Studiehandledning till. MMA121 Matematisk grundkurs. Version

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1 Studiehandledning till MMA Matematisk grundkurs läsåret 0/ Version

2 Kursinformation för MMA Mål Avsikten med kursen MMA Matematisk grundkurs är att ge grundläggande kunskaper i matematik, av betydelse för studier inom naturvetenskap, teknik och samhällsvetenskap. De begrepp som behandlas är kanske bekanta från gymnasiekursen. I MMA ställs dock högre krav på att självständigt kunna läsa in) matematisk text och då inte minst att kunna omsätta detta i en god räkneförmåga parad med en god matematisk förståelse. Undervisning Kursen är i sitt upplägg schemalagd med motsvarande 8 föreläsningar och 4 lektioner om vardera två-tre timmar, samt två tentamina om vardera tre timmar. Vid sidan om de schemalagda passen formeras kursen av 8 individuella inlämningsuppgifter i detta häfte) som ska lösas och lämnas in till berörd lektionslärare för bedömning. Specifikationen av vilka uppgifter en viss student ska lösa ges av den siffra i intervallet som han/hon tilldelas i början av kursen. Studenter har att lämna in lösningar till motsvarande i princip ett moment per vecka och då på en plats som meddelas i början av kursen. De ska kunna förvänta sig att färdigbedömda lösningar finns tillhanda på den lektion som följer en inlämning, förutsatt att inlämningen ifråga har skett senast kl. arbetsdagen innan lektionen ifråga. Generellt råd Vikten av att vid matematikstudier lösa många och olika typer av problem kan knappast överskattas. I kursboken och i studiehandledningen) finns därför relativt många övningsuppgifter att ta sig an. Kursbok Mot bättre vetande av Dunkels, Klefsjö, Nilsson, Näslund, :e uppl., ISBN , Studentlitteratur 00. Examination och betyg Examinationsmomentet INL De betygsgrader som används i examinationsmomentet INL, hp) är underkänd u) och godkänd g). För att under kursens gång bli godkänd i INL krävs att lösningar till i kursen ingående inlämningsuppgifter har inlämnats enligt angivna regler och sedan blivit godkända inom stipulerade tider. Varje enskild inlämningsuppgift godkänns när en nöjaktig, skriftlig redovisning har åstadkommits. Studenten ska därvidlag vara beredd på att kunna besvara frågor om den teori som en lösning baseras på. Ett godkännande ges sålunda när läraren har bedömt att studenten har förstått den berörda matematiken och kan kommunicera sin lösning på ett fullständigt sätt. Om en lösning inte blir godkänd skickas den i retur kanske med något tips) för att studenten ifråga ska ha en möjlighet att kunna göra nödvändiga korrigeringar för ett slutgiltigt godkännande. Detta förfarande fortsätter i cykler till dess uppgiften har blivit godkänd, dock med följande begränsningar i tid: Lösningar till uppgifterna i momenten måste vara godkända senast kl..00 dagen innan ordinarie tentamen TEN äger rum. Lösningar till uppgifterna i momenten 4 7 måste vara godkända senast på fredagen innan tentamensveckan. Därefter sker ingen restexamination. Examinationsmomenten TEN och TEN De betygsgrader som används i examinationsmomenten TEN och TEN, hp resp., hp) är underkänd u) och godkänd g). För att bli godkänd på något av momenten krävs betyget g på en motsvarande tentamen. Tentamina i TEN och TEN består vardera av nio 9) stycken uppgifter à p, och är baserade på innehållen i de tre första respektive de fyra övriga momenten i kursen. Ett godkänt betyg på en tentamen erhålls om en poängsumma om minst p uppnås. Skrivtid per enskild tentamen är tre ) timmar. Sammanfattningsbetyg De betygsgrader som används som sammanfattningsbetyg på en avklarad kurs är godkänd g) och väl godkänd vg). För betyget g krävs minst godkända betyg i alla de tre examinationsmoment som ingår i kursen. För betyget vg krävs dessutom antingen att S + S 6, där S och S är poängsummorna från TEN respektive TEN, eller en kombination av att S + S 6 har uppnåtts vid ordinarie kurstillfälle och att alla inlämningsuppgifter har blivit godkända innan den sista lektionen vid kurstillfället är till ända.

3 INL Moment Tal, uttryck, ekvationer, olikheter. Tal D., D.8.0 INL.a Förenkla framställningen av det rationella talet så mycket som möjligt, dvs skriv det på formen p/q där p och q är heltal som inte har några gemensamma primtalsfaktorer. ) ) 9) ) ) + ) ) 4 ) 4 8 ) ) ) ) ) 7 ) 8) ) ) ) + + 9) ) 4 + ) ) 4) 4 ) 7 ) ) ) 8 ) ) 4 + ) ) 6 + ) 4 4 ) 8 0) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 9 + ) ) ) ) + 7 ) ) ) + + 6) ) 4) ) INL.b Skriv talet... ) i 4-systemet 8) i -systemet ) 0 i 4-systemet ) 4 i 7-systemet ) 7 i -systemet 9) 0 i 6-systemet 6) 8 i 9-systemet ) 44 i 6-systemet ) 4 i 7-systemet 0) 4 i -systemet 7) 4 i -systemet 4) 4 7 i 4-systemet 4) 77 9 i 4-systemet ) 4 6 i 4-systemet 8) 4 i 6-systemet ) 8 9 i -systemet ) 4 6 i 8-systemet ) 0 i -systemet 9) 48 9 i 7-systemet 6) 4 8 i 4-systemet 6) 4 i 9-systemet ) 6 7 i 8-systemet 0) 0 i -systemet 7) i 4-systemet 7) 7 i 4-systemet 4) 6 i -systemet ) 4 7 i -systemet 8) 9 i 8-systemet

