Kapitel , 2102 Exempel som löses i boken a) Löneökning per månad: 400 kr. b) Skattehöjning per månad: 5576 kr 5376 kr = 200 kr.

Transkript

1 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Kapitel.1 101, 10 Eempel som löses i boken. 10 Löneökning per månad: 400 kr Förändring i årslön = kr = 4800 kr OBS! Fel i facit Skatteöjning per månad: 5576 kr 576 kr = 00 kr Förändring i skatt per år y = 1 00 kr = 400 kr 104 s1 = 0 m s = s s1 = 10 m s = 40 m s1 = 0 m s = s s1 = 50 m s = 70 m 105 s1 = 15 m s = s s1 = 5 m s = 40 m s1 = 5 m s = s s1 = 0 m s = 15 m 106 Förändringen K = K(7) K(5) ( ) ( ) K = = + = Svar: Kostnaden ökar kr. 107 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 108, 109, 110 Eempel som löses i boken. 111 = =.00 y = = c) y = = Löneökning per månad: = kr kr = 60 kr Skatteöjning per månad: y = 5080 kr 4980 kr = 100 kr c) y 100 = 0,8 = 8% = 10 8 = y = 65 5 = 0 c) y 0 = = 15 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

2 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 114 y (4 1) C 4C/ = = (11 8) Den genomsnittliga temperaturöjningstakten mellan kl 8 oc kl 11 var 4 C/. 115 Eftersom det stå per år skall man dela med tiden i år räknat y ( ) personer = = 7940 personer/år ( ) år y ( ) personer = = 8100 personer/år ( ) år OBS! Fel i facit 116 y ( ) personer = = 87 personer/vecka 80 personer/vecka (4 ) veckor y (998 1) personer = 500 personer/vecka (8 0) veckor 117 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 118 s (50 0) m = 6,7 m/s t (5,0,0) s p = p(500) p(400) = ( , ) ( , ) = 5600 Detta är den totala beräknade vinständringen om man ökar tillverkningen från 400 eneter till 500 eneter. q = = 100 p 5600 = = 56 q 100 Detta är genomsnittliga vinständringen per enet om man ökar tillverkningen från 400 eneter till 500 eneter. y 75 5 = m/s = 0 m/s, Raketen stiger med en astiget av 0 m/s 1 y 0 80 = m/s = 0 m/s, Raketen faller med en astiget av 0 m/s N(,0) N(1,5) ,6, ,6 1,5 1,6(,0 1,5 ) = = = 5, 0 1,5 0,5 0,5 N(,0) = ,0 + 15,0 = N(1,5) = , ,5 = ,75 N(,0) N(1,5) ,75 = = 0,5 00, 0 1,5 0,5 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

3 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 1 f() t = t 6t+ 0 f (0) = 0 f (4) = + = f(4) f(0) 60 0 = = f() t = t 6t+ 0 f f (1) = = 15 (6) = = 00 f(6) f(1) = = , 14, 15 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 16 Se facit. Kontakta din lärare om du beöver mer jälp. 17 Eempel som löses i boken. 18 f(4) f(0) 4 = = 0, c) f(10) f(6) 5 = = 0, f(6) f(4) 4 = = 1 d) 6 4 f(11) f(10) 5 = = Se facit. f( ) = 4 f f = = () 4 4 = = (1) f() f(1) 4 = = f(4) f() 4 = = 6 4 f(10, 4) f(10, ) 4 = = 0,6 10, 4 10, 0, Svar: Medellutningen är störst i intervallet 10, < > 10, f() f(1) 8 f( ) = = = = 1 1 f() f(1) 1 1 f( ) = = = = f(6) f(4) = = f() f( 1) ( 1) 6 ( 1) = = ( 1) 1 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

4 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 14 ( ) (6 ) k = = = = Beräkna vad uttrycket 6 + blir om närmar sig = 6 c) y = k+ m = 9 = 6 + m m = 9 y = 9 k = 6 Svar: Den sökta ekvationen är y = Lös uppgiften på samma sätt som 14. De punkter du beöver är (-, 4) oc (( +), ( +) ). Kontakta din lärare om du beöver mer jälp (0 ) (0 ) 0 6 (6 ) + + k = = = 0+ 0 = 6 Beräkna vad uttrycket 6 blir om närmar sig = 6 y = k+ m = 0 0 = m m = 0 y = 0 k = 6 Svar: Den sökta ekvationen är y = 6 6(4 ) (4 ) 8 ( ) + + k = = = 4+ 4 = Beräkna vad uttrycket blir om närmar sig 0 0 = y = k+ m = 4 8 = 4 + m m = 16 y = 8 k = Svar: Den sökta ekvationen är y = + 16 f k = = = 4 (4) f() = 1 f k = = = 4 (4) f() = Se facit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

