Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren).

Transkript

1 Derivata Sekant oc tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). I figuren ovan finns även en tangent inritad. Som nästa ska vi titta på vad som kännetecknar en tangent. Begreppen sekant oc tangent är viktiga. Beteckningarna x oc y används i matematiken för att beteckna ändringar. Riktningskoefficienten k y y1 k =. Denna formel kan även skrivas x x1 y kallas ändringskvot eller differenskvot. x för en linjär funktion beräknas som bekant med formeln y k = oc kvoten x x = ändringen (differensen) i x-led = b a y = ändringen (differensen) i y-led = f(b) f(a) y f(b) f(a) Ändringskvoten eller differenskvoten = = är då lika med riktningskoefficienten eller x b a lutningen för sekanten som går genom punkterna (a, f(a)) oc (b, f(b)). Exempel 1 Betrakta funktionen f(x) = x 3x. Bestäm den differenskvot som svarar mot att x-värdet ändras från till 4. Vad säger oss den beräknade differenskvoten? Lösning f() = - 3 = - oc f(4) = = 4 ger att differenskvoten blir 1

2 y 4 ( ) 6 = = = 3 x 4 Detta svarar mot lutningen på den sekant som går genom (, -) oc (4, 4). Exempel Eftersom en tabell också är ett sätt att åskådliggöra ett samband kan man också där beräkna en differenskvot. Låt oss titta på en tabell som återger ur temperaturen varierade under några timmar. Här är tidpunkten den oberoende variabeln ( vårt x ) oc temperaturen den beroende variabeln ( vårt y ). Tidpunkt(kl) Temp( 0 C) 14,3 14, , 19 18, ,1 14,6 13, Bestäm ändringskvoten mellan klockan 11 oc 14. Vad säger oss denna kvot om temperaturändringen? y 18, 4 16, 4 Ändringskvoten = = = = 0, 8 grader per timme. x Ändringskvoten ger oss ett genomsnittvärde på temperaturändringen mellan klockan 11 oc 14, dvs. är ändrades temperaturen i genomsnitt med 0,8 grader per timme. Exempel 3 En funktion representeras också av sin graf. Därför är det bara att använda sig av de två utvalda punkternas koordinater för att bestämma ändringskvoten. Titta på följande graf. Bestäm ändringskvoten när x ökar från 1 till. Lösning Ändringskvoten = lutningen. y 0 = = = x 1 1 dvs. som vi kan se av grafen svarar det mot en sekant med Medelvärde oc momentanvärde I exempel ovan talade vi om en medeltemperaturändring på 0,8 grader per timmer i tidsintervallet mellan klockan 11 oc 14. Tittar man på tabellen upptäcker man att de uppmätta tidsändringarna i själva verket var enligt följande: Klockan 11 till 1 ändrades temperaturen med +, grader Klockan 1 till 13 ändrades temperaturen med + 0,8 grader Klockan 13 till 14 ändrades temperaturen med 0,6 grader Om vi minskar tidsintervallet borde vi få ett svar som bättre stämmer överens med förändringen i det minsta uppmätta tidsintervallet. Ännu tydligare blir det när man talar om astiget när man kör bil. Titta på följande två sätt att ange ett astigetsvärde. 1. Man tar tid på ur länge det tog att köra en viss sträcka. Man började sin bilfärd klockan 11 oc kom fram klockan 15. Den körda sträckan avlästes till 3 mil. Om vi använder givna värden för att bestämma astigeten får vi att det tog 4 timmar för att köra 30 km. Det ger oss en astiget av 80 km/.

