInstitutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall
Läs merockså en lösning: Alla lösningar, i detta fall, ges av
H009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic TRIGONOMETRISKA EKVATIONER A) Ekvationen sin( x ) = a (och liknande ekvationer) Ekvationen sin( x ) = a har lösningar endast om a (eftersom sin( x )
Läs merSF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 24 oktober 2013 kl Svar och lösningsförslag. z 11. w 3. Lösning. De Moivres formel ger att
SF11 Perspektiv på matematik Tentamen 4 oktober 013 kl 14.00 19.00 Svar och lösningsförslag (1) Låt z = (cos π + i sin π ) och låt w = 1(cos π 3 + i sin π 3 ). Beräkna och markera talet z11 w 3 z 11 w
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF okt 2018, Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic
Tentamen i Matematik, HF9 4 okt 8, Skrivtid: 4:-8: Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max 4 poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs, 9, 6, respektive poäng Komplettering:
Läs merAUTONOMA DIFFERENTIALEKVATIONER
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 AUTONOMA DIFFERENTIALEKVATIONER Stabilitet Fasporträtt AUTONOMA DE: Det är speciellt enkelt att rita ett riktningsfält för en ekvation av typen y F( y) (ekv) (eller
Läs merTENTAMEN 8 jan 2013 Tid: Kurs: Matematik 1 HF1901 (6H2901) 7.5p Lärare:Armin Halilovic
TENTAMEN 8 jan 0 Tid: 08.5-.5 Kurs: Matematik HF90 (6H90) 7.5p Lärare:Armin Halilovic Hjälpmedel: Formelblad (Inga andra hjälpmedel utöver utdelat formelblad.) Fullständiga lösningar skall presenteras
Läs merMatematiska uppgifter
Årgång 54, 1971 Första häftet 8. Bestäm alla reella tal x sådana att x 1 3 x 1 + < 0 (Svar: {x R: 1 < x < 0} {x R: < x < 3}) 83. Visa att om x > y > 1 så är x y 1 > x y > ln(x/y). 84. Undersök om punkterna
Läs merDefinitionsmängd, urbild, domän
5B1493, lekt 5, HT06 Funktioner Definition av begreppet Definition: Låt X och Y vara två mängder. En funktion f av typ X Y är detsamma som en delmängd av X Y, sådan att 1. Om (x, y) och (x, z) f, så är
Läs merRäta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom som är parallell med
RÄTA LINJER OCH PLAN Räta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom punkten P = ( x, y, som är parallell med vektorn v = v, v, v ) 0. ( 3 P Räta linjens ekvation på parameterform kan man ange
Läs merStokastiska variabler
Sannolikhetsteori ör MN1 ht 2004 2004-09 - 07 Bengt Rosén Stokastiska variabler Deinition av stokastisk variabel Den matematiska beskrivningen av ett slumörsök är ett ar (Ω, P( )), där utallsrummet Ω är
Läs merVectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem.
Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem. Begrepp som diskuteras i det kapitlet. Vektorer, addition och multiplikation med skalärer. Geometrisk tolkning. Linjär kombination av
Läs merExplorativ övning 4 ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT. Övning A
Explorativ övning 4 ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT Första delen av övningen handlar om begreppet funktion. Syftet är att bekanta sig med funktionsbegreppet som en parbildning. Vi koncentrerar oss på tre viktiga
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs merÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT AVSNITT 4
VSNITT ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT Är det möjligt att jämföra storleken av olika talmängder? Har det någon mening om man säger att det finns fler irrationella tal än rationella? Är det överhuvudtaget möjligt
Läs merIntroduktion till funktioner
Introduktion till funktioner Mikael Forsberg 5 februari 010 1 Introduktion Ordet funktion kommer från latinets functio som har samma betydelse som det svenska ordet. Ordet har använts i Sverige åtminstone
Läs merTeorifra gor kap
Teorira gor kap. 5. 9.3 Repetition ) Härled ormeln ör partiell integration ur nedanstående samband: d F x g x = x g x + F x g x dx ) Vilken typ av elementär unktion brukar man otast välja att derivera
Läs mer4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA 206-03-4 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade
Läs merTentamen i Matematik 1 HF1901 (6H2901) 4 juni 2008 Tid:
Tentamen i Matematik HF9 (6H9) 4 juni 8 Tid: 85 5 Lärare: Agneta Ivarson, Armin Halilovic, Bengt Mattiasson, Taras Kentrschynskyj, Ulf Djupedal Hjälpmedel: Formelblad (Inga andra hjälpmedel utöver utdelat
Läs merR LÖSNINGG. Låt. (ekv1) av ordning. x),... satisfierar (ekv1) C2,..., Det kan. Ekvationen y (x) har vi. för C =4 I grafen. 3x.
