Matematik 3c Kap 3 Kurvor, derivator och integraler
|
|
- Lina Öberg
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Matematik 3c Kap 3 Kurvor, derivator och integraler Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande aktivitet 3.1 Vad säger förstaderivatan om grafen? Inledning Extrempunkter och extremvärden (sid ) I avsnitt 3.1 handlar det om att koppla egenskaper hos derivatan till egenskaper hos en funktions graf. Inledningsvis blir det mest en fråga om definitioner, det gäller att lära sig namn på olika företeelser. En lokal maximipunkt kan jämföras med toppen på Kebnekaise, befinner man sig där kan man i sin egen närhet inte observera något som är högre. Dock, om man hade sett väldigt långt hade man insett att toppen på Mount Everest är betydligt högre upp. Alltså motsvara toppen på Kebnekaise en lokal maximipunkt. Toppen på Mount Everest är däremot dessutom en global maximipunkt, det finns nämligen ingen punkt som ligger högre upp. Man noterar också att ändpunkter i funktions definitionsmängd i allmänhet blir lokala extrempunkter. Tänk efter varför Slutligen, håll isär punkter och värden. Lös samtliga uppgifter. Växande eller avtagande (sid ) En viktig observation är att egenskaperna växande och avtagande, per definition, inte har något med derivata att göra, och att egenskaperna gäller intervall och inte enstaka punkter. Man säger t.ex. att en funktion f växer i ett intervall a x b om x1<x2 f(x1)<f(x2) Anm. I många analysböcker är det standard med f(x1) f(x2) men vi kör med lärobokens definition. Sedan visar det sig (och är inte så svårt att ana) att derivatan har med växande och avtagande att göra. I princip gäller att om f (x)>0 i ett intervall så är funktionen växande i intervallet (men observera alltså att detta inte är definitionen utan något som kan bevisas, dock i annan kurs). Analoga resonemang kan föras för avtagande. Lös samtliga uppgifter.
2 Förstaderivatan och grafen (sid ) Förstaderivatan, eller bara derivatan, är ett utmärkt instrument om man vill skaffa sig en kvalitativ bild av grafen till ursprungsfunktionen. Man får iofs bara exakt koll på enstaka punkter på grafen, men å andra sidan är det just de intressantaste punkterna som dyker upp. Dessutom visar derivatan om grafen går "uppåt" eller "nedåt" och också hur mycket. Typiska steg för att studera en grafen till en funktion y=f(x) är - bestäm/håll koll på definitionsmängden så bara aktuella intervall undersöks - bestäm f (x) - lös ekvationen f (x)=0, derivatans nollställen har ju med extrempunkter att göra - teckenstudera derivatan med hjälp av nollställena ovan, man får då reda på vilken typ av extrempunkt, eller möjligen terrasspunkt, man har samt om grafen går "uppåt" eller "nedåt" - bestäm funktionsvärdena (y-värden) i extrempunkter och eventuellt andra intressanta eller "enkla" punkter (såsom skärning med y-axel) - markera punkterna i ett koordinatsystem och skissa grafen utifrån teckenstudie Punktlistan ovan hamnar efter lite träning i ryggmärgen. Det är iofs bra, men man måste hela tiden tänka efter så man också förstår vad det är man pysslar med Lös samtliga a- och b-uppgifter, man kan göra antingen 3120 eller I uppgifter med deluppgifter man man hoppa över om man fattat galoppen. c- uppgifterna är nyttiga och de som siktar mot högre betyg (AB) kikar också på dessa. Skissa grafer (sid ) Som beskrivits ovan är derivatan, och studie av densamma, ett smidigt verktyg för att skaffa sig en bild av en grafs utseende. Speciellt får man koll på extrempunkter (exakt) och var funktionen växer respektive avtar. Ett annat, mindre exakt, men ofta snabbare sätt är att studera vilka delar av funktionssuttrycket som dominierar för små respektive stora värden på x (med andra ord nära origo och långt från origo). Betrakta t.ex. f(x)=x3+2x2 3x+1. För stora x gäller att f(x) x3 och för små x att f(x) 3x+1. Således kan man konstruera en ganska bra skiss av grafen om man rita graferna till x3 och 3x+1 och binder ihop dem på hyfsat sätt. T.ex så inser man att funktionen har två lokala extrempunkter, i ordningen första max sedan min. Vill man sedan bestämma dessa exakt får man ta fram derivataverktyget. I uppgifterna på sida 142 ska det emellanåt skissas grafer. Använd då tekniken ovan för just skissen och kontrollera sedan med räknedosa eller hellre GeoGebra. GeoGebra Lös 3129, 3130, 3131, 3132, 3134, 3136, 3137, 3139 och eventuellt 3142.