3 . Klocka 1.37 tittar man på bilens astigetsmätare oc avläser 50 km/. Vad är det för skillnad mellan dessa två astigetsvärden? Man säger om fall 1 att vi där beräknat en genomsnittsastiget eller medelastiget. Vi kan mycket väl a kört 110 km/ på motorvägen eller stannat för rött ljus på vår resa, men vi ar ållit medelfarten 80 km/. I fall däremot ar vi astigeten vid en tidpunkt eller i ett visst ögonblick (engelska moment ). Denna astiget kallas momentanastiget. Derivata är ett mycket centralt begrepp i matematiken. Avsnittet ovan kan sägas vara en slags förövning till derivatabegreppet. Om du tittar på ex ovan ser du ur man med jälp av ändringskvoten kan beskriva ur mycket temperaturen i genomsnitt ändras i ett visst tidsintervall. Om tidsintervallet är stort får man bara ett ganska grovt mått på förändringen. Ändringskvoten speglar inte på något bra sätt de temperaturförändringer som ev. skett inom intervallet. Genom att minska tidsintervallet får man en bättre uppfattning om förändringen (i det kortare tidsintervallet). Om vi i exemplet med bilen ovan minskar tidsintervallet mer oc mer, kan vi beräkna medelastigeten i allt kortare tidsintervall. Vi kommer då allt närmare den astiget bilen ar i ett visst ögonblick, den s.k. momentanastigeten. Eftersom ögonblick eter moment på engelska, kallas denna astiget momentanastiget. Det är i fortsättningen mycket viktigt att du skiljer på begreppen medelastiget oc momentanastiget. Gränsvärde Innan vi kan gå till själva definitionen av begreppet derivata måste vi titta på ett avsnitt som andlar om gränsvärdesberäkning. Exempel 1 Gränsvärdet för 3x + 5 då x går mot 0 är 5, vilket skrivs matematiskt lim(3x + 5) = 5 Egentligen innebär gränsvärdesbegreppet att x får vara ur nära som elst värdet 0 men inte exakt lika med 0. Alltså x får t ex vara -0, eller 0, Då inses i ovan att det i praktiken innebär att man kan sätta in x=0 i uttrycket. I vissa fall är det viktigt att komma iåg detta. Exempel x + x Betrakta uttrycket. Vad blir dess värde när x går mot noll? Matematiskt skrivs denna fråga som x x + x lim =? x 0 x Tänker man sig inte för kan man tro att det bara är att sätta in x=0 i uttrycket. Det skulle leda till att man får = =? vilket inte är definierat. Man försöker förenkla uttrycket så att man kan sätta in x- 0 0 värdet som i exempel 1. Det innebär är att x + x x(x + ) lim = lim = lim(x + ) = 0 + = x 0 x x 0 x x 0 x 0 Begreppet gränsvärde oc beteckningen limes. Det är viktigt att du blir bekant med dessa, då de ofta kommer att användas i fortsättningen. 3

4 Derivatans definition Den momentana förändringen av en funktion f (x) i punkten (a, f (a)) kallas för funktionens derivata i punkten oc betecknas f '(a) (läses: f-prim av a). Grafiskt sett är detta detsamma som lutningen på tangenten till funktionskurvan i punkten (den gula linjen i följande diagram). Den svarta linjen svarar mot sekanten genom punkterna (a, f(a)) oc (a+, f(a+)). Om vi nu låter gå mot noll ( lim ) innebär det att sekanten övergår till tangenten genom punkten (a, f(a)). Det innebär också 0 att det matematiska uttrycket f(a + ) f(a) lim (a + ) a svarar mot tangentens riktningskoefficient i punkten (a, f(a)), dvs. den momentana förändringen i punkten eller derivatan i punkten x=a, vilket skrivs f ( a) Den matematiska definitionen skrivs alltså = f(a + ) f(a) f '(a) lim (a + ) a Jämförelse mellan ändringskvot oc derivata Det är som jämförelsen mellan sekant oc tangent, vilket följande sammanställning visar. Ändringskvot (sekant) Riktningskoefficient för sekant Kurvans medellutning i ett intervall Derivata (tangent) Riktningskoefficient för tangent Kurvans lutning i en punkt k>0, sekanten stiger k<0 sekanten faller Svarar t ex mot medelastigeten för en bil över ett tidsintervall. f (a)>0 kurvan stiger f (a)<0 kurvan faller Svarar t ex mot astigeten för en bil vid en viss tidpunkt. Observera skillnaden mellan f(a) oc f (a)! f (a) > 0 innebär att kurvan stiger, oc man säger att funktionen f(a) är växande i punkten x = a. f (a) < 0 innebär att kurvan faller, oc man säger att funktionen f(a) är avtagande i punkten x = a. 4

