Om för en reellvärd funktion f som är definierad på mängden D gäller följande

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Om för en reellvärd funktion f som är definierad på mängden D gäller följande"

Marie Engström
för 5 år sedan
Visningar:

1 OPTIMERING PÅ KOMPAKTA OMRÅDEN. Om för en reellvärd funktion f som är definierad på mängden D gäller följande 1. D är en KOMPAKT mängd. funktionen f är KONTINUERLIG på D då antar f sitt största och sitt minsta värde ( dvs funktionen har globalt maimum och globalt minimum). För att bestämma funktionens största och minsta värde på en kompakt ( dvs begränsad och sluten) mängd analserar vi 1. eventuella stationära och singulära punkter i det inre delen av D. största och minsta värden på randen och därefter väljer globalt maimum och globalt minimum. {Vi behöver inte bestämma för varje stationär, singulär punkt, intressanta randpunkter ( etrempunkter på randen), om de är lokala maimi- eller minimipunkter. Det är tillräckligt att helt enkelt jämföra och välja största / minsta värde bland funktionens värden i de punkterna} Uppgift 1. f (, = + i området D som definieras av Definitionsområdet är kompakt ( begränsad och sluten ), funktionen är kontinuerlig på D. Därför har (antar) funktionen största och minsta värde. Vi undersöker 1. Det inre av D och. randen till D. 1a. Stationära punkter i det inre av D Vi löser sstemet: f, f 1 av 7

2 I vårt fall f = 1 och f = och därmed har vi ingen stationär punkt ( 1b. Singulära punkter i det inre av D saknas eftersom f är deriverbar i det inre av D ). Randen Randen är en ellips med ekvationen =. Från den här ekvationen löser vi ut en variabel t e Vi har två lösningar = ± där 1 1 ( för att få reella ) a) Först undersöker vi funktionen f om = +, 1 1 : Vi har f =, och (viktigt) 1 1. Vi har fått en envariabelfunktion definierad på ett slutet intervall 1 1. För kollar stationära punkter och ändpunkter : f ( = = = 1 = (därmed 0) = = + = + motsvarande = + = Alltså vi har fått en punkt P ( 1, ) som ligger i ( det inre av) intervallet 1 1. Vi beräknar funktionens värde i punkten, f ( P 1 ) = (*). I intervallets ändpunkter har vi =0 dvs P (0, 1) och P (0,1). Vi beräknar funktionens värden i de punkterna och får f ( P ) + ( 1) = (**) f ( P ) + 1 = (***) b) Nu undersöker vi funktionen f om =, 1 1 : av 7

3 Vi har f =, och (viktigt) 1 1. För kollar stationära punkter ( ändpunkter är samma som i a och vi har vi redan kollat dem) f ( = = (därmed 0) = = = = 1 = motsvarande = = Alltså har vi fått en punkt P 4 (, ) som ligger i intervallet 1 1. Vi beräknar funktionens värde i punkten, f ( P 4 ) = (****). Nu jämför vi värdena i punkter P 1 P 4 f ( P 1 ) = f ( P ) = f ( P ) = f ( P 4 ) = Vi ser att funktionens största värde är och minsta. Svar: Funktionens största värde är och minsta. ============================================================== I ovanstående eempel beskrivs randen med endast en ekvation. I sådana fall kan det låna sig att försöka finna största och minsta värden på randen med hjälp av Lagranges metod. Vi löser samma uppgift med hjälp av Lagranges metod. =================================================== Uppgift. f (, = + av 7

4 i området D som definieras av. Använd Lagranges metod för att bestämma största och minsta värden på randen. 1. Det inre av D På samma sätt som i uppgift 1 ser vi att funktionen saknar stationära punkter eftersom f = 1 och f =.. Randen = Största och minsta värden på randen den här gången bestämmer vi med hjälp av Lagranges metod Vi betecknar g (, = + och bildar Lagranges funktion F = f (, + λg(,, dvs F = + + λ ( + ). Därefter löser vi sstemet F F g I vårt fall har vi = 1+ λ = + 4λ + Från första ekvationen har vi 1 λ = som vi substituerar i andra ekv. och får = Till slut substituerar vi = i tredje ekv. och får + = = ± = ± Eftersom = har vi två punkter 4 av 7

