MMA127 Differential och integralkalkyl II

Transkript

1 Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA127 Differential och integralkalkyl II Tentamen Lösningsförslag Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva tillåten). Poängfördelning och betygsgränser: Uppgifterna ger upp till 5 poäng, och till den sammanlagda poängen läggs eventuella bonuspoäng. 11 p: U p: p: p eller mer: 5. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Delpoäng utdelas, så lämna in allt som du gjort även om du inte lyckades slutföra uppgiften. Om du inte klarar en uppgift, men ändå har en uppfattning om vad man borde göra, skriv en förklaring till vad du skulle ha gjort. Om du i en uppgift behöver ett resultat från en tidigare deluppgift som du inte lyckats lösa, hitta på en lösning till den så att det går att komma vidare. Du behöver inte utföra krångliga numeriska beräkningar; det är OK att svara t.ex Lös nedanstående integral: 2 1 y/2 ye x3 dx dy (Tips: byt integrationsordning.) Integrationsområdet ser ut som Omformulerat blir det y 2x, x 1. Med omkastade gränser blir det 2 1 y/2 ye x3 dx dy 1 2x ye x3 dy dx 1 [ 1 2 y2 e x3] 2x dx 1 2x 2 e x3 dx [ 2 3 ex3] (e 1) 1

2 MMA123 Tentamen Lösningsförslag Sida 2 (av 7) Rättningsnorm: Korrekt hanterat gränserna: 1 p. Klart visat att man vet hur dubbelintegraler räknas ut (inre först, yttre sen): 1 p. Löst integralerna korrekt: 1 p. 2. Parabeln y 5x x 2 och linjen y 4 avgränsar tillsammans ett ändligt område. Beräkna volymen av den kropp som erhålls då detta område roterar runt linjen y 3. Området ser ut så här: Det sträcker sig mellan x 1 och x 4. Vid rotation runt y 3 bildas ett cylinderformat hål med radien 1 i mitten. Enklast är att räkna volym utan hål och sedan dra bort hålet. Skrivar vi upp den massiva kroppen motsvaras skivornas radie av avståndet mellan parabeln och linjen y 3, dvs. radien blir r (5x x 2 ) 3. Volymen blir V 4 1 π(5x x 2 4) 2 dx π π(x 4 1x x 2 4x + 16) dx 3π 51π 1 v.e. Rättningsnorm: Helt rätt: 3 p. Missat en eller två saker: 2 p. Missat mer än så, men inte helt fel: 1 p. 3. (a) Då man löser max- och minproblem så börjar man med att leta reda på intressanta punkter, som man sedan undersöker närmare. Om man ska lösa ett två-variablers problem, vilka typer av punkter är det som man ska leta upp? (1p) Punkter där båda partialderivatorna är noll ( kritiska ), punkter där någon av derivatorna inte går att beräkna ( singulära ), randpunkter. Rättningsnorm: Alla tre typerna måste finnas med för poäng. (b) Då man löser max- och minproblem i en variabel kan man använda både förstaderivatatestet och andraderivatatestet. Förstaderivatatestet går dock inte att använda för problem i två variabler. Förklara varför! (1p) Förstaderivatatestet bygger på att man ser om funktionsvärdena ökar eller minskar till höger respektive till vänster om den undersökta punkten. I två variabler skulle