5 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel f(1 + ) f(1) k = 1+ 1 ( ) f (1 + ) = 4(1 + ) (1 + ) = + k = = f (1) = = går mot noll = k = Svar: Kurvan ar lutningen i = 1 19 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 140 f( ) = f( + ) = ( + ) = + f( + ) f( ) + = = = f( ) = 5 f ( + ) = 5( + ) = 5( + + ) = f( + ) f( ) (10+ 5 ) = = = c) f( ) = 6 4 f( + ) = 6 4( + ) = f( + ) f( ) = = = 4 d) f( ) = + 1 f ( + ) = ( + ) ( + ) + 1= ( ) ( ) 1 1 f + f = + ( + ) = = = Grafen till f (t) visar ur långt (i meter) kulan rullat efter t sekunder. Kulans astiget efter t sekunder är den lutning som tangenten till grafen vid motsvarande tidpunkt. I denna uppgift skall du alltså ta reda på lutningen på kurvan för t =,5 s. f( t) = t oc f( t+ ) = ( t+ ) = t + t+ f( + ) f( ) t + t+ t ( t+ ) v= = = = t+ Om t =,5 oc = 0 blir v =,5 m/s Svar: Efter,5 s är kulans astiget 5,0 m/s. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

6 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 14 Bestäm först differenskvoten Sätt därefter in = a. f( ) = + f ( + ) f( ) f( + ) = ( + ) + ( + ) = f( + ) f( ) + + (+ + ) k = = = = + + Om = a oc = 0 blir k = a + Svar: Lutningen är k = a +. 14, 144 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. på samma sätt som i uppgift 140. Kapitel. 01, 0, 0 Eempel som löses i boken. 04 Riktningskoefficienten för kurvans tangent då = är negativ Riktningskoefficienten för kurvans tangent då = 0 är noll c) Riktningskoefficienten för kurvans tangent då = är positiv + d) Riktningskoefficienten för kurvans tangent då = 7 är negativ Kontakta din lärare om du tycker att det är är svårt! 05 f (4) = 78 betyder att på 4 sekunder ar kroppen fallit 78 m Derivatan är en förändringstakt. f (4) = 40 betyder att efter 4 sekunder är kroppens astiget 40 m/s. 06 f (100) = betyder att producera 100 eneter kostar kr. Derivatan är en förändringstakt. f (100) = 60 betyder att marginalkostnaden för den undrade eneten är 60 kr. (produktionskostnaden ändras 60 kr då man tillverkar den undrade eneten). 07 f () = 60 betyder att klockan 0.00 är temperaturen i varmvattenberedaren 60 C. Derivatan är en förändringstakt. f (5) = 1,0 betyder att klockan 5.00 sjunker temperaturen i varmvattenberedaren med 1 C/. 08 Se facit. Kontakta din lärare om du tycker att detta är svårt eller krångligt. 09, 10 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 11 Se facit. Kontakta din lärare om du tycker att detta är svårt eller krångligt. 1 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 1 Se facit. Kontakta din lärare om du tycker att detta är svårt eller krångligt. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

7 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 14, 15 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 16 Eempel som löses i boken. 17 c) d) f f ( ) = + 1 () = + 1= 10 f f ( ) = + 1 ( + ) = ( + ) + 1= f ( + ) f() = = + 6 f( + ) f() + 6 ( + 6) = = = Se facit. (4 + ) + (4 + ) = = = 11+ c) = 11 f( + ) f( ) 5( + ) f ( ) = = = = 5 f (4) = 5 f( ) = 0 är oberoende av (grafen till f( ) = 0 är en rät orisontell linje). Eftersom funktionsvärdet aldrig ändras (grafen lutar inte) är derivatan noll. 0, 1 Se lösningsförslag i facit. Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit., 4, 5 Eempel som löses i boken. 6, 7 Se ledning i facit. 8 Se bokens ledning oc facit. 9 Hur fort temperaturen ändras 45 min efter att steken tagits ur ugnen, dvs y (45). Jämför ditt svar med facit. Avviker ditt svar mycket räknar du om uppgiften. Blir det inte bättre då kontaktar du din lärare. 0 Jämför ditt svar med facit. Avviker ditt svar mycket räknar du om uppgiften. Blir det inte bättre då kontaktar du din lärare. 1,,, 4 Se facit. Kapitel. 01, 0 Eempel som löses i boken. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