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Begynnelsevärdesproblem Enkla DE ALLMÄN LÖSNING PARTIKULÄR LÖSNING SINGULÄR R LÖSNINGG BEGYNNELSEVÄRDESPROBLEM (BVP) Låt ( n) F(,,,, y ( )) vara en ordinär DE av
Läs merBanach-Tarskis paradox
Banach-Tarskis paradox Tony Johansson 1MA239: Specialkurs i Matematik II Uppsala Universitet VT 2018 Banach-Tarskis paradox, bevisad 1924 och döpt efter Stefan Banach och Alfred Tarski, är en sats inom
Läs merIntroduktion till funktioner
Introduktion till funktioner Mikael Forsberg 27 mars 2012 1 Introduktion Ordet funktion kommer från latinets functio som har samma betydelse som det svenska ordet. Ordet har använts i Sverige åtminstone
Läs merÖvningar till kapitel 1
Övningar till kapitel. Skissera för hand och/eller med Maple de delmängder av R som beskrivs av följande ekvationer och olikheter. a) > 0, >0 b) = +, 0, 0 c) = d) e) = f) >3 g)
Läs mer1 Dimensionsanalys och π-satsen.
Dimensionsanalys och π-satsen. Då man örsöker ställa upp en matematisk modell ör något ysikaliskt enomen skall man alltid göra dimensionsanalys. Dimensionsanalys handlar om att undersöka hur givna ysikaliska
Läs merRÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER ----------------------------------------------------------------- Låt u vara en vektor med tre koordinater, u = x, Vi säger att u är tredimensionell
Läs merx f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a
Elementa Årgång 50, 967 Årgång 50, 967 Första häftet 2603. Låt ξ, ξ 2,..., ξ n vara stokastiska variabler med väntevärden E[ξ i ], i =, 2,..., n. Visa att E[max(ξ, ξ 2,..., ξ n )] max(e[ξ ], E[ξ 2 ],...,
Läs mer(N) och mängden av heltal (Z); objekten i en mängd behöver dock inte vara tal. De objekt som ingår i en mängd kallas för mängdens element.
Grunder i matematik och logik (2017) Mängdlära Marco Kuhlmann 1 Grundläggande begrepp Mängder och element 2.01 En mängd är en samling objekt. Två standardexempel är mängden av naturliga tal (N) och mängden
Läs merTATM79: Föreläsning 4 Funktioner
TATM79: Föreläsning 4 Funktioner Johan Thim augusti 08 Funktioner Vad är egentligen en funktion? Definition. En funktion f är en regel som till varje punkt i en definitionsmängd D f tilldelar precis ett
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 7 Institutionen för matematik KTH 12 september 2016 Injektiva funktioner En funktion är en regel som till varje tal i definitionsmängden ordnar ett bestämt tal i värdemängden. Injektiva funktioner
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merANDRAGRADSKURVOR Vi betraktar ekvationen
ANDRAGRADSKURVOR Vi betraktar ekvationen Ax + Bxy + Cy + Dx + Fy + G 0 (ekv) där minst en av A,B, eller C är skild från 0 En andragradskurva är mängden av alla punkter vilkas koordinater satisfierar en
Läs mer. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?