5 Studieandledningen definierar ovan derivatan som den momentana förändringen av en funktion f( x ), i punkten med koordinaterna ( a; f( a )). Annorlunda uttryckt kan man säga att derivatan är kurvans lutning i punkten, oc med en kurvas lutning i en viss punkt menas lutningen för kurvans tangent i punkten. Derivatan definieras då som tangentens riktningskoefficient i punkten med x-koordinaten a. Lägg märke till ur derivatan betecknas. Om en funktion betecknas f( x ) så betecknas dess derivata f ( x) oc utläses f-prim-x. Notera även att en funktions derivata i sig också är en funktion. Man kan alltså rita derivatans graf i ett koordinatsystem. Den matematiska definitionen av en funktions derivata i punkten med koordinaterna ( a; f( a )) f( a+ ) f( a) ovan f ( a) = lim kan skrivas lite kortare om vi förenklar nämnaren. Då får vi ( a+ ) a f( a+ ) f( a) f ( a) = lim Om du tittar på figuren ovan med den svarta sekanten oc den gula f( a+ ) f( a) tangenten ser du att uttrycket i definitionen är sekantens riktningskoefficient. Om 0 ( går mot noll) kommer sekantens ögra ändpunkt att rycka allt närmare den vänstra. Detta, som ges innebär att sekantens riktningskoefficient alltmer närmar sig värdet på tangentens riktningskoefficent. Detta kan uttryckas som att sekantens riktningskoefficient går mot ett gränsvärde k då 0. Med derivatan i punkten med x-koordinaten a menas just detta gränsvärde. Därför kan vi skriva f ( a) = k. Om vi generaliserar definitionen oc låter den beteckna derivatan i någon punkt x i stället för i en viss punkt a kan vi skriva definition. f( x+ ) f( x) f ( x) = lim, oc då är vi framme vid derivatans matematiska 0 Betydelsen av derivata Det är gott oc väl att vi definierat begreppet derivata, men den kanske mest intressanta frågan återstår. Vad ska man a derivatan till??? Av resonemanget ovan ar föroppningsvis framgått att derivatan t.ex. kan betyda en bils momentanastiget. (Derivatans enet är då m/s) Derivatan ar olika betydelse i olika tillämpningar, oc andlar om ur någonting förändras i ett visst intervall. Om intervallet, som ofta är ett tidsintervall, görs tillräckligt kort, kan man säga att derivatan beskriver förändringen i ett visst ögonblick. Förutom att derivatan ar olika betydelser i olika praktiska tillämpningar, är derivatan ett utmärkt jälpmedel när man skall studera en funktion. Jag nämnde ovan att derivatan i sig också är en funktion, oc det finns ett samband mellan en funktion oc dess derivata. Deriveringsregler För att kunna beräkna derivatan i en punkt x = a, för en funktion f(x) vars uttryck är känt, är det viktigt att man lär sig de så kallade deriveringsreglerna. Vi ska börja med att närmare titta på ur dessa deriveringsregler kan ärledes utifrån derivatans definition. Vi ade definierat derivatan enligt följande: f(a + ) f(a) f '(a) = lim (1) (a + ) a vilket svarade mot att vi bestämmer lutningen för tangenten i x = a. 5