4 4 9) 67 8 i 6-systemet 0) 6 i 7-systemet ) 4 i 9-systemet ) 47 8 i 6-systemet INL.c Förklara direkt från det angivna talet varför det är rationellt. Skriv det sedan som ett bråktal på enklaste form, dvs på formen p/q där p och q inte har några gemensamma primtalsfaktorer. ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ), ), ),... 6) 0,... ) 0, ), ), ), ),... ), ), ) 0, ), ) 0, ) 0, ),... 6) 0, ) 0, ), ),... 7), ), ), ), ) 0,... 6), ), 7... ), INL.d Förenkla framställningen av uttrycket så mycket som möjligt är. ) ) 0 0 ) ) ) ) ) ) ) ) 67 4 ) ) ) ) ) ) ) ) + 6 9) 4 7 0) ) ) 8 8 ) ) ) ) ) ) ) ) + 6 ) ) INL.e Antag att x, y är reella) punkter på en tallinje. Förklara vad uttrycket x y anger geometriskt. Använd sedan denna insikt till att på en tallinje illustrera nedanstående villkor, samt till att omformulera desamma utan användning av solutbelopp. Var i illustrationen noga med att tydliggöra vilka punkter som satisfierar villkoren. ) x + < 6) > x 4 ) < x 6 6) > x + ) 4 x + 6 > 7) x + < 4 ) > x + 7) < x 4 ) x < 8) x + > ) x 4 < 4 8) x + < 4) 4 > x 9) < x 6 4) > x 9) 7 x 4 > ) < x + 4 0) 4 x + 4 > ) < x + 6 0) < x

5 .. TAL ) 4 x 6 > 4) < x 4 7) > x + 4 0) > x + 4 ) x + < ) 4 x + > 8) < x 4 ) < x 8 ) > x 7 6) x < 9) > x ) 6 x > INL.f Antag att talet p anger det belopp i SEK räknat) som finns i en plånbok, och att fördelningen över pengaslag är en bunt om n s stycken sedlar av valören s SEK, och n k stycken enkronor med n k < s. Detta kan, om associationerna till pengar utelämnas, uttryckas som att talet p har resten n k vid division med s. Hur många sedlar och hur många enkronor finns det i den stora plånbok som innehåller P SEK, om det förutsättes att alla eventuella hela sviter om s enkronor har blivit inväxlade mot sedlar? Utgå därvidlag från värdena s, n k, P ) =... ), 8, 4p + ) 9) 9, 8, p + 4) 7) 8, 8, 9p + 8) ) 6, 8, p + 7) ), 9, 9p + ) 0) 0, 9, 6p + 9) 8) 6, 9, 8p + ) 6), 9, 9p + 4) ) 6, 0, 8p + ) ) 7, 0, 8p + 4) 9), 0, 7p + ) 7) 8, 0, 8p + ) 4),, 7p + 4) ) 8,, 7p + 8) 0),, p + 8) 8) 9,, p + ) ) 9,, p + ) ) 7,, p + 6) ),, p + 4) 9) 0,, p + 6) 6) 8,, p + 6) 4) 6,, p + 9) ) 0,, 6p + ) 0),, 6p + ) 7) 7, 4, 7p + ) ), 4, 6p + ) ) 9, 4, 8p + 7) ), 4, 4p + ) 8) 8, 7, 0p + ) 6), 7, 4p + 6) 4) 7, 7, 7p + 6) ) 0, 7, p + ) INL.g Skriv det komplexa talet på den rektangulära) formen a + bi, där i är den imaginära enheten och där a, b är reella tal. ) i)i i) ) i i) + i) ) + i) + i) i) 4) + 4i) i)6 i) ) i) + i) i) 6) i)4i 4 i) 7) i + i) + 4i) 8) + 4i) i) i) 9) i i)4 i) 0) i) + i)4i ) + i)i i) ) + 4i) + 4i) i) ) 4i i)4 + i) 4) i + i) + i) ) + i) i)i) 6) i) i) + i) 7) 4i) i) i) 8) 4 + i) + i) i) 9) i4 + i) i) 0) i) 4i) i) ) i)4 + i)i ) i + i) i) ) + i)i + i) 4) 6i 7i) + i) ) + 4i) i) 6i) 6) i) i) i) 7) + i) i)i 8) i + i)4 + i) 9) 6i) i) 4i) 0) i)i 4 + i) ) i + i) i) ) + 4i) + i)i

6 6. Uttryck D., D., D.8. INL.a Utveckla polynomet och skriv det på formen a 0 + a x + a x a n x n. ) 8 7x) 8) 4x 6) ) x ) ) x ) 9) 7 8x) ) 6 8x) 9) x 4) 6) 6x) ) 8 x) 0) 6x ) ) 6x 9) 0) x) 7) 9x 8) 4) 7x ) ) 7 x) 4) 6 x) ) 4x ) 8) 7 x) ) 4 9x) ) 9x ) ) 9x ) ) 6 x) 9) 9 x) 6) 8x ) 6) 9 7x) ) 6x ) 0) 4x ) 7) 7 6x) 7) 7 6x) 4) 7 4x) ) 0 6x) 8) x 9) INL.b Använd kvadreringsformeln a + b) = a + + b, med a, b tagna som heltal ej nödvändigtvis positiva), till att för hand beräkna kvadraten. ) 47 ) 8 9) ) 49 7) 78 ) 68 ) 8 9) ) 6 6) 79 0) 97 4) 6 8) 48 ) 6) 77 0) 98 ) 8 7) 9 ) 88 ) 7 9) 9 ) 87 7) 9 ) 89 4) 6 8) 67 ) 7 6) 8 0) 9 4) 7 8) 69 ) 7 INL.c Utveckla polynomet och skriv det på formen a 0 + a x + a x a n x n. ) + x) 7x + 8) x )x ) 4x ) x) 4 6x)x 7) ) x )7 x) 8x ) + x) 4) 84 x) 4 x) x + 0x) ) 4 x)x + ) 4 x)x ) 6) x ) 0x7 + x) x) 7) 4 + x)x ) + 6 4x)6x ) 8) 4 + x) 4x) x6 x) 4x) 9) 44 x) + x x) 64 x) 0) 4x + ) x) 4x) x + ) ) 7x ) 4x7 x) 7 7x) x) ) 4x ) x) 4 x)x ) ) 47 x)x ) x9 4x) + 4 x) 4) 8 x) + x ) x) ) 4x + ) x) 6x) + 8x)x + ) 6) + 6x) + 4x)6x ) x) 7) x 7) 6x) 6 x)x ) 8) 4 + 7x)4 7x) + 7x x ) 7 x) 9) 4 x + 4x ) 4x) + 4x) 4x) 0) x) + 8x) 7x ) 4x) ) x) 9x + x) x) ) x ) + 4x) + x)x ) ) 4x ) 9x) 6xx + ) 4) x)x 9) 7 x)x ) ) 4 + x)4 x) 47x + ) x) 6) 4x) 4 7x) 6x + 8x) 7) x + ) + 6x) x)x + ) 8) x) + 0x)x 4 7x) 9) 4x 7) x) 4 x)x 9) 0) 8x) + x) + 4 x) ) 46 x) 6 x) x + 6x) ) 7x 4) + x) + 7x)x + )