3 Största och minsta värde (sid ) I många sammanhang är man intresserad av en funktions (globalt) största och minsta värde i ett intervall (som såklart kan vara hela x-axeln). Hur finner man då dessa värden? Jo man letar på tre ställen 1. Derivatans nollställen 2. Intervallens ändpunkter 3. Punkter där derivatan inte existerar (ni kan tänka er att det handlar om hörn) Man gör en sammanställning av funktionsvärdena i sådana punkter, och plockar sedan ut det största och det minsta funktionsvärdet. Tänk igenom hur det fungerar i förhållande till en graf. Lös a-uppgifter efter behov, och därefter 3152, 3154, 3155 och eventuellt Använd gärna räknare eller GeoGebra för att kontrollera era svar. GeoGebra 3.2 Derivator och tillämpningar Polynomfunktioner (sid ) Nu är det dags att tillämpa sin kunskaper om derivator och "grafstudier". Det som är nytt är att man ofta behöver översätta en svensk text till matematiska. Man skriver upp ett funktionsuttryck och tänker ut en definitionsmängd, sen är målet i allmänhet att bestämma största eller minsta värde, och till sist svara med en svenska mening (dvs göra en tolkning av sina resultat). Observera att man ibland själv behöver rita figur och införa beteckningar. Här finns många problem och om man vill hinna med de svårare får man vara beredd att hoppa över en del. Följande "spår" är möjliga: Spår 1: Lös samtliga a-uppgifter men inget mer. Spår 2: Lös jämnnumrerade a- och b-uppgifter. Spår 3: Lös enstaka a- och b-uppgifter och sedan så många c-uppgifter man orkar. Potensfunktioner (sid ) Metoden för att lösa dessa problem är samma som i föregående avsnitt. Det handlar om att leta upp största och minsta värde till potensfunktioner, och detta gör man med derivata, derivatans nollställer etc. En väsentlig skillnad är att potensfunktioner inte behöver vara definierade för alla x. T.ex. måste ju x 0 i uttrycket x =x 0.5 och x 0 i uttrycket. Man måste också ta hänsyn till detta i sin teckenstudie av derivatan. Teckenstudera derivatan till f(x)= och skissa grafen så ser du nog varför. Antingen löser man samtliga a-uppgifter (men kan då skippa resten), eller löser man enstaka a-uppgifter och sedan b- och c-uppgifter kan ni vänta med, 3246 kan lösas elegant utan derivator.
4 Andraderivatan/andraderivatan och grafen (sid ) Att räkna ut andraderivatan är rättframt, man deriverar ursprungsfunktionen två gånger. Observera beteckningen y (x)= " Tvåan i täljaren ska alltså stå mellan d:et och y:et medan tvåan i nämnaren står efter x:et. Detta är i själva verket en logisk notation Vad som är mindre självklart är vad man ska ha andraderivatan till. Ett "användningsområde" är mekanik, där andraderivatan motsvarar acceleration, som dyker upp i Newtons formel F = ma. Vi ska dock använda derivatans för allmänna grafstudier. Lite slarvigt kan man säga att andraderivatan (eller i alla fall dess tecken) anger hur det "buktar". Om y >0 buktar grafen nedåt ("hänger nedåt") medan den buktar uppåt om y <0. Tänk efter varför det blir så Ha i minnet att andraderivatan anger derivatans växande och avtagande. Man kan använda andraderivata för att avgöra om ett nollställe till derivatan är lokalt max eller min (och alltså spara in på en teckenstudie) enligt följande: Om y >0 är det fråga om lokalt min (positiv andraderivata ger glad graf) och om y <0 är det fråga om max (negativ andraderivata ger ledsen graf). Observera att om y =0 kan inget sägas, punkten i fråga kan vara max, min eller terrass. Man får använda t.ex. teckenstudie istället. Lös samtliga uppgifter på sida 157 och 160 (c-uppgifterna kan man bortse ifrån om man inte strävar mot A/B). Grafritande räknare (sid ) Tas upp efter avsnittet nedan. Tillämpningar och problemlösning (sid ) Blandade problem med derivatainnehåll. Inget nytt matematiskt. Ett (minimi) alternativ är att man löser samtliga a-uppgifter men skippar resten. Ett annat alternativ är att man löser 3275, 3277, 3279, 3281, 3282, 3285, Ett tredje alternativ är att man löser 3281, 3282, 3287, 3288, 3289, 3290, 3292, Välj själv efter ambition och behov. 3.3 Från derivata till funktion Primitiva funktioner (sid ) Situationen i detta avsnitt är att vi känner till en funktions derivata och söker själva funktionen. Varför detta är intressant kommer att framgå, men man kan redan nu tänka sig den fysikaliska situationen att man känner till hur fort något rör sig (en derivata) och vill veta hur lång sträcka detta något har färdats (ursprungsfunktionen). Man löser problemet genom att (helt enkelt) ''baklängesderivera'' f(x), eller med korrektare språkbruk ta primitiv funktion till