3 MMA123 Tentamen Lösningsförslag Sida 3 (av 7) man behöva undersöka vad som händer på alla sidor om punkten. Tyvärr finns det här oändligt många sådana! Man kan inte undersöka oändligt många saker en i taget. Rättningsnorm: Allt som tyder på att man förstår problematiken godtas. (c) Beskriv kortfattat hur andraderivatatestet för två-variablers funktioner fungerar. Det man gör är att undersöka tecknet på AC B 2, där A f xx (a, b), B f xy (a, b) och C f yy (a, b) och (x, y) (a, b) den punkt som ska undersökas. Men varför ger denna undersökning svar på frågan? (Svaret behöver inte vara så välformulerat, men det måste gå att se att du har förstått.) (1p) Det man egentligen tittar på är skillnaden mellan funktionsvärdet i den punkt där förstaderivatorna är noll och i punkter i närheten. Om denna skillnad hela tiden har samma tecken så är punkten en extrempunkt, annars är den en sadelpunkt. Genom att ställa upp ett andra ordningens Taylorpolynom och kvadratkomplettera så kan man göra denna teckenanalys. Man får kvadrat+(ac B 2 ) kvadrat. Om AC B 2 är positivt måste ju detta garanterat bli positivt (vilket innebär konsekvent tecken), annars kan det bli både positivt och negativt, beroende på vilken av kvadraterna som dominerar. Rättningsnorm: Det ska på något sätt framgå att det handlar om teckenstudium av skillnaden mellan funktionsvärdena. 4. Anta att w f (x, y), x r cos θ och att y r sin θ. Visa att ( ) 2 + Kedjeregeln ger att ( ) 2 ( ) r r 2 ( ) 2 θ r r + r θ θ + θ Vi har också att r r cos θ cos θ r r r sin θ sin θ r All denna information insatt i högerledet ger θ r cos θ r sin θ θ θ r sin θ r cos θ θ ( ) ( ) 2 ( r r 2 θ r + ) ( r r 2 θ + ) 2 θ ( ) 2 cos θ + sin θ + 1 ( ) 2 r sin θ + r 2 r cos θ ( ) 2 cos 2 θ + 2 ( ) 2 cos θ sin θ + sin θ ( ) 2 r 2 r2 cos 2 θ 2r 2 ( ) 2 cos θ sin θ + r2 sin θ 2 ( ) 2 ( ) 2 (cos 2 θ + sin 2 θ) + (cos 2 θ + sin 2 θ)

4 MMA123 Tentamen Lösningsförslag Sida 4 (av 7) ( ) 2 + ( ) 2 (Detta kan vara intressant om man räknar på något som bäst låter sig beskrivas i polära koordinater.) Rättningsnorm: Helt rätt: 3 p (ställt upp kedjeregeln rätt: 1 p; räknat partialderivatorna rätt: 1 p; satt ihop informationen och förenklat: 1 p). I övrigt poäng efter hur stor del av uppgiften man löst. 5. (a) Förklara vad det innebär att en funktion f : R 2 R har gränsvärdet L i punkten (x, y) (a, b). (Formell definition eller egna ord går lika bra.) (1p) Att funktionsvärdet kommer att närma sig L då man går mot (a, b) oavsett vilken väg man går. Att man kan få funktionsvärdet godtyckligt nära L genom att lägga sig tillräckligt nära (a, b), oavsett i vilken riktning relativt (a, b) man befinner sig. Att det till varje positivt tal ε går att hitta ett positivt tal δ sådant att om (x, y) ligger inom avståndet δ från (a, b) (och i definitionsmängden men inte exakt på (a, b)) så kommer skillnaden mellan f (x, y) och L att vara mindre än ε. Rättningsnorm: Det där att det ska funka utmed alla vägar/alla håll måste framgå. (b) Ge formella definitionen av att en funktion funktion f : R 2 R är kontinuerlig i punkten (x, y) (a, b). (1p) Funktionsvärde och gränsvärde existerar båda i punkten och är lika med varandra. Rättningsnorm: Ska vara precis detta, det är så formella definitionen är! (c) Ge ett exempel på en funktion f : R 2 R som är kontinuerlig men inte differentierbar i origo. (Formel, bild eller beskrivning i ord går lika bra.) (1p) Enklaste exempelt: En kon, f (x, y) x 2 + y 2. Är kontinuerlig men har en spets i origo och är därför inte differentierbar. Rättningsnorm: Svaret ska gå att begripa och uppfylla det givna kravet. 6. Vi har differentialekvationen (a) Visa att dy dx 2xy f (x) n x 2n n! är en lösning till differentialekvationen. (2p) Variant 1: Vi skriver om uttrycket till klartext, vilket är lättare att analysera och derivera: f (x) x! + x2 1! + x4 2! + x6