7 .. UTTRYCK 7 INL.d Faktorisera polynomet på formen Ax a)x b) genom att bl.a. kvadratkomplettera. ) 7 x x 9) 6x + 6x 6 7) 6x + 0x 00 ) 00 + x x ) 9x + 6x 7 0) x x 8) x + x 80 6) 4x 6x 60 ) 60 + x + x ) 4x 44x ) 8x x 7) x + x 0 4) 7 + x 4x ) 0 x x 0) 8 9x 9x 8) 40 8x x ) 8x 40x 48 ) 7x x ) x 0x 9) x x 4 6) 7x 7x 4 4) 7x + x + 8 ) 96 8x 8x 0) 4x 8x 7) 6 7x 9x ) 8x 4x ) 9x + 7x + 8 ) 8 + x x 8) 8x + 7x 88 6) 04 7x 7x 4) 6x 4x 80 ) x + 6x 08 INL.e Förenkla så långt som möjligt framställningen av uttrycket. Ange speciellt för vilka a som förenklingen äger sin giltighet. ) /a)a a + 6a) 7a a )a 0) ) 98 a ) ) 8 6a a 6a a a 4 ) 08a a ) 4 6a 6)a + 4a + 7) a + 8 ) a 4) ) a a a 0 a a + a a ) ) a ) ) a 4a a 0a 6a a 6) 4 a ) a 9 a + a a )a + 4) 7) 00 a ) 0 + a ) a + 0a a 4a 8) ) 49a + 4a 4 + a a + a ) 96 4a ) 6a 4) 9) ) 9 + 6a + a 9a a ) a + 0) 79a 9a ) ) 4 a + 90a + 40)a 7a) a + 49a ) + 4a + a ) a/7 ) 49a + a ) 6a + 96a + 84) 9 a )6 + a) 8 ) a ) ) ) 98 8a + a a 0 0/a a + ) a a 4) ) 6a 4 4a ) + 6a a + 8a a 48a a + 6a + ) ) a ) + a) ) a ) a a ) 6) a /7) a + 49a 4a + 7) + 0 ) 0a + a ) a a ) a 0) 8) a + 6 a 4 ) a ) + a 9) 4/a + a/4) 4 a 0) ) ) ) 4) ) 6) 7) 8) a ) ) + 6a a + 8 a 6 a + a + )a + ) + a a + a 4 a + 6 a ) a a ) ) + a 9a 6a + a 9 a ) 7a + a a 4a + 48a + 44 a 8 ) 0a a a 7 4a + a 4 ) a a + ) a 0a + a a a)7 7a ) 64a ) 6a a ) 64a a 6a a + 8a + 7 ) a 8a + 6a ) a ) 6 6a 6a ) a + a a + 6

8 8 9) 0) a 4 + 4a a a 64 ) + a + 8 a a 0 4a ) a ) 0 8a 80a + 00 a + a ) ) a + 4 a a + a + ) ) a a 4 a a ) 6a ) + 8a + 6a + 4a 6a INL.f Bestäm realdelen och imaginärdelen för det komplexa talet. ) i + i 7) 6 + 7i i ) 4 i i 9) + i i ) + i i ) + i i ) + 4i + i 8) 6 i + i 4) + i i 0) 4 + i + i 6) i i ) + i + i ) i i 9) + i i ) i + i ) 6i i 7) 4 + i + i 4) + i i 0) 4 i i 6) + 4i + i ) 4 + i i 8) 4 + i i ) + i + i ) + 4i + i 7) 4 + i i ) + i + i 9) i i 6) i + 4i ) + 4i i 8) i i 4) + i i 0) i + i. Ekvationer och olikheter D. INL.a Lös ekvationen. ) x 7)x + 4x + 49)x 4) x + x 4)x x 4) ) x 8)x + 8)x 6x + 64) x + x 7)x x 7) ) x + )x 6)x 6x + 9) x + 4x + )x 7x + )x + 4) ) x 6)x + x + )x ) x + x + )x x + 4) ) x + x + 6)x )x 6) x 4x )x + x 0) 4) x 49)x + 4)x 8x + 6) x x + 8)x + x + 8) ) x + 4x + 44)x 9)x ) x 9x 6)x + 9x 6) 6) x 9)x + )x 4x + 4) x x + )x + x + 6) 7) x + 6x + 64)x 8)x 69) x 64)x x 6) 4) x 0x + )x + )x 00) x + x + 0)x 4x ) ) x )x + 4x + 44)x ) x + 7x + 60)x 7x + 60) 6) x + )x 4)x 0x + ) x x 0)x + x ) 7) x + 4x + 4)x )x ) x x + )x + x + 6) 8) x 6)x + )x x + ) x + x 66)x x 66) 8) x 6x + 9)x + )x 64) x + x + 4)x x + 4) 9) x 9)x + 8x + 6)x 4) x + x )x x 8) 9) x + 4)x 8x + 6)x ) x + 7x 44)x 7x 44) 0) x + 4x + 4)x )x ) x + x + )x x + ) 0) x )x 6)x + 6x + 9) x x 6)x x ) ) x + 4)x 8x + 6)x ) x + x 0)x + )x x 0) ) x + x + )x 6)x ) x + x + 4)x )x x + 4) ) x )x 4)x + 0x + ) x 4x )x + x 0)

9 .. EKVATIONER OCH OLIKHETER 9 ) x 4x + 4)x )x + ) x )x + x + )x + x 0) 8) x )x 9)x + 4x + 4) x x 6)x + x 0) 4) x )x 4)x + 8x + 6) x + 9x + 0)x 9x + 0) 9) x x + 6)x 8)x + 6) x + x + 4)x x + 4) ) x + )x 96)x 0x + ) x + 9x 70)x + 6x + )x 4) 0) x 6)x )x + 6x + 9) x + 7x + )x 4x + ) 6) x + 4x + 4)x )x 49) x x 4)x + x 8) 7) x + )x 6x + 69)x 6) x + x )x 7x 78) ) x 9)x x + 6)x + 6) x x 8)x + 4x ) ) x + 4x + 4)x )x 9) x + x 0)x + x + 6) INL.b Lös ekvationen. ) x + x x = x x 4 x x + 6 ) x x 0 x x + 6 ) + 4 x x = + x x x + x + x x + x = x x + 4) x x x x 4 = x + x + + x 4 x 4 ) x + = x + x + 4 x + x x 6) x x x = x) x + x 7) x = x + + x + 9x 8) x + x + + 4x + 6x x x = x x 7) x x = x x 8) x x + + 4x + x = 6x + x + x x 6 9) 0) 7 49 x) = + x 9 4x 4 x x x x x x + 6 = 4 x ) 4 x + )x + ) = x x + 6 x x + ) x + x 4 + x + = x ) x x x x + x + x = x + x 4) x x 4 + x + 9x 9 x x 4 = x + x + 9) x x = x + x + x + x + ) x + + x x = x x + 0 4x 9 0) ) x 7 x x 4 = x x + + x x 4 x x + 7 x x = x x + 6) x 7 x 4 = x x + x x 4 + x x + 7) x x = 4 x x ) x + x x + x + + x + = x x + ) 4) x x = x x x x x 4 x x = x 9x ) x + x x 0x x = x + 6x 6 6) 7 x + x 4x + 9 = x) x 8) x x + = x + x + x x x x 6 9) x 4 x + 4x + = x x + x + 0) x + x + 4 x x = x + x x x + ) ) x + x x + = x + x + x = x 9 x 7 4x x + 4x