Repetition, Matematik 2, linjär algebra 10 Lös ekvationssystemet 5 x + 2 y + 2 z = 7 a x y + 3 z = 8 3 x y 3 z = 2 b 11 Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet 2 x + 3 y z = 3 x 2
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merexakt en exponent x som satisfierar ekvationen. Den okända exponent x i ekvationen = kallas logaritm av b i basen a och betecknas x =log
LOGARITMER Definition av begreppet logaritm Betrakta ekvationen =. Om a är ett positivt tal skilt från 1 och b >0 då finns det exakt en exponent x som satisfierar ekvationen. Den okända exponent x i ekvationen
Läs merTMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra
TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska
Läs mere = (e 1, e 2, e 3 ), kan en godtycklig linjär
Linjära avbildningar II Förra gången visade vi att givet en bas i rummet, e = (e 1, e 2, e 3 ), kan en godtycklig linjär avbildning F : R 3 R 3 representeras av en matris: Om vi betecknar en vektor u:s
Läs merNågra viktiga satser om deriverbara funktioner.
Några viktiga satser om deriverbara funktioner Rolles sats Differentialkalkylens medelvärdessats (=) 3 Cauchys medelvärdessats Sats Om funktionen f är deriverbar i en punkt x 0 så är f kontinuerlig i samma
Läs merArmin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
ABSOLUTBELOPP Några exempel som du har gjort i gymnasieskolan: a) = b) 0 =0 c) 5 = 5 Alltså x 0 et av ett tal x är lika med själva talet x om talet är positivt eller lika med 0 et av x är lika med det
Läs merKompendium om. Mats Neymark
960L09 MATEMATIK FÖR SKOLAN, Lärarlftet 2009-02-24 Matematiska institutionen Linköpings universitet 1 Inledning Kompendium om KÄGELSNITT Mats Nemark Detta kompendium behandlar parabler, ellipser och hperbler
Läs merFlervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar läsvecka 2
Flervariabelanals I Vintern Översikt öreläsningar läsvecka Denna vecka ägnas nästan uteslutande åt problemet att hitta största och minsta värden till en unktion av lera variabler. Vi kommer att studera
Läs merMYSTERIER SOM ÅTERSTÅR
Matematiska institutionen Stockholms universitet C.G. Matematik med didaktisk inriktning 2 Problem i Algebra, geometri och kombinatorik Snedsteg 6 MYSTERIER SOM ÅTERSTÅR Mysteriet med matrisinversen. Det
Läs merMATLAB LABORATION INOM KURSEN LINJÄR ALGEBRA MED GEOMETRI
Sidan av Daniel Helén IT, Bengt Ek ME och Christoer Lindqvist IT Innehållsörteckning: Uppgit Uppgit 6 Uppgit 9 Uppgit 4 KTH, ICT orum, 64 4 Kista Inlämningsdatum: 6-- Sidan av D. Helén B. Ek C. Lindqvist
Läs merÖvningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till
Läs merEftersom ON-koordinatsystem förutsätts så ges vektorernas volymprodukt av:
MATA15 Algebra, delprov, 6 hp Lördagen den 8:e december 01 Skrivtid: 800 100 Matematikcentrum Matematik NF Lösningsförslag 1 Ligger punkterna P 1 = (0, 1, 1), P = (1,, 0), P = (, 1, 1) och P 4 = (, 6,
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 533 DEL A Planet H ges av ekvationen 3x y + 5z + a) Bestäm en linje N som är vinkelrät mot H ( p) b) Bestäm en linje L som inte skär planet H ( p)
Läs merLektion 1. Kurvor i planet och i rummet
Lektion 1 Kurvor i planet och i rummet Innehål Plankurvor Rymdkurvor Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation
Läs merTentamen Matematisk grundkurs, MAGA60
MATEMATIK Karlstads universitet 2010-11-02, kl 8.15-13.15 Hjälpmedel: Inga Ansvarig lärare: Håkan Granath Tel: 2181, alt. 0735-37 37 34 Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 För uppgift 1 skall endast
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 010 kl 14.00-19.00. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Betygsgränser:
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merModul 1 Mål och Sammanfattning
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation
Läs merMöbiusgruppen och icke euklidisk geometri
94 Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri Lars Gårding Lunds Universitet Meningen med detta förslag till enskilt arbete är att alla uppgifter U redovisas skriftligt med fulla motiveringar och att alla
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs merM0038M Differentialkalkyl, Lekt 10, H15
M0038M Differentialkalkyl, Lekt 10, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 31 Repetition Lekt 9 Bestäm största värdet av 5 sin v + 12 cos v. Staffan Lundberg M0038M
Läs mer= ( 1) ( 1) = 4 0.