5 P (, ) med och f ( P) = och Q (, ) med f ( Q) =. f och f = f ( Q) = Därför är = f ( P) ma = min Det är uppenbart att Lagranges metod, den här gången, krävde mindre beräkningar än direkt substitutions metod som i uppgift 1. Svar: Funktionens största värde är och minsta. Uppgift. f + (, = 1+ 4 i området D som definieras av a. Det inre av D Sstemet f = f = 8 har en stationär punkt P 1 (0,0) med f(p 1 ) =1 ( 1b. Singulära punkter i det inre av D saknas eftersom f är deriverbar i det inre av D ). Randen + = 1 Största och minsta värden på randen den här gången bestämmer vi med hjälp av Lagranges metod: Vi betecknar g (, = + 1 och bildar Lagranges funktion F = f (, + λg(,, alltså F = λ ( + 1). Därefter löser vi sstemet 5 av 7

6 F F g I vårt fall har vi = + λ (1 + λ) { eller λ = 1} = 8 + λ (4 + λ) { eller λ = 4} + 1 Vi har 4 lösningar: R 1 (0,1), med f(r 1 )= 5 R (0, 1), med f(r ) = 5 R (1,0) med f(r )= och R 4 ( 1,0) med f(r 4 )= Till slut jämför vi f(p 1 ) =1, f(r 1 )= 5, f(r ) = 5, f(r )=, f(r 4 )= och ser att funktionens största värde är 5 och minsta 1 Svar: Funktionens största värde är 5 och minsta 1. Uppgift 4. f (, = ( = i ( den slutna) triangeln med hörn i A(0,0), B(,0) och C(0,). 1. Stationära punkter i det inre av D ( triangeln ABC) Vi löser sstemet: f, f Vi har f f = 4 = ( = 4 = ( av 7

7 Vi faktoriserar sstemet och kombinerar faktorer från första ekvationen med faktorer från andra ekvationen Följande fra enkla sstem får vi 1.,.,. och 4. Som gör lösningar (0,0), (, 0), (0,), och (1,1). Första tre är rand punkter ( som vi undersöker nedan i. Randpunkter :) medan fjärde punkt S( 1,1) ligger i det inre delen av D. Vi beräknar f(s)= och jämför detta värde, i slutet av undersökningen, med andra tänkbara största/ minsta värden.. Singulära punkter i det inre saknas.( Funktionen är deriverbar i D och har därmed ingen singulär punkt). Randpunkter : Vi undersöker funktionens värden på längs AB, BC och AC. För att inte glömma hörnpunkter, beräknar vi först värdena i A, B och C f(a), f(b), f(c). Vi undersöker sträckan AB som har ekvationen, = t där 0 t, eller ännu enklare, = där varierar mellan 0 och dvs 0, Därmed blir f för alla punkter på AB samma gäller för sträckan AC, f för alla punkter på AC För sträckan BC har vi = + som vi substituerar i f(, och får f (, = ( )( ( )) Därmed blir det f för alla punkter på BC Om vi jämför värdena på randen och i det inre ser vi att funktionens största värde är och minsta värde är 0. Svar. Funktionens största värde är och minsta värde är 0. 7 av 7

Relevanta dokument

Existensen av största och minsta värde är inte garanterad i det här fallet.

Existensen av största och minsta värde är inte garanterad i det här fallet. OPTIMERING PÅ ICKE-KOMPAKTA OMRÅDEN. Låt f,..., ) vara en reell funktion med en icke-kompakt definitionsmängd D. ( n Eistensen av största och minsta värde är inte garanterad i det här fallet. För att bestämma