10 0 INL.c Vilka reella x uppfyller villkoret? ) 8x + = x + 7 ) x = 8x 9 ) 8 x = x + 4) x 6 = x 9 ) x = x 8 6) x + = 4x + 7) + 6x = + x 8) x = 6x + 7 9) 8x 4 = 4 x 0) x = 8 x ) 4 x = x + 4 ) x = x ) x = x 4) x / = 4x ) x 0 = x 6) x = x + 7 7) 6x + 9 = 4x + 8) x = x 9) x = x + 0) 4x = x 9 ) x = x ) x = 4x ) 8x = x 7 4) 4x 7 = 7 8x ) x + /4 = x + 6) x = 7 x 7) 6x = x 8) x = 7 6x 9) x = x + 0) x = x + ) x + = x ) 4x = 6 0x INL.d Vilka x satisfierar semi-olikheten? ) x x + x x + 9) x 4 x 7) x x x 7 ) x x + x + x ) 6 x x + x 0) 8x + x 6 x + 8) x x + x 4 x + 6) x + 4 x x + ) x + 4 x x x + ) x x x + x 9) x + 6 6x x 7) x x + 4 x + 4) x x + x ) x x + 0) x x 8) 6 x x + 4 ) 4 x + 7 x ) x + 6 x + ) x x 9) x x + 6) x x x + 7 4) x + 4 x ) x + x 0) x x x + x 7) x + 6 x + ) x x x x ) x + x + ) x 4 x + 7 8) x + x + x 6) x x + + x 4) x x 9 ) x + x INL.e Lös ekvationssystemet. ) x y = x + y = 4 ) 4x + y = x y = 7 9) x y = 0 4x y = 0 ) x y = x + y = 7 ) 4x + y = x + y = 6) 4x y = 8 x + y = 0) 7x + y = 6 x + y = 4) x 6y = 9 4x y = 9 ) x + y = x y = 7) x + y = x 4y = ) x + y = 6 4x 7y = ) x + y = 4 x y = 4) x + y = 7 4x + y = 8) x y = 4 x + y = ) x + 4y = x + 7y = 9 6) x + 0y = x + 7y = 8

11 .. EKVATIONER OCH OLIKHETER 7) x y = 8 x y = ) x + y = x + y = 4 ) x + y = 9 x y = 9) x + y = x 4y = 8 8) x y = 8 x + y = 7 ) x + 0y = x + y = 7 6) x + y = x + y = 4 0) x + y x + y = 9) x + y = 4 x + y = 8 ) x y = 7x y = 4 7) 4x 7y = x + y = ) x y = 9 x y = 8 0) 4x + y = x + 4y = 6 4) x + y = x y = 8 8) x + y = x + y = ) x y = 6 x + y = 4

12 INL Moment 4 7 Grafer och funktioner, trigonometri, potenser och logaritmer, derivator och integraler 4. Grafer och funktioner D., D. INL 4.a Bestäm algebraiskt ekvationen för, och skissa, den räta linje γ som går genom punkten P och som är parallell med linjen λ. ) P :, ), λ : x + y = ) P :, ), λ : x + y = 4 ) P :, ), λ : x 4y = 4) P : 4, ), λ : x + y = ) P :, ), λ : 4x y = 6) P :, ), λ : x y = 7) P :, ), λ : x + 4y = 8) P :, 4), λ : x y = 9) P : 4, ), λ : x + y = 0) P :, ), λ : 6x + y = ) P :, 4), λ : x y = ) P :, ), λ : 7x + 4y = ) P :, ), λ : 4x y = 4) P :, 4), λ : x + y = ) P :, ), λ : x + y = 6) P :, 4), λ : x y = 9 7) P : 4, ), λ : x + y = 8) P :, ), λ : x y = 9) P :, ), λ : x + y = 0) P : 4, ), λ : x + 4y = ) P :, ), λ : x + 6y = ) P :, 4), λ : x y = ) P : 6, ), λ : x + 4y = 4) P :, ), λ : x + y = ) P :, ), λ : x + y = 9 6) P :, ), λ : 4x y = 9 7) P : 4, ), λ : x + y = 8) P : 7, ), λ : x y = 9) P :, 6), λ : x + y = 0) P :, ), λ : x y = ) P : 7, 4), λ : x + y = ) P :, ), λ : x y = 4 INL 4.b Beräkna avståndet mellan punkterna som är angivna i ett ortonormerat koordinatsystem). ) P : 8, 4), P :, ) ) P : 4, 7), P :, 9) ) P : 7, 9), P :, ) 4) P :, 7), P : 6, ) ) P :, 6), P :, 4) 6) P :, 7), P :, 6) 7) P : 7, 8), P : 9, 6) 8) P : 7, 4), P : 0, 6) 9) P : 8, 7), P :, 9) 0) P : 9, ), P : 6, 7) ) P :, ), P :, 4) ) P :, 4), P :, 6) ) P :, 4), P :, ) 4) P :, ), P :, ) ) P : 4, ), P :, ) 6) P : 4, ), P :, ) 7) P :, ), P :, ) 8) P :, 4), P :, ) 9) P :, ), P :, ) 0) P :, ), P : 7, ) ) P :, ), P :, )