6 Denna definition (1) skulle också kunna skrivas f(x) f(a) f '(a) = lim () x a x a då vi även i den senare versionen () tänker oss att vi låter en godtycklig punkt (x, f(x)) på kurvan närma sig oc sammanfalla med punkten (a, f(a)). Det innebär att vi bestämmer samma lutning! Hur kan man använda derivatans definition för att bestämma derivatans värde i en punkt? Exempel 1. Vi ar funktionen f(x)= 3x oc vill bestämma f (1). Vi vet sedan tidigare att f(a + ) f(a) f '(a) = lim vilket vi skriver om till att gälla vårt exempel. (a + ) a f(1 + ) f(1) 3 (1 + ) (1 + + ) f '(1) = lim = lim = lim = lim (1+ ) 1 (1+ ) f '(1) = lim( + ) = lim(6 + 3) = 6 Svar: f (1)=6 Exempel. Vi ar funktionen f(x)= 3 oc vill bestämma f (1). Vi gör som ovan. f(1 + ) f(1) f '(1) = lim = lim = lim( ) = lim(0) (1 + ) 1 (1 + ) 1 Svar: f (1)=0 Om vi ade tänkt oss för ade vi även utan beräkningen ovan vetat att svaret måste bli noll. Om man ar en konstant funktion som t ex f(x)=3 innebär det att dess graf är en linje parallell med x- axeln. Alla punkter på denna linje ar då samma tangent eftersom den sammanfaller med linjen själv. Oc linjen själv ar riktningskoefficienten 0! Det innebär att för alla konstanta funktioner är derivatan noll! Deriveringsregler för att slippa använda derivatans definition Man inser rätt snart att det blir tungarbetat att ela tiden skriva upp differenskvoten oc ärleda derivatans värde. Det finns som tur är ett enklare sätt. Innan vi kommer dit ska vi titta på ett exempel ur man för en funktion y=f(x) kan bestämma den generella derivatan f (x). Vet man ur man får fram f (x) är det sedan lätt att i en punkt x=a beräkna f (a). Hur får man f (x) med derivatans definition? Ställ upp differenskvoten som tidigare. Anta att vår funktion är f(x)=x. Differenskvoten förenklas sedan så lång som möjligt. f(x + ) f(x) (x + ) x x + x + x x + = = = = x + (x + ) x Använd sedan definitionen på derivata, dvs f(x + ) f(x) f '(x) = lim (x + ) x för att bestämma det sökta gränsvärdet. Det innebär att f(x + ) f(x) f '(x) = lim = lim(x + ) = x. (x + ) x Funktionen f(x)=x ar alltså derivatan f (x)=x. På liknande sätt kan man titta på polynomfunktioner av ögre grad. Resultatet kan sammanfattas enligt följande: 6

7 f(x) f (x) x 1 (x 0 ) x x (x -1 = x 1 ) x 3 3x (3x 3-1 = 3x ) x 4 4x 3 (4x 4-1 = 4x 3 ) x 5? Detta ger oss deriveringsregeln för polynomtermer: f(x) = x n, n positivt eltal f (x) =nx n-1 Till detta lägger vi från tidigare att för f(x) = C är f (x)=0. C är en konstant. Har polynomtermen en koefficient försvårar det inte deriveringen nämnvärt. f(x) = k x n, n positivt eltal, k är en konstant f (x) = k n x n-1 Viktigt att känna till: Ett polynom deriveras term för term Exempel 3 Bestäm f (-3) om f(x) = x 3 x + 5. Lösning Bestäm först f (x) term för term med jälp av deriveringsreglerna. Det ger f (x)=3 x x = 6x - x 0 = 6x - 1 = 6x Därefter beräknas f (-3) = 6 (-3) =6 9 = 5 Svar: f (-3)=5 Om man vill a reda på en funktions derivata skulle det, som nämnts ovan, vara mycket omständligt oc tidsödande, om man varje gång skulle beöva använda derivatans definition, oc utgående från den ärleda derivatan. Tack oc lov kan man komma fram till des.k. deriveringsreglerna, med vars jälp man relativt enkelt kan få fram en funktions derivata. Ovan ar man, med jälp av definitionen, ärlett derivatan till funktionen f( x) = x oc kommit fram till 3 f ( x) = x. Om man ärleder derivatan till funktionen f( x) = x blir resultatet f ( x) = 3x 4 Om man skulle orka ärleda derivatan till f( x) = x skulle man efter viss möda komma fram till resultatet f ( x) = 4x 3 Ett mönster börjar framträda. För att få funktionens derivata, skulle man lite vanvördigt kunna säga att man placerar exponenten framför x-et, oc sedan minskar exponenten en enet. Med jälp av matematiska symboler kan detta formuleras i en regel. n n 1 Funktionen f( x) = x ar derivatan f ( x) = n x För att göra definitionen lite mer allmängiltig inför vi en koefficient vilken vi kallar C, framför variabeltermen. Konstanten påverkar inte själva deriveringen, utan den följer så att säga bara med. Deriveringsregeln blir då: n Funktionen f( x) = C x ar derivatan f ( x) = C n x n 1 Det är viktigt att du lär dig regeln utantill oc kan tillämpa den. Ovanstående regel gäller för en s.k. potensfunktion, dvs en funktion som bara inneåller en term. Hur gör man då om man ar en polynomfunktion, bestående av flera termer? Det blir inte mycket svårare. Man kan visa, att man kan derivera varje term för sig. Man brukar säga att man deriverar term för term. Vi kan då formulera följande regel: f( x) = gx ( ) + x ( ) ar derivatan f ( x) = g ( x) + ( x) 7