5 f(x). Primitiva funktioner skrivs ofta med motsvarande stor bokstav, så F(x) är alltså en primitiv funktion till f(x) om F (x) = f(x). Om man är slängd på derivering så kommer bestämmande av primitiv funktion vara relativt smärtfritt, låt oss ta ett exempel: Bestäm samtliga (observera, det finns många) primitiva funktioner till f(x) = 2x. Man inser efter lite eftertanke att en primitiv funktion (skrivs alltså med stor bokstav) är F(x) = x. Finns det fler? Ja, alla funktioner på formen F(x) = x + C där C är en godtycklig konstant duger. Man kan visa (överkurs) att det inte finns fler, så lösningstekniken blir att hitta en specifik primitiv funktion och sedan lägga till konstanten C till denna. Träna på detta Lös samtliga a-uppgifter (eller till ni tröttnar för det är för enkelt) samt 3312, 3313 och 3314 vid behov. Primitiva funktioner med villkor (sid ) Ovan konstaterades att samtliga primitiva till f(x) = 2x ges av F(x)= x + C där C är en godtycklig konstant. Det är ju inte så konstigt, om man känner till en derivata (lutning) så är ju "formen" på ursprungsfunktionen given men inte dess position i y-led. Om man däremot känner till ett specifikt funktionsvärde till den primitiva funktionen blir det ett entydigt svar. T.ex. kan vi bestämma den primitiva funktion till f(x)=2x som uppfyller att F(1)=2. Vi vet att F(x)=x +C och villkoret ger att 1 +C=2 så C=1 och den specifika primitiva blir F(x)=x +1. Taktiken är alltså att först bestämma samtliga primitiva och sedan använda givet villkor för att hitta den specifika. Lös samtliga a-uppgifter samt eventuellt 3322, 3324 och Integraler Inledning (sid ) Som boken visar så kan man bestämma hur långt man har färdats, s(t) om man råkar känna till grafen till hastighetsfunktionern v(t) genom att bestämma arean
6 "under" grafen till v(t). Att detta är korrekt inser man genom att studera hur långt man färdas i små tidsintervall och i dessa approximerar med en konstant hastighet (se sid 178) Sedan skrotar man den fysikaliska tolkning och låter f x dx beteckna arean mellan funktionsgrafen y=f(x) och x-axeln (det är inte sant om grafen ligger under x-axeln men vi avvaktar med detta). Själva uttrycket kallas en integral, och mer precist "integralen av f från a till b". Varför ser beteckningen ut som den gör? Man kan tänka sig som ett utdraget S vilket härrör från tanken att arean kan bestämmas som en summa av många smala rektangelareor. Uttrycket f(x)dx kan sedan ses som en sådan rektangelarea med höjden f(x) och basen dx (en kort bit av x-axeln). Lös samtliga uppgifter efter behov. Integralberäkning med primitiv funktion (sid ) Bokens framställning om sambandet mellan integraler och primitiv funktion är lite tunn. På lektionen kommer det att presenteras lite ordentligare. I vilket fall kan integraler (som ni än så länge kan tänka på som något som anger en area) beräknas med primitiv funktion. Detta resultat är så viktigt att det brukar benämnas "Analysens huvudsats" Låt F(x) vara en primitiv funktion till f(x). Då gäller f x dx = [F x ] = F(b) F(a) under rimliga förutsättningar på funktionen f (som alltid är uppfyllda i kursen). Antag t.ex. att vi vill bestämma x dx som alltså geometriskt svarar mot arean mellan x-axeln och grafen till f(x)= x i intervallet 0 x 1 och som per definition ges av ett gränsvärde av en rektangelsumma. Analysens huvudsats ger ett mycket effektivare sätt att bestämma integralen, i princip behöver vi bara en primitiv till x t.ex.. Vi får sedan x dx = [ ] = - =