13 4.. GRAFER OCH FUNKTIONER ) P :, ), P :, ) ) P :, ), P :, ) 4) P : 4, 7), P :, 9) ) P : 6, ), P : 4, ) 6) P :, ), P :, ) 7) P :, 7), P : 4, ) 8) P :, ), P : 7, 4) 9) P :, 4), P :, ) 0) P :, 6), P :, 9) ) P :, 8), P :, 7) ) P :, ), P :, ) INL 4.c Gör en geometrisk tolkning av ekvationen och skissa resultatet. ) 4x + 4x + 4y = + 0y ) 6y + 4x + 4y = + x ) + x + 4x + 4y = 8y 4) + 4y + 4x + 4y = 4x ) + 8x + 4x + 4y = 4y 6) 8y + 4x + 4y = + x 7) 6 + 0y + 4x + 4y = 8x 8) 6x + 4x + 4y = 9 + 8y 9) x + 4x + 4y = 9 + 4y 0) + 6y + 4x + 4y x ) + 0y + 4x + 4y = x ) 8x + 4x + 4y = 9 + 4y ) 4 + 4x + 4y = 4x + 8y 4) + 4x + 4y = 8x + 0y ) + y + 4x + 4y x 6) x + 4y = 4x + 8y 7) 6 + 0y + 4x + 4y = 8x 8) 6x + 4x + 4y = + y 9) 4y + 4x + 4y = + 0x 0) x + 4x + 4y = 4y ) + x + 4x + 4y y ) 7 + 8y + 4x + 4y = 8x ) 4x + 4x + 4y = 9 + y 4) 7 + 0y + 4x + 4y = 6x ) + 4x + 4x + 4y = 8y 6) 9 + y + 4x + 4y = 4x 7) 0x + 4x + 4y = + y 8) 7 + 8x + 4x + 4y = 8y 9) 7 + 8x + 4x + 4y = y 0) 4 + 0y + 4x + 4y = 4x ) 6 + 0x + 4x + 4y = 8y ) 6y + 4x + 4y = + 8x INL 4.d Tolka ekvationen geometriskt utan hjälp av derivata-analys) och skissa resultatet. ) 8x = y + + x ) + y + x = 4x ) 8x + y = 7 + x 4) 4 + 4x + x = y ) x = x + y + 7 6) x + 8x + y + 9 7) x + y + = 4x 8) 8x + y = x + 0 9) + 4x + y + x 0) y + x + x ) x + y + 6 = 8x ) 0 + 6x + x + y ) x + y + 0 = 8x 4) x + y = 9 + x ) x + y + = 4x 6) y = 7 + x + x 7) x + 6x + y + 8) 8x + y = x + 9 9) + x + x = y 0) 4x + x + y + 4 ) x = x + y + 0 ) x + = 4x + y ) 8x = 7 + y + x 4) x + 4x + = y ) 6 + x + y + x 6) y + x + 9 = 8x 7) x + y + x 8) x + 9 = 8x + y 9) + 4x + y + x 0) x + x + 9 = y ) 8x + y = 7 + x ) x = 4x + y

14 4 INL 4.e Ange och förklara definitionsmängden och värdemängden för funktionen f. ) 6 x + 7) fx) = + 4x x + x + xx ) 8) fx) = + x + xx ) + x + 6 ) fx) = x x + 4 x + x + x + 4 x + + x 9) fx) = x 400 x x + 0 ) fx) = x + x + + x + + x + x + ) fx) = x + x 9 x 9 4) fx) = x + 7 x + 7 ) fx) = x + x + x x x )9 x) x 4x x 8 x 8 0) fx) = 9 + x 9 x x 9 x + ) fx) = x + + x x + x 7 x 7 8 x 8 x x + 9 6) fx) = x + 9 7) fx) = + x + 8 x x + 7 x + 7 x )x 6)7 x) x )x 6)7 x) + x x 8) fx) = x 009 x x 00) + x 0 x 0 9) fx) = x )x 4) x + x )x 4) 0) fx) = + x 00 ) + x 0 ) x 00 x 0 ) fx) = ) fx) = x )x ) x x + x x ) fx) = x 4 x 4 + x + 4) fx) = x x + x x ) fx) = x + )x ) x + 4 6) fx) = x x 4 x 4 x + x + + x + x + x x 4 x x 4 ) fx) = x + 7) x) ) fx) = 4) fx) = ) fx) = 6) fx) = x + 7 x x + x + + x + x + x + ) x + x + x + x + x 4) x 4 7 x + 8 x x + 7 x x x 7) fx) = x + x 4 x 4 + x 9 x 9 x 4 x 6 8) fx) = + x x x 4 x 6 9) fx) = ) x x x 0) fx) = x x x 6 x 7 + x x x 8 x 9 ) fx) = x 6 x x 6 ) fx) = x x + 4 x 4 x + 7 x 7 x INL 4.f Förklara direkt från ekvationerna varför de två räta linjerna λ och λ skär varandra i precis en punkt. Bestäm sedan koordinaterna för denna punkt. ) λ : x + y =, λ : x + y = ) λ : x + y =, λ : x 4y = 8 ) λ : x + y, λ : x + y = 4) λ : x y = 9, λ : x y = 8 ) λ : x y = 6, λ : x + y = 4 6) λ : x y =, λ : x + y = 4 7) λ : 4x + y =, λ : x + y = 8) λ : x + y =, λ : x + y = 4 9) λ : x + 0y =, λ : x + y = 7 0) λ : x y =, λ : 7x y = 4

