n : R vara en reell funktion av n variabler och P 0 en punkt i funktionens definitionsområde D.

Transkript

1 EXTREMVÄRDEN OCH EXTREMPUNKTER. LOKALA OCH GLOBALA EXTREMPUNKTER Definition 1. Låt f : R n : R vara en reell funktion av n variabler och P en punkt i funktionens ionsområde D. Vi säger att f har ett lokalt maximum i punkten P om det finns ett (oavsett hur litet ) klot K med centrum i P så att f P) f ( P ) för alla punkter P i K D ( [Om f ( P) < f ( P ) för alla P P i K D då har funktionen ett strängt lokalt maximum ] Punkten P kallas en lokal maximipunkt. Funktionens värde f(p) kallas ett lokalt maximivärde [ett strängt lokalt maximivärde] Om f P) f ( P ) för alla punkter i hela ionsmängden D ( säger vi att funktionen har sitt globalt maximum eller största värde i P. (På liknande sätt definierar vi lokalt / globalt imum.) ====================================================== Definition. Låt f : R n : R vara en reell funktion av n variabler och P en inre punkt i funktionens ionsområde D. Punkten P är en stationär punkt om f är deriverbar i punkten och om alla partiella derivator av första ordningen är lika med i punkten P : Definition 3. Maximi- och imipunkter kallas med ett gemensamt namn extrempunkter. En stationär punkt som är varken maximipunkt eller imipunkt kallas sadelpunkt. Extrempunkter söker vi bland: 1. STATIONÄRA PUNKTER. RANDPUNKTER 3. INRE SINGULÄRA PUNKTER, dvs inre punkter i ionsmängden som saknar st en partiell derivata. Exempelvis punkten (,) är en singulär punkt för koniska ytan 1 av 5

2 f + = x y eftersom partiella derivator är ej definierade i punkten. [Funktionen har imum f = i punkten (,) ; skissera ytan] STATIONÄRA PUNKTER OCH TAYLORS FORMEL Stationära punkter bestämmer vi genom att finna alla lösningar till systemet =, =, L,, x1 x x n som ligger i inre delen av funktionens ions område. = För att avgöra om en stationär punkt imipunkt, kan vi använda Taylors formel av andra ordningen: Låt t ex f=f(x,. I en stationär punkt (a, till f blir partiella derivator av första ordningen = och därför blir Taylors formel av andra ordningen kring (a, : 1 f ( a + h, b + = f ( a, + [ h ( a, + hk ( a, + k ( a, ] + R! x xy y Vi betecknar A = ( a, B = ( a, C = ( a, x xy y och Q ( h, = Ah + Bhk + Ck. 1. Från Taylors formel ser vi att om Q ( h, > för alla ( h, så är f ( a + h, b + > f ( a, och (a, en (sträng) lokal imipunkt.. Om Q ( h, < för alla ( h, så är f ( a + h, b + < f ( a, och (a, en (sträng) lokal maximipunkt. 3. Om Q ( h, antar såväl positiva som negativa värden så är (a, en sadelpunkt Därmed har vi följande fall för en stationär punkt (a, 1. Om Q ( h, > för alla ( h, så är (a, en lokal imipunkt. ( Vi säger att formen Q är ). Om Q ( h, < för alla ( h, så är (a, en lokal maximipunkt. ( Vi säger att formen Q är negativt ) 3. Om Q ( h, antar såväl positiva som negativa värden så är (a, en sadelpunkt ( Vi säger att formen Q är in ) av 5

