7. Ange och förklara definitionsmängden och värdemängden för funktionen f definierad enligt. f(x) = ln(x) 1.

Transkript

1 MMA11 Matematisk grundkurs TEN Datum: 1 januari 01 Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt poäng. För betyget godkänd krävs en erhållen poängsumma om minst 1 poäng. Om den erhållna poängen benämns S, och den vid tentamen TEN1 erhållna S 1, bestäms graden av sammanfattningsbetyg på en slutförd kurs enligt S 1, S 1 och S 1 + S 6 godkänd g) S 1 + S 6 väl godkänd vg) Betyget VG tilldelas dock även den som vid sitt ordinarie kurstillfälle och vid sina motsvarande ordinarie tentamina uppfyller villkoren att S 1 + S 61 och att alla inlämningsuppgifter har blivit godkända innan den sista lektionen har gått till ända. Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade i den ordning som uppgifterna är givna i. 1. Ange en ekvation för den trigonometriska funktionskurva som är ritad i vidstående figur. Förklara speciellt hur du resonerar dig fram till de olika delarna av ekvationen.. Lös ekvationen x+1 x 1 = 1 x.. Beräkna funktionsvärdet cosx π ) då cosx) = 1 och π < x < π.. Hur lång bit av tangenten till kurvan y = x i punkten med koordinaterna 1, 1) ligger i området x, y 0?. Förenkla uttrycket log ) 1 18) + lg 8 e ln) så mycket som möjligt Åskådliggör i en figur det begränsade område som i den första kvadranten precis innesluts av kurvorna x + y = och xy =. Beräkna sedan arean av området. 7. Ange och förklara definitionsmängden och värdemängden för funktionen f definierad enligt fx) = lnx) 1. Notera speciellt att ett svar allena, utan stöd av relevanta förklaringar, inte kan ge någon poäng. 8. Vilka x satisfierar villkoren 7π < 9x < 1π och sin π ) = cosx π )? 9. Förklara vad ekvationen y = x 6y + x ) beskriver, och skissa grafen.

2

3

4 MMA11 Matematisk grundkurs TEN BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN Läsår: 011/1 Tentamen TEN POÄNGSPANN maxpoäng) för olika delmoment i uppgifter 1. y + 1 = sin7x ) 1p: Korrekt noterat att kurvan kan ses som en i negativt y-led 1 längdenhet parallellförskjuten funktionskurva y = f x), dvs som y + 1 = f x) 1p: Korrekt avtolkat en trigonometrisk grundfunktion inklusive amplitud för kurvan y = f x) 1p: Korrekt avtolkat kurvans vinkelfrekvens Notera att det med hjälp av kompenserande) faser φ finns oändligt många funktionsuttryck f x) att välja bland. Exempelvis är cos 7x π ) ett fullgott alternativ till sin 7x ).. x = 1 1p: Korrekt omskrivit ekvationen som en andragradsekvation x i variabeln, samt korrekt faktoriserat polynomet ifråga x i variabeln 1p: Korrekt angivit den lösning som svarar mot den faktor som kan vara lika med noll 1p: Korrekt tolkat/förklarat den faktor som inte kan vara lika med noll Den som genom prövning har hittat den ena och/eller den andra lösningen, utan att utreda ekvationens lösningsmängd, får totalt 0p.. 1p: Korrekt bestämt absolutbeloppet av sinx ) 1p: Korrekt bestämt tecknet för sinx ) 1p: Korrekt omskrivit cos x π ) som sinx ). l.e. 1p: Korrekt bestämt riktningskoefficienten för tangenten till kurvan i punkten med koordinaterna 1,1) 1p: Korrekt ställt upp ekvationen för den aktuella tangenten 1p: Korrekt beräknat längden av den i den första kvadranten belägna delen av tangenten. 1 1p: Korrekt förenklat term nr 1 till 7 8 1p: Korrekt förenklat term nr till 1 8 1p: Korrekt förenklat term nr till 1, samt korrekt adderat termerna till summan 1 1 )

5 MMA11 Matematisk grundkurs TEN BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN Läsår: 011/1 Tentamen TEN POÄNGSPANN maxpoäng) för olika delmoment i uppgifter 6. ln)) a.e. 1p: Korrekt bestämt skärningen av de två inneslutande kurvorna, och korrekt skissat det inneslutna området 1p: Korrekt formulerat en integral för den sökta arean, samt korrekt bestämt en primitiv till integranden x x 1p: Korrekt gjort insättningar av gränser, och korrekt utfört en avslutande summering Den som har angivit en felaktig primitiv till x, men som på intervallet ifråga har integrerat x korrekt, får totalt 1p av de två integralpoängen. 7. = [ e, ) D f V f = [ 0, ) 1p: Korrekt konstarerat att ln x ) 1 för att den reellvärda) rotfunktionen ska ha korrekta argument 1p: Korrekt följdkonstaterat att definitionsmängden därmed ges av villkoret x e 1p: Korrekt angivit och förklarat värdemängden Den som har angivit korrekta mängder, men som inte har inkluderat någon förklaring till dessa, får totalt 0p. 8. x 9π 9π = 6 ) x = 6 ) 1p: Korrekt inkluderat π π x = 6 + n som lösningar till π ekvationen cos x π ) = sin ) π π 1p: Korrekt inkluderat x = 6 + n som lösningar till π ekvationen cos x π ) = sin ) 9π 9π 1p: Korrekt valt x = 6 ) x = 6 ) som det som också satisfierar villkoret 7 π < 9x < 1π 9. x + ) ) + y ) =, dvs en cirkel med medelpunkten, ) och radien 1p: Korrekt omskrivit ekvationen till en tolkningsbar form 1p: Korrekt deltolkning: En cirkel med radien 1p: Korrekt deltolkning: Medelpunkten i, ), samt skiss Den som oavsett tolkningsbar ekvationsform felaktigt har tolkat det som i princip är lika med radien i kvadrat som lika med radien får 0 av delpoäng nr. Den som i omskrivningen av ekvationen felaktigt har fått hyperbeln x + ) y ) = ) och/eller den räta linjen ) + ) x + y = får totalt 0p på hela sin lösning, detta i synnerhet om någon eller bägge av ekvationerna grovt felaktigt) har tolkats som ekvationen för en cirkel med medelpunkten, ) och radien. )