7 Man kan alltså bestämma värdet på en integral genom att sätta in gränserna i den primitiva funktionen och subtrahera. Informellt kan man tänka sig F(x) som en arearäknarfunktion. F(b) F(a) anger arean under grafen fram till b minus arean fram till a, dvs arean mellan a och b. Lös samtliga uppgifter. Tillämpningar och problemlösning ( ) Så är det dags att använda det vi lärt oss i mer tillämpade sammanhang. Som ni ser på sida 186 så kan man ha integralen till annat än att räkna area (även om man alltid kan göra en areatolkning). Varje formel som är en produkt av två storheter där den ena varierar med den andra, kan sägas ge upphov till en integral. I tillämpade sammanhang är det ofta bra att tänka i enheter. Kom då ihåg att integralen är en summa av "en massa" termer. Enheten på integralen blir alltså samma som termernas enhet, dvs enheten på det som står i integralen. Om t.ex. v(t) anges i meter/sekund och tiden t och dt i sekunder så har alltså integralen enheten meter b v t dt a Lös 3421, 3422, 3423, 3425a, 3426, 3428, 3430, 3432, 3435 och eventuellt 3438, 3439, 3440.
Funktionsstudier med derivata
Funktionsstudier med derivata Derivatan ett kraftfullt verktyg för att studera och tolka funktioner Det här avsnittet handlar om att man kan använda derivatan till att bestämma en funktions egenskaper
Läs merMatematik 4 Kap 3 Derivator och integraler
Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande
Läs merMatematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler
Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler Inledning I kap 4 Differentialekvationer behövs derivator (och integraler) och i kap 5 Omfångsrika problemsituationer finns intressanta problem med användning
Läs merMatematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator
Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html
Läs merf(x) = x 2 g(x) = x3 100 h(x) = x 4 x x 2 x 3 100
8 Skissa grafer 8.1 Dagens Teori När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera.
Läs mer6 Derivata och grafer
6 Derivata och grafer 6.1 Dagens Teori När vi plottar funktionen f(x) = x + 1x 99x 8 med hjälp av dosan kan man få olika resultat beroende på vilka intervall man valt. 00000 100000-00 -100 100 00-100000
Läs merEn uppgift eller text markerad med * betyder att uppgiften kan uppfattas som lite svårare. ** ännu svårare.
Matematik b, repetition Kan du det här? Primitiva funktioner och integraler o o o Vad menas med primitiv funktion? Kan du hitta en primitiv funktion? Vad menas med en integral? Kan du beräkna en integral?
Läs merMAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp
MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största
Läs merVäxande och avtagande
Växande och avtagande Innehåll 1 Växande och avtagande 1 Andraderivatan.1 Andraderivatan och acceleration................... Andrederivatans tecken.........................1 Andraderivatans nollställen:
Läs merf(x) = x 2 g(x) = x3 100
När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera. Här ska vi se vad som händer
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merAttila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 3b GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs mervux GeoGebraexempel 3b/3c Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker vux 3b/3c GeoGebraexempel Till läsaren i elevböckerna i serien matematik origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merAttila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 3c GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs mer5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.
Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter
Läs merKan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.
Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera
Läs merChecklista för funktionsundersökning
Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 10 Institutionen för matematik KTH 19 september 2016 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel (men inte bara) hastighet.