15 .. TRIGONOMETRI ) λ : x + 0y =, λ : x + 7y = 8 ) λ : x y = 8, λ : x y = ) λ : x y = 8, λ : x + y = 7 4) λ : x + y = 4, λ : x + y = 8 ) λ : 4x + y =, λ : x + 4y = 6 6) λ : x + y =, λ : x y = 8 7) λ : x + 4y =, λ : x + 7y = 9 8) λ : x y =, λ : x + y = 7 9) λ : x 6y = 9, λ : 4x y = 9 0) λ : x + y = 4, λ : x y = ) λ : x y = 4, λ : x + y = ) λ : x y = 0, λ : 4x y = 0 ) λ : 7x + y = 6, λ : x + y = 4) λ : x + y = 6, λ : 4x 7y = ) λ : x + y =, λ : x y = 6) λ : x + y = 7, λ : 4x + y = 7) λ : 4x + y =, λ : x y = 7 8) λ : 4x y = 8, λ : x + y = 9) λ : x + y =, λ : x 4y = 0) λ : x + y = 9, λ : x y = ) λ : x + y =, λ : x + y = 4 ) λ : 4x 7y =, λ : x + y =. Trigonometri D.4, D.8., D.8.4 INL.a Skissa, i en och samma figur, funktionskurvorna γ och γ. ) γ : y = sinx) γ : y = sin4x/) ) γ : y = cosx) γ : y = cos4x/7) ) γ : y = sinx) γ : y = sinx/) ) γ : y = cosx) γ : y = cos6x/) ) γ : y = sinx) γ : y = sin7x/4) 4) γ : y = cosx) γ : y = 4 cosx/4) ) γ : y = sinx) γ : y = sinx/6) 4) γ : y = cosx) γ : y = cosx/) ) γ : y = sinx) γ : y = sin4x/) 4) γ : y = cosx) γ : y = cos7x/4) γ : y = sinx) ) γ : y = sinx) γ : y = sinx/) γ : y = cosx) 6) γ : y = cosx) γ : y = cosx/) ) γ : y = sin4x/7) γ : y = cosx) 6) γ : y = 4 cos7x/4) γ : y = sinx) 7) γ : y = sinx) γ : y = sinx/) 6) γ : y = cosx/6) γ : y = sinx) 7) γ : y = sin4x/7) γ : y = cosx) 8) γ : y = cosx) γ : y = cos4x/) 7) 8) γ : y = sin6x/) γ : y = cosx) γ : y = 4 cos4x/7) 8) 9) γ : y = cosx/) γ : y = sinx) γ : y = sinx/) 9) γ : y = sinx) γ : y = sinx/4) γ : y = cosx) 9) γ : y = sinx) γ : y = sin7x/4) 0) γ : y = cosx) γ : y = cos4x/) 0) γ : y = cosx/) γ : y = sinx) 0) γ : y = cosx) γ : y = cosx/) ) γ : y = sinx) γ : y = sinx/4) ) γ : y = sinx/) γ : y = cosx) ) γ : y = sinx) γ : y = sinx/) ) γ : y = cosx) γ : y = cosx/) ) γ : y = 4 cosx/4)

16 6 INL.b Beräkna de två ej angivna funktionsvärdena i trippeln cosx), sinx), tanx). ) sinx) =, π < x < π ) tanx) = 4, π < x < π ) cosx) = 4, π < x < 7π 4) tanx) = 6, 7π < x < 4π ) sinx) =, π < x < π 6) tanx) =, π < x < π 7) cosx) =, π < x < π 8) tanx) =, π < x < π 9) sinx) =, π < x < 7π ) sinx) = 7, π < x < π ) tanx) =, π < x < π ) sinx) =, π < x < π 4) tanx) =, π < x < π ) cosx) = 4, π < x < π 6) tanx) =, π < x < π 7) sinx) = 4, π < x < 7π 8) tanx) = 6, 7π < x < 4π 9) cosx) =, π < x < π 0) tanx) =, π < x < π ) tanx) =, π < x < π ) cosx) =, π < x < 7π 4) tanx) =, 7π < x < 4π ) sinx) =, π < x < π 6) tanx) =, π < x < π 7) cosx) =, π < x < π 8) tanx) =, π < x < π 9) sinx) =, π < x < 7π 0) tanx) =, 7π < x < 4π ) cosx) =, π < x < π 0) tanx) =, 7π < x < 4π ) sinx) =, π < x < π ) tanx) =, π < x < π INL.c Beräkna funktionsvärdet utgående från funktionsvärdena sinx) och cosx) i uppgift INL.b. ) cosx π/4) 9) cosx π/) 7) cosx + π/4) ) cosx + π/) ) sinx + π/6) 0) sinx + π/) 8) sinx π/6) 6) sinx π/) ) cosx 7π/6) ) cosx π/4) 9) cosx + 7π/6) 7) cosx + π/4) 4) sinx + π/4) ) sinx + π/6) 0) sinx π/4) 8) sinx π/6) ) cosx π/4) ) cosx + π/6) ) cosx + π/4) 9) cosx π/6) 6) sinx + 7π/6) 4) sinx π/4) ) sinx 7π/6) 0) sinx + π/4) 7) cosx π/6) ) cosx + π/) ) cosx + π/6) ) cosx π/) 8) sinx + π/4) 6) sinx π/) 4) sinx π/4) ) sinx + π/) INL.d Lös ekvationen. ) sinx 4π ) = 9) sinx π 6 ) = 7) sinx π ) = ) sin π 4 x) = ) cos π 6 x) = 0) cos π x) = 8) cos π 4 x) = 6) cosx π 6 ) = ) sinx π 8 ) = ) sin π 4 x) = 9) sin π 4 x) = 7) sinx π ) = 4) cos π 4 x) = ) cosx π 6 ) = 0) cosx π ) = 8) cos π x) = ) sin4x π ) = ) sinx π ) = ) sinx π 8 ) = 9) sinx π ) = 6) cos π 6 x) = 4) cos π 6 4x) = ) cos π 4 x) = 0) cos π 4 x) = 7) sin π x) = ) sin π 4x) = ) sinx π 6 ) = ) sin π 6 x) = 8) cos4x π 6 ) = 6) cos4x π 4 ) = 4) cos π 4 4x) = ) cos4x π ) =

17 6.. POTENSER OCH LOGARITMER 7 INL.e Lös ekvationen för x R). ) cosx) + 4 sinx) = 7 + cos x) ) 6 cosx) + 6 sin x) = cosx) + ) cosx) + sinx) + ) = 4 cos x) 4) sinx) + sinx) ) 6 sin x) + cosx) + 0 cosx) + 6) cosx) + cos x) = 4 sinx) 7) 8 cosx) ) = 9 cosx) + 0 sin x) 8) cosx) + 0 sinx) + cos x) + 9) sin x) + 4 cosx) = + cosx) 0) 4 cosx) + = cosx) + 6 sin x) ) 4 cos x) = + 6 sinx) + cosx) ) cosx) + 6 sin x) = + 4 cosx) ) 4 cos x) + = 6 sinx) + cosx) 4) 6 sin x) = + 6 cosx) + cosx) ) + 6 sinx) + cosx) = 6 cos x) 6) 0 cos x) = 4 sinx) cosx) 7) cosx) = cosx) + 4 sin x) 8) cos x) + 4 sinx) + cosx) 9) 4 cosx) + cosx) + sin x) + 0) cosx) + 7 = 6 cos x) + 0 sinx) ) cos x) = cosx) ) sin x) + cosx) = 4 cosx) 7 ) 6 cos x) + 8 sinx) = cosx) 4) cosx) = 4 cosx) + sin x) ) 6 cos x) + cosx) = + 6 sinx) 6) cosx) + cosx) + sin x) = 7) cosx) + = cosx) + 4 sin x) 8) 4 cos x) + 0 sinx) = + cosx) 9) = cosx) + 6 cosx) + 4 sin x) 0) cos x) + 4 sinx) + = cosx) ) 4 cos x) = cosx) ) + sin x) cosx) + cosx) INL.f Skriv det komplexa talet på den polära) formen rcos θ + i sin θ) = re iθ, där i är den imaginära enheten, och där r och θ är solutbeloppet av respektive argumentet för talet. Illustrera sedan talet i det komplexa talplanet. ) i 9) + i 7) ) + i ) 0) i 8) 6 i 8 6) i ) + i ) + i 9) + i 7) i 4) + i ) i 0) + i 7 8) i ) i ) 7 + 7i ) i 9) + i 6) i 4) i ) 4 4i 0) + i 7) i ) i ) + i 6 ) i 8) i 6) + i 4) 6 6i ) i 6. Potenser och logaritmer D. INL 6.a Förenkla framställningen av uttrycket så mycket som möjligt är. Det antages att a, b > 0. ) ) ) ) 4 4 a b ) a b ). ) ) ) a b a ) b a b a. ) a b b a b a. 4) a b b. a4 b a b 4 a b

