Flervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar läsvecka 2

Transkript

1 Flervariabelanals I Vintern Översikt öreläsningar läsvecka Denna vecka ägnas nästan uteslutande åt problemet att hitta största och minsta värden till en unktion av lera variabler. Vi kommer att studera tre olika situationer, var och en krävande sitt speciella angreppssätt. ) Lokala ma och min ) Ma och min på kompakta mängder 3) Ma och min med bivillkor För unktioner av en variabel brukar man som bekant lösa ekvationen ' punkter där eventuellt har ett etremvärde. Motsvarigheten ör en unktion av två variabler,,, är att man löser Ekvationssstemet. En lösning till ett sådant sstem kallas ör stationär punkt. ör att hitta En stationär punkt kan vara ett lokalt maimum eller minimum, men också en så kallad sadelpunkt, som är varken eller. Ett tpeempel på en sadelpunkt är origo till unktionen,.

2 Lokala ma och min Adams 3. Vi kommer under veckans örsta öreläsning reda ut hur man hittar lokala etremvärden till en unktion av lera variabler (i de lesta all två), vilket i stor utsträckning går ut på att söka upp stationära punkter och bestämma karaktären hos dessa. Grunden ör denna process läggs i avsnittet om Talorutvecklingar, ett begrepp som naturligtvis även har många andra användningsområden. Karaktären av en stationär punkt avgörs av de tre andraderivatorna på öljande vis: A Låt B och inör den kvadratiska ormen Qh, k Ah Bhk Ck. C Nu gäller (i stort) att om Q har vi ett lokalt maimum. om Q har vi ett lokalt minimum. om Q antar både positiva och negativa värden har vi en sadelpunkt. Eempel: bestäm alla lokala etremvärden till, e Lösning: vi bestämmer örst stationära punkter genom att lösa e e e Ur den övre ekvationen år vi att måste vara ; det använder vi i den nedre ekvationen och år att måste vara. Den enda stationära punkten är alltså,, Anmärkning: bestämning av stationära punkter leder till ett ekvationssstem som nästan alltid är olinjärt. Det inns ingen universell metod att lösa sådana, och i många all är de mcket svåra. Man lckas dock ota genom att aktorisera de ingående uttrcken. Vi bestämmer sedan andraderivatorna: A e B e C e I,, blir A B C e e Q h, k h k e som uppenbarligen är.,, är öljaktligen ett lokalt minimum. Alltså blir Punkten

3 Ma och min över kompakta områden Adams 3. Ibland ställs man inör problemet att hitta ett största eller minsta värde ör en unktion över ett speciikt område. Eempel: hur stort kan bli om? Om det angivna området är kompakt, dvs slutet och begränsat, underlättas undersökningen, t då vet man rån början att ett största eller minsta värde eisterar, och man kan också ganska väl beskriva var man skall leta. Problemet är alltså: sök största och minsta värde ör punkt där ett sådant ma eller min antas måste vara a) en stationär punkt i det inre av D. b) en randpunkt till D. c) en hörnpunkt till D., på det kompakta området D. En Eter hand år man en väande lista av kandidater till ma och min, och när listan är klar behöver man bara jämöra unktionsvärdena. Det är alltså inte nödvändigt att ör varje punkt reda ut huruvida man hittat ett lokalt etremvärde och om det i så all är ma eller min, vilket örkortar arbetet avsevärt. Eempel: Bestäm största och minsta värde till, triangeln med hörn i,,, samt, på Lösning: Vi kallar triangeln ör D och söker örst stationära punkter i det inre av D. 3

4 Vi år två all, beroende på om eller är. i den nedre ekvationen ger i den nedre ekvationen ger.,,, ligger i D. Så vi har tre stationära punkter men bara en, Däreter betraktar vi randen av D. Denna delas upp i triangelns tre sidor. Vi studerar sidan längs den sneda linjen : 3 Sätt h, ; vi söker lösningar till. h 3 3 h i intervallet Detta ger oss två punkter,,, respektive, 3 3 Man studerar sedan de två övriga två sidorna där man på samma sätt hittar 3 punkterna,, respektive, Till sitt gör man en lista med de unna punkterna, tillsammans med tre hörnpunkter:,,, 3 3, 3, 7 6 9,,, Svar: största värde är, minsta värde är 9 Om området inte är kompakt blir undersökningen genast svårare, men man kan ibland genom att betrakta den aktuella unktionen ändå dra de slutsatser som krävs. Eempel: har, e något största eller minsta värde i? Lösning: området är inte kompakt etersom det är obegränsat. Emellertid ser vi på unktionen att, (negativ eponent), att,, samt att lim,. Vi kan alltså dra slutsatsen att värde saknas., har ett största värde, men att minsta

5 Ma och min med bivillkor Adams 3.3 Det tredje och sista allet vi studerar kallas optimering med bivillkor. Här letar man eter största och minsta värde av en unktion på en mängd som i tvåvariabelallet ota utgörs av en kurva och i trevariabelallet av en ta. Man kan till eempel råga sig hur stort kan bli om det gäller att. Bivillkoret kommer att beskrivas av en eller lera ekvationer av tpen g,. Man kan visa att under vissa örutsättningar kommer ma och min att antas i en punkt där gradienterna är parallella. Eempel: Bestäm största och minsta värde till,, z 8 z z. om Lösning: Sätt g,, z z. Bivillkoret kan alltså skrivas g och bildar här ett kompakt område (en ellipsoid), och största och minsta värde kommer att antas i punkter där grad // grad g. Vi skriver grad g grad och år öljande ekvationssstem: z z 8 Vid lösningen av ett sådant sstem vill man gärna eliminera vars värde sällan är intressant. Ur de tre örsta ekvationerna år vi att sista: z z, z ; det sätter vi in i den z och hittar på detta vis två punkter,,, Svar: största värde är,,, minsta värde är,, Man måste vara noga med att kontrollera örutsättningarna innan man börjar räkna med parallella gradienter. Om man till eempel vill hitta största och minsta värde till en unktion ( ) på ett plan,, är området inte längre kompakt (planet är ju obegränsat), och då är det inte ens säkert att största och minsta värde eisterar. Ota måste man i det läget hitta helt andra metoder.