5 MMA123 Tentamen Lösningsförslag Sida 5 (av 7) 1 + x 2 + x4 2! + x6 f (x) + 2x + 4x3 2! + 6x5 2x f (x) 2x + 2x 3 + 2x5 2! + 2x7 2x + 2 2x x5 3 2! + 4 2x7 4 3! + 2x + 4x3 2! + 6x5 3! + 8x7 4! +... Vi ser att f (x) och 2x f (x) är lika, så f (x) 2x f (x) är noll, dvs. detta är en lösning till differentialekvationen. Variant 2: Vi känner igen uttrycket som MacLaurinutvecklingen av e x2, så det vi har att göra är att bekräfta att denna funktion löser differentialekvationen: y e x2 y 2xe x2 y 2xy 2xe x2 2xe x2 Ja, det stämmer! Rättningsnorm: Helt rätt: 2 p. Delvis korrekt, eller delvis löst: 1 p. (b) Bestäm den lösning till differentialekvationen som uppfyller bivillkoret y() 5. Variant 1: Differentialekvationen är separabel, och kan skrivas om till 1 dy y dx 2x Löses enligt 1 y dy 2x dx ln y x 2 + C Det är givet att y är positivt i det område som vi studerar, så vi kan skippa beloppstecknet. ln y x 2 + C y e x2 +C Bivillkoret ger ln C C ln 5 Lösningen är alltså y e x2 +ln 5 e x2 e ln5 5e x2. Variant 2: Diffetentialekvationen är linjär: y + ( 2x)y Integrerande faktor fås genom att ta fram en primitiv funktion till 2x, t.ex. x 2. Vi får e x2 (y + ( 2x)y) e x2 e x2 y + ( 2x)e x2 y d dx (e x2 y)

6 MMA123 Tentamen Lösningsförslag Sida 6 (av 7) e x2 y dx C y C e x2 Cex2 Sedan bestäms C ur bivillkoret. Rättningsnorm: Helt rätt: 3 p (angripit med lämplig metod: 1 p; lyckats med metoden: 1 p; fixat bivillkoret: 1 p). I övrigt poäng efter hur stor andel man lyckats genomföra. 7. En reflex sitter monterad på ett cykelhjul. Reflexens läge vid tiden t kan beskrivas med parameteruttrycken x,3(t +,5 cos t) y,3(1,5 sin t) x och y mäts i meter och tiden t i sekunder. (a) Skissa den kurva som reflexen följer under tidsintervallet t 2π. (2p) Gör upp en värdetabell för de värden på t där det verkar möjligt att räkna ut något. (Om tidsnöd råder, tag värden med π/4 emellan, använd mer fingraderat annars.) π 3, cos π/4 sin π/4,7. Man kan inse att y-värdena kommer att upprepas, så man behöver inte beräkna alla där. t x y,15,3 π/4,33,2 π/2,45,15 3π/4,57,2 π,75,3 5π/4 1,2,4 3π/2 1,35,45 7π/4 1,68,4 2π 1,95,3 Rättningsnorm: Korrekt teknik och en någorlunda rätt kurva: 2 p. Rätt teknik men felräknat/felritat så att kurvan är definitivt fel: 1 p. Korrekt kurva utan motivering: 1 p. (b) Bestäm vid vilken tidpunkt i intervallet reflexens fart är som störst. (Farten är lika med storleken på hastigheten.) Hastigheten är v t,,3(1,5 sin t),,15 cos t t så farten är v v,3 (1,5 sin t) 2 + (,5 cos t) 2,3 1 sin t +,25 sin 2 t +,25 cos 2 t

7 MMA123 Tentamen Lösningsförslag Sida 7 (av 7),3 1,25 sin t Detta uttryck kan maximeras på vanligt sätt med hjälp av derivering, men annars ser man att det har sitt största värde då sin t är som minst. Minsta värdet är 1 och antas då t 3π/2 (motsvarar toppen på bågen, då reflexen rör sig rakt framåt). Rättningsnorm: Helt rätt: 3 p. (Hastigheten: 1 p; farten: 1 p; maximeringen: 1 p). I övrigt poäng efter hur mycket som är rätt. (Så fel hastighet, men sedan korrekt fart och maximering baserat på detta ger 2 p.) Lycka till!