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standar LMA033a Matematik BI
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 443 kl. 8.3.3 Tentamen Telefonvakt: Christoffer Standar 73 88 34 LMA33a Matematik BI Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden
Läs mer9 Skissa grafer. 9.1 Dagens Teori
9 Skissa grafer 9.1 Dagens Teori Så här hittar man etrempunkter, ma-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f() med hjälp av i första hand f () 1 Bestäm f () och f () 2 Lös ekvationen f () = 0. Om
Läs merSekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren).
Derivata Sekant oc tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). I figuren ovan finns även en tangent inritad. Som nästa ska vi titta på
Läs merUpphämtningskurs i matematik
Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna
Läs merModul 4 Tillämpningar av derivata
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23--24 DEL A. Den :a januari 26 låstes kg av ett visst radioaktivt ämne in i en källare. Ämnet sönderfaller i en takt som är direkt proportionell mot
Läs merx 1 1/ maximum
a), 1 1 Definitionsmängd: 1,1 En funktion kan ha lokal maximum eller lokal minimum endast i punkter x av följande tre typer: (i) stationära punkter (punkter där 0) (ii) ändpunkter till (endast de ändpunkter
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man
Läs merDenna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som
Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik
Läs merLäsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.
Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik Avsnitt 6.6 ingår inte. Avsnitt 6.1 Detta avsnitt illustrerar hur sekanten övergår i en tangent genom att den ena skärningspunkten rör sig mot den andra.
Läs merEnvariabel SF1625: Föreläsning 11 1 / 13
Envariabel SF1625: Föreläsning 11 1 / 13 Att göra denna vecka 2 / 13 Översikt över modul 4 (seminarium nästa måndag) Förändringstakter (4.1) Newton-Raphson (4.2) L Hopitals regel (4.3) Analys av funktioner
Läs merEkvationer & Funktioner Ekvationer
Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.
Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)
Läs merLMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 4: Tillämpningar av derivata Institutionen för matematik KTH 22-23 september 2015 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg OvnTenta Matematik Skrivtid. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på
Läs merMatematik D (MA1204)
Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016
SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merBetygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna
Betygskriterier Matematik D MA04 00p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA04 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är vår
Läs merH1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic ============================================================
H9, Introduktionskurs i matematik EXTREMPUNKTER ============================================================. EXTREMPUNKTER OCH EXTREMVÄRDEN Definition. (Globalt maimum) Låt vara en punkt definitionsmängden
Läs merVÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVEXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER
Stationära och infleionspunkter VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER STATIONÄRA(KRITISKA) PUNKTER KONVEXA OCH KONKAVA FUNKTIONER INFLEXIONSPUNKTER EXTREMPUNKTER OCH EXTREMVÄRDEN Definition (Globalt maimum)
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Läs merKOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................
Läs merSidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c
Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +
Läs merDagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.
Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att
Läs merUPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER
UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER 1. Figuren visar grafen till funktionen f där f(x) = x 3 3x 2. I punkter där xkoordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till
Läs merPlanering för kurs C i Matematik
Planering för kurs C i Matematik Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs C Antal timmar: 85 (70 + 15) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att C-kursen studeras på 85 klocktimmar.
Läs merNATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6
freeleaks NpMaD ht2007 för Ma4 1(10) Innehåll Förord 1 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN 2007 2 Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3 Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 Förord Kom ihåg Matematik
Läs merMoment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73
Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar
Läs mer5 Blandade problem. b(t) = t. b t ln b(t) = e
5 Blandade problem 5.1 Dagens Teori Ett person sätter in 10000 kr på banken vid nyår 2000 till 4% ränta. Teckna en funktion, b(t) för beloppets utveckling. b(t) = 10000 1.04 t Skriv om funktionen med basen
Läs merVi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.
Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8 Figur : Vi konstaterar följande: Då
Läs merUPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard Jörgen Östensson Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA1 8 3 31 Skrivtid: 8: 13:. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merG VG MVG Programspecifika mål och kriterier
Betygskriterier Matematik C MA10 100p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA10 är en nationell kurs oc skolverkets kurs- oc betygskriterier finns på ttp://www.skolverket.se/ Detta är vår
Läs merLösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer
Matematiska Institutionen Tentamensskrivning STOCKHOLMS UNIVERSITET kurskod: MM Eaminator: Åsa Ericsson 4-5-7 Lösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer 7 maj 4, kl. 9:-4:. (a) Integralen
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merx 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7
TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga
Läs merMatematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS
Matematik 3 Digitala övningar med TI-8 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 digitala övningar med TI-8 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel kan
Läs merLYCKA TILL! //Mattehjälpen. Hej! Här kommer ett dokument till dig som pluggar inför envarre1.