3 I följande fall kan vi INTE bestämma punktens karaktär med andragrads Taylors formel utan måste använda andra metoder ( t ex direkt undersökning eller Taylors formel av högre ordning). Fall1. Om Q ( h, där det finns st en punkt ( h sådan att Q ( h1, =. ( Vi säger att formen Q är semi ) { Anmärkning: Om Q ( h1, = då är också Q ( th1, t = t Q( h = dvs i detta fall är Q= längs hela linjen ( th t.} Fall. Om Q ( h, där det finns st en punkt ( h sådan att Q ( h1, =. ( Vi säger att formen Q är negativt semi ) Fall3. Om Q ( h, dvs Q( h, = för alla ( h, ( fallet kan räknas som både eller negativt semi) Uppgift 1. Bestäm alla stationära punkter och avgör deras karaktär ( maximi-, imi-, sadelpunkt) 3 3 a) f ( x, = 1 + x + y 3xy x + y + y+ 5 f ( x, = e c) f ( x, = x x y + y d) f ( x, = x + y 1xy e) f ( x, = x + y 6xy f) f ( x, = xy x y + Lösning a) f x = 3x 3y f y = 3y 3x f x = 3x 3y = x f y = 3y 3x = y Från ekv 1 får vi y = x (*) som vi substituerar i ekv : 3 x x = x( x 1) = y = x = x1 =, x = 1 Från (*) y 1 =, y = 1 Vi har fått två stationära punkter (,) och ( 1) A = f xx = 6x, B f = 3, C = f yy = 6y = xy 1. Stationär punkt (,) För punkten (,) får vi Q 3hk som antar både positiva och negativa värden och därmed är stationära punkten (,) en SADELPUNKT. 3 av 5

4 . Stationär punkt (1) För punkten (1) har vi 6h 6hk. För att avgöra göt vi en kvadratkomplettering: 1 3 Q = 6h 6hk = 6[( h + k ]. Det är uppenbar att Q och därför har vi två möjligheter : Antingen är Q ( dvs Q= endast i punkten (,) ) eller semi form ( dvs Q= i st en punkt ( h, ). För att avgöra frågan löser vi ekvationen Q= : Vi ser att Q= om och endast om följande villkor är uppfyllda 1 h k = h =, k =. k = Alltså Q där Q= endast i punkten (,).Därmed är formen Q och stationära punkten (1) är en MINIMIPUNKT. Vi kan använda nedanstående tabell för att åskådligt göra föregående analys: Punkt A B C Q = Ah + Bhk + Ck Formens Punktens f(x, (,) -3 3hk in sadelpunkt 1 (1) h 6hk 1 3 = 6[( h + k ] a) Svar: (,) sadelpunkt, (1) imum imipunkt 9 Tips Punkt A B C Q = Ah + Bhk + Ck Formens (,-1) e e e h + e k Tips c) Punkt A B C Q = Ah + Bhk + Ck Formens (-) h k negativt Punktens f(x, imipunkt e Punktens f(x, maximipunkt 16 Tipsd) Punkt A B C Q = Ah + Bhk + Ck Formens Punktens f(x, (,) 1 hk + k in sadelpunkt 1 av 5

5 (6,18) 7 1 7h hk + k imipunkt 6 Svar till uppgift 1. a) Svar: (,) sadelpunkt, (1) imum Minimum f = e i punkten (, 1) c) Maximum f = max 16 i punkten ( ) d) Sadelpunkt i (,), f (,) = 1 och imum f = 6 i punkten ( 6,18) e) Sadelpunkt i (,), f (,) = 1 och imum f = 8 i punkten ( 1 ) f) (,) sadelpunkt, (1/6, 1/1) maximum Uppgift. Bestäm alla stationära punkter och avgör deras karaktär ( max, sadel,..) ( Tillhörande kvadratiska former är semia!) 3 a) f ( x, = 1 + x + y f ( x, = 1 + x + y c) f ( x, = 5 + x + y d) f ( x, = 5 x y 3 e) f ( x, y, z) = 3 + x + y + z f) f ( x, y, z) = 3 + x + y + z Lösning a): f x ( x, = x, f y ( x, = y 3 f xx =, f xy =, f yy = 1y En stationär punkt S(,) med motsvarande Q = h. Eftersom exempelvis Q (,3) = ( dvs Q(h,= i en punkt skild från (,) är formen semi. Därför kan vi inte använda andragrads Taylors formel för att bestämma punktens. Å andra sidan det är uppenbart, på grund av jämna potenser att f ( x, > f (,) = 1 för alla ( x,. Med andra ord har funktionen ( strängt) imum i punkten (,); f =1. Svar a) imipunkt (,). sadelpunkt (,) c) imipunkt (,) d) maximipunkt (,) e) imipunkt (,,) f) sadelpunkt(,,) 5 av 5