Övningstentamen i Matematik I för basåret (HF0021), del 2

Transkript

1 Övningstentamen i Matematik I för basåret (HF00), del. Bestäm g '() eakt till funktinen g() Funktinen f ( ) 5 är given. a) Bestäm med hjälp av derivatans definitin f () b) I punkten (,) dras en tangent till kurvan. Bestäm tangentens ekvatin.. Beräkna största ch minsta värde för funktinen y i intervallet. En 00 cm lång ståltråd böjs så att den bildar stmmen till ett rätblck (de heldragna linjerna i figuren). Basytan är kvadratisk. Bestäm rätblckets maimala vlym. 5. Om en människa faller i nllgradigt vatten, avtar krppstemperaturen T C epnentiellt med tiden. Efter 5 minuter är krppstemperaturen C Beräkna hur lång tid det tar ytterligare tills det att temperaturen har sjunkit till 5 C. Nrmal krppstemperatur är 7 C. 6. Lös ekvatinen. lg lg lg. Svara eakt.

2 7. Lägeskrdinaten s (m) hs ett föremål ges av funktinen s( t) 5,0e där t är tiden i sekunder. a. Beräkna medelhastigheten från t,0 s till t,0 s. b. Beräkna den mmentana hastigheten då t,0 s. 0,0t 8. I en förpackning fann man bakterier. Efter 6 dygn hade bakterierna ökat med 7% ch efter 96 dygn var bakteriernas massa 58 gram Beräkna den bakteriemassa sm fanns från början m tillväten antas ske epnentiellt med tiden. 9. Figuren visar en halv enhetscirkel. Ange med två decimaler krdinaterna för punkten P i figuren m vinkeln v. 0. I en triangel är vinkeln mellan två av sidrna 7. Den ena av dessa sidr har längden 5 cm. Triangelns tredje sida har längden 8,0 cm. Beräkna triangelns övriga vinklar.. I triangeln ABC är vinkeln C 50. Sidrna har längder sm framgår av figuren. Längdmåttet är cm. Beräkna sidrnas längder. Svara eakt. A + 6 C 50 B. Bestäm alla etrempunkter till funktinen f ( ) + Ange ckså för varje etrempunkt m det är en maimi- eller minimipunkt.

3 Lösningar:. g() 8 + > g ( ) 8 + ln + ln g () + ln + 6ln ; Svar: g ( ) + 6ln 5( + h) ( + h) h(5 h).a f ( ) lim lim 5 h 0 h h 0 h SVAR: 5.b k f ( ) 5 Enpunktsfrmeln ger y ( ) y + P (,) SVAR: y +. y y ( ) ( + )( ) y 6 y () < 0 lkal ma punkt ; y ma y ( ) > 0 lkal min punkt; ymin y( ) y() SVAR: största värde är 8; minsta värde. Sidrna i den kvadratiska bttenytan betecknas med ch höjden i rätblcket med h. Vlymen blir då: V h men givet är att 8 + h 00 dvs V (00 8) 0 < <, 5 5 V ( ) 00 8(5 ) V ( ) V ( ) 00 8 V ( ) 00 8 < 0 ma 5 5 V ma ( ) (00 8 ) cm 7 SVAR: 5. T T 7e 5 cm kt 5k 7e 7e k 9, SVAR: 5,5 minuter t 5 7e 9, ln 7 5 t 9, t 0,5 min

4 6. lg lg lg lg lg lg lg8 lg8 lg lg lg 7a. Medelhastigheten är s() s() 5e 0, 5e 0, 5( e 0,6 e 0, ),5079 Svar:,5 m/s 7b. Den mmentana hastigheten är derivatans värde då t, 0 y 0,t 5 0, e e 0,t 0, 0, t ger y e e, 98 Svar.,5 m/s 8. Efter tiden dygn finns mängden y gram bakterier y C a (epnentiell tillvät) 0 y C y 6 6 ( 6),7C C a,7c a,7 a 6 Mdell: y( ) C,7 där ,7 y (96) 58 C,7 58 C ,7 Svar: Mängden bakterier från början var 50 gram 6 9. sin( ) 0.8 samt cs ( ) - 0,56, Punkten har krdinaterna ( - 0,56 ; 0,8 )

5 0. Låt v vara vinkeln mt sidan sm är 5 cm lång. Sinussatsen ger sin 7 sin v v 58, eller v 80 58,,7. 8,0 5 v 58, ger att den tredje vinkeln blir , 9,7 95. v,7 ger att den tredje vinkeln blir 80,7 7,. Svar: 58 ch 95 eller ch.. Csinussatsen ger ( 6) ( ) cs ( ) ± ( 6) ± 7. Alltså: (Det negativa -värdet förkastas.) Alltså har triangelns sidr längderna + 7(, 65) cm, (+ 7) ( 6,) cm ch ( 9,65) cm. Svar: + 7 cm, (+ 7 ) cm ch cm. A + 6 C 50 B. Observera att definitinsmängden måste vara 0 < / f ( ) / + + f ( ) + f ( ) / 0 Teckenstudie: 0 [0 < ] + f () f() Alltså minimum! Svar: (,) lkal minimipunkt