MATA15 Algebra 1: delprov 2, 6 hp Fredagen den 17:e maj 2013 Skrivtid: 800 1300 Matematikcentrum Matematik NF Lösningsförslag 1 Visa att vektorerna u 1 = (1, 0, 1), u 2 = (0, 2, 1) och u 3 = (2, 2, 1)
Läs merRelationer och funktioner
MAAA26 Diskret Matematik för Yrkeshögskoleutbildning-IT Block 11 BLOCK INNEHÅLL Referenser Inledning 1. Relationer 2. Funktioner 3. Övningsuppgifter Assignment 11 & 12 Referenser Relationer och funktioner
Läs merLösning till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment B, för D2 och F, SF1631 och SF1630, den 1 juni 2011 kl
Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik moment B för D2 och F SF63 och SF63 den juni 2 kl 8.- 3.. Examinator: Olof Heden tel. 7354789. Hjälpmedel: Inga
Läs merx ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet
Läs merUppgift 1. a) Bestäm alla lösningar till ekvationen. b) Lös olikheten. Rita följande andragradskurvor:
Tentamen i MATEMATIK, HF 700 9 nov 007 Tid :5-7:5 KLASS: BP 07 Lärare: Armin Halilovic Hjälpmedel: Miniräknare av vilken tp som helst, en formelsamling och ett bifogat formelblad. Tentamen består av 8
Läs merNEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto Raphsos metod NEWTON-RAPHSONS METOD (e metod ör umeris lösig av evatioer Måga evatioer är besvärligt och iblad äve omöjligt att lösa eat. Då aväder ma umerisa metoder
Läs merLinjär algebra på några minuter
Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen
Läs meri=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n
Årgång 48, 1965 Första häftet 2505. Låt M = {p 1, p 2,..., p k } vara en mängd med k element. Vidare betecknar M 1, M 2,..., M n olika delmängder till M, alla bestående av tre element. Det gäller alltså
Läs merTisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar
1 Tisdag v 2 Speglingar, translationer och skalningar Ofta i matematik och i matematiska kurser är det så att man måste kunna några grundläggande exempel utantill och man måste kunna några regler som säger
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH
Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment B, för D2 och F, SF63 och SF63, den 25 maj 2 kl 8.-3.. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.
Läs mer14 min 60 s min 42 s 49m 2 =18 s m 2, alltså samma tid. Vi kan säga att den tid som mamman behövde åt dammsugning var beroende av husets storlek.
PASS 10. FUNKTIONER 10.1 Grundbegrepp om funktioner Mamman i den finländska modellfamiljen från pass fyra brukade dammsuga det 100 m 2 stora huset varje lördag. Det tog 30 minuter. Efter att pappan hade
Läs mer2MA105 Algebraiska strukturer I. Per-Anders Svensson
2MA105 Algebraiska strukturer I Per-Anders Svensson Föreläsning 4 Innehåll Bijektiva avbildningar en repetition Permutationsgrupper Permutationer skrivna som produkter av cykler Jämna och udda permutationer
Läs merKinesiska restsatsen
Matematik, KTH Bengt Ek juli 2017 Material till kurserna SF1679 och SF1688, Diskret matematik: Kinesiska restsatsen Vi vet att för varje m Z + och varje a Z, ges alla x Z som uppfyller x a (mod m) av x
Läs merStora bilden av Linjära algebran. Vektorrum, linjära transformationer, matriser (sammanfattning av begrepp)
Stora bilden av Linjära algebran. Vektorrum, linjära transformationer, matriser (sammanfattning av begrepp) Linjär algebra består av tre grenar eller koncept: geometriska begreppet av vektorrum, analysbegreppet
Läs mer