8 Genom att kombinera dessa båda deriveringsregler kan vi nu derivera de vanligaste funktionstyperna. f x x x x 3 ( ) = Ex: Utgå från funktionen a) Derivera funktionen b) Bestäm f (3) c) Bestäm tangentens ekvation i den punkt som ar x-koordinaten 3. Lösning: a) f ( x) = 3 x 4 x + 51 x + 0= 3x 8x+ 5 Kommentar 1: Funktionen är en polynomfunktion bestående av fyra termer. Termen 5x kan ses som en linjär funktion med riktningskoefficienten 5. Enl. definitionen, är derivatan tangentens riktningskoefficient i en viss punkt på funktionen. En linjär funktion ar samma lutning överallt, oc försöker vi rita en tangent till den, kommer tangenten att sammanfalla med linjen. Derivatan tangentens riktningskoefficient kommer alltså att ges av linjens riktningskoefficient. Kommentar : Den sista termen 4 är en konstantterm. En konstant funktion ar ingen lutning, oc ar därför derivatan noll. b) För att beräkna f (3) sätter vi in x = 3 i funktionens derivata f ( x) f (3) = = 8, oc får då c) f (3) = 8 innebär att tangentens riktningskoefficient i den punkt som ar x-koordinaten 3 är 8. Tangentens ekvation kan då skrivas f( x) = 8x+ m Återstår att bestämma m. För att kunna göra det beöver vi känna en punkt som tangenten går igenom. Men vi vet att tangenten går genom den punkt som ar x-koordinaten 3. För att få motsvarande y- koordinat sätter vi in 3 x =, i funktionen f( x ). 3 Detta ger f (3) = = 10. Tangenten går alltså genom punkten (3,10) Insättning i f( x) = 8x+ m ger 10 = m. Denna ekvation ar lösningen m = 14. Tangentens ekvation blir alltså f( x) = 8x 14 Av exemplet framgår föroppningsvis att man måste vara mycket uppmärksam på om man skall sätta in ett visst x-värde i funktionsuttrycket, eller i uttrycket för derivatan. Derivatan av två speciella potensfunktioner Det visar sig att vår tidigare deriveringsregel för polynomfunktioner kan utsträckas till att gälla vissa potensfunktioner: f(x) = x a, där x>0 oc a ett reellt tal ar derivatan f (x) = a x a-1 Två vanliga exempel på potensfunktioner är funktionerna f( x) 1 = oc f( x) x = x. För att kunna använda deriveringsregeln måste man först skriva om funktionerna med jälp av potenslagarna. f( x) 1 x 1 = = x oc f( x) = x = x ½ Olika sätt att beteckna en funktions derivata. Jag ar ittills konsekvent använt beteckningen f ( x) för en funktions derivata. Det finns några andra beteckningssätt också, som du bör känna till. Om man väljer att beteckna funktionen y skrivs derivatan y. (Ganska logiskt kan tyckas) Ett annat vanligt skrivsätt är dy. Detta läses derivatan av y med avseende på x. Eftersom vi av dx bekvämligetsskäl gärna förkortar långa uttryck säger man vanligen d-y-d-x. Observera att 8

9 beteckningen inte får uppfattas som en kvot. Detta ar ingenting med division att göra, utan är elt enkelt ett skrivsätt för derivata. Detta skrivsätt ar den fördelen att man i klartext får reda på vilken bokstav som är varibeln i ett funktionsuttryck. Skriver man ds att man deriverar med avseende på variabeln t., derivatan av s med avseende på t, talar det om (för den invigde) dt 9