18 8 ) ) ) a4 b a 4 b 4. a b ) a ) ) b a b 4. a b 9) ) a4 b a b ). a b 6) ) ) 4 a b 4. 6) a b ) ) 4 a b. a b a b 4 ) ) 4 ) a b. 0) 4 a b ) b a b ). 7) ) ) 4. a b a b 7) ) a b 4 a ) b. a b 4) ) ). ) a4 b ) 4 ). 8) ) ) 4 a4 b a b. a b 8) ) 4 ) a. a4 b ) ) ) 4 a b a b. ) ) a b 4 ). a b 9) a b 4 a b ) a ) b. 9) 0) 8a b ) / ) a 4/ 7 b. a ) ) 4 a a. 6) 7) 4 a b ) ). ) ) a b 4. ) 4) b 4 a b ) a b ) a b ). a b ) 4 a b. a 0) ) a 4 b 4 a4 b a b ) ) 4. ) a b ). ) ) a 4 a ) 4. a b 8) a b 4 a b ) a a4 b ). ) ) 4 a b ). a b a4 b ) ) 4 4 a b ). a b a b INL 6.b Förenkla framställningen av uttrycket så mycket som möjligt är. ) log ee e) + log 8 ) + log /) ) log 4 7) + ln e) + /) lg/00) ) log ) + log 6 6) + log 6) 4) lg ) lg/ 8) + log / 6 6 6) ) ln e ) + log / 8) + log 7) 6) log 9 4) + log / ) + log ) 7) log ) + log 8 7) + lg/ 00) 8) log 8) log 4 7) log 4 8) 9) [lne 4 ) lne )]/[ lne )] + log 6) 0) log e e) + log / ) + log 4 9) ) log 7 8) + log /6) + log ) ) log 4) log 9 76) log 7 8) ) ln4) + ln/4) ln9)/ 4) log 8 4) log 8 /7) + log 4 ) + log 8) ) ln/9) ln 7) + ln8) 6) lg/) lg4)/ lg9/) 7) log 6 6) + log 7 7 /49) + log 8 ) 8) ln e) log 8) lg/ 000) 9) lg0 ) log 4 4 ) lne / ) 0) log 4 6) + log / 8) log 8 7) ) log ) log ) + ln/ e ) + log 9 7) ) lg 4 0) lne 7 ) + log 9 ) ) log 7) + log 8) log 8 ) 4) lg 4 000) ln e 4 ) + log 4 7 7) ) ln e ) + log 4) 4 lg0 ) 6) log 6 /4 ) + log ) + log 8 7) 7) ln/e ) + lg 7 00) log 6 8) 8) log 64 6) + lg 4 6 6) ln e ) 9) log 4 49) + log 6 6) + log ) log 64 ) 0) lne e) log 64 8) + log 7 79) ) log 4) log 4 6) ln e ) ) log 8 / ) + log ) + log 64)

19 6.. POTENSER OCH LOGARITMER 9 INL 6.c Lös ekvationen. TIPS: För lösandet av versionerna, 4, 0,, 6, 9,,, 8, 9,, kan det löna sig att överväga om ett polynom av typen at + bt + c med heltalskoefficienter a, b, c, men med ett otympligt stort värde på a, går att faktorisera som at + β)t + γ) där β och γ är heltal. ) + x = ) x ) 9 x + 6 x = ) x + 4 x+ = 4) ) x + 9 x = 4/ ) x+ + x = 6) x = x 7) x+ + 4 x = 8) 9 x+ + 8 x+ = 9 9) x+ + x+ = x + 0) x = 4 x ) x = 7 + x ) 8 x = x 7 ) ) x x = 4) 9 x = x + ) x + 4 x = 6) x x = 4 7) x = x 8) x = x 9) ) x+/ + 74 x = 0) x 4 = + 8 x ) + 4 x = 7 x ) 6 x = x ) 7 x + 4 x+ = 4) ) x + x ) x+ + x = 6) + x = x 7) x + = x 8) 9 x x = 9) 4 x+ + x = 0) x = 4 x + ) x+ + 7 = x ) x = + x INL 6.d Lös ekvationen. ) lnx) + lnx + e) = + ln) ) x lgx) ) log x) = log x ) + 8 4) lnx ) + lnx + ) = lnx + ) ) x lgx) 6 6) log 6 x + )) + log 6x + 4) = 7) lnx e) = ln/x) + 8) x lgx) 0x) 9) ln x) = lnx ) + 8 0) ln x )) + lnx 4) = ln) ) log x) + log x x/) ) lnx ) + lnx) = ln) ) 0x lgx) = x/0) 4) log x + ) log x) = ) ln) + ln x + ) = lnx) 6) x lgx) 0x 7) log x) log x + ) = 8) ln x) + ln x) = lnx ) 9) x +lgx) 0 0) log x + ) + log x ) = ) ln x) + ln/x) ) x lgx) 0/x ) log x) + 4 log 4x ) = 7 4) lnx) = + log x e ) ) x +lgx) = ) log x 8) + log x) = 7) lnx) = ln x) 8) x +lgx) = 0x) 9) log x) + log x ) = 0) 8 log x e) = lnx) + ) x +lgx) ) log x)/ log 4 x) =