8 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 0, 04, 05, Se facit oc uppgift 01. Kontakta din lärare om du beöver jälp. 06, 07, Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 10 Se facit. 11 f( ) = f = + ( ) , + = 8+ 15= 0 = 4± = 4± 1 = 5, = 1 f( ) = f = + + ( ) , + + = = 0 = 5± 5 16 = 5± =, = f( ) = + 7 f( + ) f( ) ( + ) + 7( + ) = = f ( ) = lim + 7+ = = Ledning: y = + kan ses som Vilken funktion ger derivatan? Vilken funktion ger derivatan? Vad ar derivatan 0? 14 Se lösningsförslag i facit. 15, 16, 17 Eempel som löses i boken. 18 Uppgiften kan lösas på två sätt: Alternativ 1 ( råräkning genom att sätta in givna värden direkt) s s(,0 + ) s(,0) s(,) s(,0) = = = t 0, + 0, 40, 5, 40,0 5,0 m/s = 19 m/s Alternativ (förenkla först, därefter sätts givna värden in) s s( t+ ) s( t) 40( t+ ) 5( t+ ) 40t+ 5t = = = 40 10t 5 t t =,0 oc = 0, , m/s = 19 m/s NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

9 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Uppgiften kan lösas på två olika sätt: Huvudalternativ (använd deriveringsreglern v= s = t = (40 10, 0) m/s = 0 m/s Alternativ (om du använt alternativ i a-uppgiften utnyttjar du resultaten därifrån) s s( t+ ) s( t) = = 40 10t 5 t t =,0 ger lim 40 10t 5 = (40 10 ) m/s = 0 m/s 0 19 Nt ( ) = t N () t = 4 t = 8t N = = 4 (5) f( ) = , f = + 7 ( ) 10 0, f = + = 5 7 (00000) , 0, 1 yt t t t ( ) = 0,1 0, , y t = t t + ( ) 0,4 0, ,05 y (15) = (0,4 15 0, ,05) C/s, C/s y (180) = (0, , ,05) C/s 5,4 C/s Tq ( ) = q 0, 4q T ( q) = 180 0,8q T (80) = 180 0,8 80 kr/enet = 116 kr/enet T (140) = 180 0,8 140 kr/enet = 68 kr/enet f () t = 5t 0,4t f () t = 5 0,8t f () = 5 0,8 =,6 ökar med 600 deltagare f (6) = 5 0,8 6 = 0, ökar med 00 deltagare c) f (8) = 5 0,8 8 = 1, 4 minskar med 1400 deltagare 4 V( ) = 50 0, V ( ) = 50 0,0 V ( ) = 50 0,0= 40 0,0= 10 = 500 V ( ) = 50 0, 0= 0 0, 0= 50 = 500 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

10 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 5 y = 0, , 0+ 8,89 y = 0, , 0 y (0) = 0, , 0 = 0, År 00 ökar folkmängden med 9680 personer y (40) = 0, ,0 = 0,0084 År 040 minskar folkmängden med 840 personer 6 Eempel som löses i boken. 7 k = f ( ) = f( ) = 5 f = ( ) 6 5 k = f = = 4 ( ) 6 ( ) 5 49 f( ) = 4 5 f ( ) = 8 0 k = f = = ( ) 8 ( ) 0 ( ) Beräkna först tangentens riktningskoefficient f( ) = 5 f ( ) = 5 k = f (4) = 8 5 = Avänd k-form eller enpunktsformeln för att bestämma tangentens ekvation Alternativ 1: k-form = 4 y = 0 k = y = k+ m 0= 4 + m m= 1 Svar: y = 1 Alternativ : enpunktsformeln 1 = 4 y1 = 0 k = y y k 1 = ( + 1) y 0= 4 Svar: y = 1 9 = y = y = + = () 5 ( ) 8 ( ) 4 Tangeringspunkten är (, 4) k = y ( ) = 10 ( ) + 8= 1 Tangentens riktningskoefficient är 1 c) 4 = 1 ( ) + m m= 0 Tangentens ekvation är y = 1 0 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