20 0 7. Derivator och integraler D.6, D.7 INL 7.a Beräkna utifrån deriveringsregler, derivatan till funktionen f. ) fx) = cos/x) + ex x + + x x ) fx) = x + 7 x + x + sinlnx)) ) fx) = x 7/9 + x cosx) + e 9x 4) fx) = sin/ x) + x lnx + ) + x 4/ ) fx) = x + x + x9/4 + cosx ) 6) fx) = x 4 + x sinx) + lnx + ) 7) fx) = cos/ x) + x + x + x7 lnx) 8) fx) = lnx) x + x 9 + sin6x) 9) fx) = x / + x cosx) + e x 0) fx) = sinx ) + x lnx + ) + x 4/ ) fx) = 4x + x + x/7 + cosx ) ) fx) = x 7 + x sinx) + lnx + 7) ) fx) = cosx) + x + + x + ) lnx + ) 7x 4) fx) = lnx) x + x 8 + sinx) ) fx) = x 9/7 + x cosx) + e x 6) fx) = sinx ) + x lnx + ) + x 9/ 7) fx) = 7x x x7/7 + cosx + )) 8) fx) = x 9 + sinx) x + lnx ) 9) fx) = x + 4x + + x7/6 + sin x) 0) fx) = x + cosx ) + x lnx) ) fx) = sin/x) + ex x + + x x ) fx) = x x x + coslnx)) ) fx) = x 8/9 + x sinx) + e x 4) fx) = cos/ x) + x lnx + ) + x 7/ ) fx) = x x + + x9/4 + sinx ) 6) fx) = x + x cosx) + lnx 4 + ) 7) fx) = sin/ x) + x x + + x lnx) 8) fx) = lnx) x + x + cos7x) 9) fx) = x /7 + x sinx) + e x 0) fx) = cosx 4 ) + x lnx + ) + x / ) fx) = 4x + x + + x/6 + cos x) ) fx) = x 7 + sinx ) + x + ) lnx) INL 7.b Bestäm tangenten till kurvan Γ i punkten P. ) Γ : y = x, P : 4, ) ) Γ : y = x 4x +, P :, ) ) Γ : y = 4, P :, ) x 4) Γ : y = x +, P :, ) ) Γ : y =, P : 0, ) x + 6) Γ : y = x +, P :, ) 7) Γ : y = x 4x +, P :, ) 8) Γ : y = 6, P :, 4) x 9) Γ : y = x +, P :, ) 0) Γ : y =, P :, /) x + 4 ) Γ : y = x 4, P : 8, ) ) Γ : y =, P :, ) x + ) Γ : y = x, P :, ) 4) Γ : y = x x, P :, ) ) Γ : y = 4, P :, ) x

21 7.. DERIVATOR OCH INTEGRALER 6) Γ : y = x +, P :, ) 7) Γ : y =, P : 0, ) x 8) Γ : y = x +, P :, ) 9) Γ : y = x + x, P :, ) 0) Γ : y =, P :, ) x ) Γ : y = x, P :, /) ) Γ : y =, P :, ) x + ) Γ : y = x, P :, ) 4) Γ : y = x x, P :, 4) ) Γ : y = 9, P :, ) x 6) Γ : y = x +, P :, ) 7) Γ : y =, P :, ) x 8) Γ : y = x +, P :, ) 9) Γ : y = x + x +, P :, ) 0) Γ : y =, P :, ) x ) Γ : y = x +, P :, /) ) Γ : y =, P :, ) x INL 7.c Ange samtliga primitiver till funktionen f. ) fx) = x + + 8x + sin8x) ) fx) = x 7/ + cos6x) + e 4x ) fx) = 6x + + x/4 + sinx) 4) fx) = x /0 + cosx) + e x/4 ) fx) = 7x + 4x7 + sinx) 6) fx) = x 8/ + cos4x) + e x/ 7) fx) = 8x + + x9/4 + sinx) 8) fx) = x 8/ + cosx) + e x/ 9) fx) = 9x + + 0x + sin4x) 0) fx) = x /9 + cosx) + e x/ ) fx) = 7x + + x4/9 + sin8x) ) fx) = x /8 + cos7x) + e x/ ) fx) = 8x + 8x6 + sin9x) 4) fx) = x /6 + cos6x) + e x/ ) fx) = 9x x/6 + sin6x) 6) fx) = x 4/ + cos8x) + e x/4 7) fx) = 6x + + x4 + sin7x) 8) fx) = x 9/ + cos9x) + e x/ 9) fx) = x + + x/ + sin4x) 0) fx) = x /4 + cosx) + e x ) fx) = x + 7x6 + sinx) ) fx) = x / + cosx) + e x ) fx) = x x7/4 + sinx) 4) fx) = x 8/ + cosx) + e x ) fx) = 4x + + x + sinx) 6) fx) = x /8 + cos4x) + e 4x 7) fx) = x + + x4/ + sinx) 8) fx) = x /7 + cos7x) + e x 9) fx) = 4x + x4 + sin6x) 0) fx) = x /4 + cos8x) + e x ) fx) = x x/4 + sin7x) ) fx) = x / + cosx) + e x

22 INL 7.d Beräkna arean av den i x, y-planet begränsade region som innesluts av kurvorna γ och γ. Illustrera med en figur. ) γ : y = x, γ : y = x + 4 ) γ : y = x, γ : y = 7x + 78 ) γ : y = x, γ : y = 6 + x 4) γ : y = x, γ : y = 4 x ) γ : y = x, γ : y = 7x 6) γ : y = x, γ : y = x + 8 7) γ : y = x, γ : y = x 6 8) γ : y = x, γ : y = x + 9) γ : y = x, γ : y = 4 x 0) γ : y = x, γ : y = 7x + 8 ) γ : y = x, γ : y = x + 4 ) γ : y = x, γ : y = 6 9x ) γ : y = x, γ : y = 6 x 4) γ : y = x, γ : y 4 + x ) γ : y = x, γ : y = x 4 6) γ : y = x, γ : y = 44 7x 7) γ : y = x, γ : y = x + 8) γ : y = x, γ : y = x 4 9) γ : y = x, γ : y = x + 4 0) γ : y = x, γ : y = 7 x ) γ : y = x, γ : y x ) γ : y = x, γ : y = 60 7x ) γ : y = x, γ : y = x + 0 4) γ : y = x, γ : y = x ) γ : y = x, γ : y = x ) γ : y = x, γ : y = x 7) γ : y = x, γ : y = x 8) γ : y = x, γ : y = 9x 0 9) γ : y = x, γ : y = x + 0 0) γ : y = x, γ : y = 7x 0 ) γ : y = x, γ : y x ) γ : y = x, γ : y = 70 9x