11 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 0 Löses på samma sätt som uppgift 9. Kontakta din lärare om du beöver jälp. 1 Tangenten är parallell med y = 6 5 k = 6 Beräkna för vilket som k = 6 y = f( ) = 7 k = y = f ( ) = = 6 = 4 Beräkna vad y är då = 4 y = f(4) = = 1 Svar: I punkten (4, 1) är tangenten parallell med y = 6 5. Se bokens ledning oc lösningsförslaget till uppgifterna 9 oc 1. Kontakta din lärare om du beöver mer jälp., 4 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 5 f () t =,4t 0,1t f () t =,4 0,t f () =, 4 0, = 1,8 ökning med 1800/år f () t =,4 0,t = 0,8 0, t = 1,6 t = 8 Efter 8 år ökar antalet deltagare med 800 pers/ år (Kommentar: Väldigt långvarigt projekt) 6, 7 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 8 Sätt y = K( ) där y är kostnaden i kr oc är antalet producerade burkar. K(5000) = kr K (5000) = 15 kr/burk Under förutsättning att K ( ) är konstant i intervallet blir kostnaden y = ( ) kr = kr 9, 40, 41 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 4, 4 Eempel som löses i boken. 44, 45 Se uppgift 4 oc facit. Kontakta din lärare om du beöver jälp. 46, 47 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

12 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 48 Se facit. 0,5 T ( ) = 1,5 T (0, 7) = 1,5 0, 7 jordbaneradier/år. 49 0,575 0,575 y ( ) = 0,45 0,1 = 0,1175 y = 0,575 (75) 0, m /kg 0,011 m /kg En person som är 180 cm lång oc väger 75 kg kommer vid en viktuppgång att öka sin kroppsyta med 1,1 dm för varje kilo som personen ökar i vikt. 50 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 51 Se lösningsförslag i facit. 5, 5 Eempel som löses i boken. 54, 55 Se uppgift 5 oc facit. Kontakta din lärare om du beöver jälp. 56 Se uppgift 5 oc lösningsförslag i facit. 57, 58 Se facit. 59 Se facit oc c) Ledning: dy d oc D är alternativa beteckningar för y. 60 y ( ) = 6e y y = 6e e = 6e 6e =0 61 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 6 Se facit. Kontakta din lärare om du beöver jälp. 6 b f ( ) = ae be a b a f ( ) = abe + abe 0 c = 1 för c 0 f (0) = ab 1+ ab 1 = ab 64 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 65 Se facit. Kontakta din lärare om du vill diskutera detta mer. 66, 67 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 68 Se lösningsförslag i facit. 69 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

13 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 70 Se lösningsförslag i facit. 71 Eempel som löses i boken. 7, 7 Se uppgift 159 oc facit. Glöm inte att e Kontakta din lärare om du beöver jälp. ln a = a. 74 Hur man byter till basen 10 beskrivs i uppgift Hur man byter till basen e beskrivs i uppgift 71, Metod 1. Kontakta din lärare om du beöver jälp. 75 Ledning: 10 = a oc e b = b. Kontakta din lärare om du beöver jälp. lg a ln Ledning: Utnyttja deriveringsregeln om y ( ) = a så är y ( ) = a ln a. Kontakta din lärare om du beöver jälp. 78 Ledning: Derivera term för term precis som vanligt. 79 Se lösningsförslag i facit. 80 y ( ) = 10 y ( ) = 10 ln10 1 = 0 y 1 = y = = 0 (0) 10 1 k = y = = 0 (0) 10 ln10 ln10 Sätt in detta i enpunktsformeln y y1 = k( 1) y 1 = ln10( 0) y = ln = 0,5 y 1 = y = = 0,5 (0,5) k = y = = 0,5 (0,5) 10 ln10 10 ln10 Sätt in detta i enpunktsformeln y y1 = k( 1) y 10 = 10 ln10( 0,5) y = 10 ln10 0,5 10 ln , 8 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 8 Eempel som löses i boken. 84 Se bokens ledning oc svaret i facit. 85 Ledning: Bestäm K (100). NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00

14 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel 86, 87 Se bokens ledning. 88 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 89 Se facit. 90 Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 91 y ( ) = 0 00e y 15k (15) = 0 00e = 5 15k 00e = 167 e 15k = 167 / 00 k 15k = ln(167 / 00) ln(167 / 00) k = 0,01 15 y ( ) = 00ke k y (15) = 00ke 15k Sätt in k-värdet från a-uppgiften o y (15) C / min 9, 9, 94, Se bokens ledning oc lösningsförslag i facit. 95, 96, 97, 98 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00