Hej! Här kommer ett dokument till dig som pluggar inför envarre1. Det är viktigt att du inför tentan kan alla standardgränsvärden/derivator/primitiver utan till så att dessa inte stoppar dig på vägen mot
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Lösningar till kryssproblemen 1-5. Uppgifter till lektion 1: = 10 x. = x 10.
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 10 hp STS, X 2010-10-27 Uppgifter till lektion 1: 1. Lös olikheten 2x + 1 > 3. Lösningar till kryssproblemen 1-5. Lösning. Olikheten
Läs merEn vanlig uppgift är att bestämma max resp min för en trigonometrisk funktion och de x- värden för vilka dessa antas.
Max och min för trigonometriska funktioner En vanlig uppgift är att bestämma max resp min för en trigonometrisk funktion och de x- värden för vilka dessa antas. Ta t.ex y = 12 sin(3x-90) När man ska studera
Läs merMA2001 Envariabelanalys
MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 2 Mikael Hindgren 12 november 2018 Derivatan av inversen till en funktion Exempel 1 y = f (x) = x är strängt växande och har en invers. Bestäm Df (x) och
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 7 Institutionen för matematik KTH 12 september 2016 Injektiva funktioner En funktion är en regel som till varje tal i definitionsmängden ordnar ett bestämt tal i värdemängden. Injektiva funktioner
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som
Läs merStudieanvisning till Matematik 3000 kurs D
Studieanvisning till Matematik 3000 kurs D ISBN 91-27-51028-X Förord Vår ambition med denna studiehandledning är att den skall guida dig genom boken Matematik 3000 kurs D/Komvux av Lars-Eric Björk, Hans
Läs mer4. Vad kan man multiplicera x med om man vill öka värdet med 15 %?
Axel Weüdelskolan/Komvux Matematik/Sibe 1. Förenkla x 1 1 1 1 1 x 2. Förenkla 5 3. Beräkna värdet av a 2 b om a = -3 och b = 2 4. Vad kan man multiplicera x med om man vill öka värdet med 15 %? 5. Vilket
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.
Läs merx sin(x 2 )dx I 1 = x arctan xdx I 2 = x (x + 1)(x 2 2x + 1) dx
TM-Matematik Mikael Forsberg XXX-XXX DistansAnalys Envariabelanalys Distans ma034a ot-nummer 3 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs merTeori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 3216) Figur 1:
Teori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 316) Figur 1: a) Bestäm y som funktion av x genom att utnyttja likformiga trianglar. Se figur 1. b) Ange funktionens definitionsmängd
Läs merBedömningsanvisningar
Bedömningsanvisningar Exempel på ett godtagbart svar anges inom parentes. Till en del uppgifter är bedömda elevlösningar bifogade för att ange nivån på bedömningen. Om bedömda elevlösningar finns i materialet
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 2303 d) TB: Jaha, nu gäller det att kunna sina deriveringsregler. Polynom kommer man alltid ihåg hur de ska deriveras. f(x) = 4x 2 + 5x 3 ger derivatan f
Läs merNågra viktiga satser om deriverbara funktioner.
Några viktiga satser om deriverbara funktioner Rolles sats Differentialkalkylens medelvärdessats (=) 3 Cauchys medelvärdessats Sats Om funktionen f är deriverbar i en punkt x 0 så är f kontinuerlig i samma
Läs mer3 Deriveringsregler. Vi ska nu bestämma derivatan för dessa fyra funktioner med hjälp av derivatans definition
3 Deriveringsregler 3.1 Dagens Teori Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. 3.1.1 Vi är på jakt efter ett mönster
Läs merNpMa3c vt Kravgränser
Kravgränser Provet består av ett muntligt delprov (Del A) och tre skriftliga delprov (Del B, Del C och Del D). Tillsammans kan de ge 66 poäng varav 25 E-, 24 C- och 17 A-poäng. Observera att kravgränserna
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Kursmål och pluggtips Institutionen för matematik KTH Kursmål Kursmålen står på sidan Kursplan mm (länk i menyn). De anger vad man ska kunna för att bli godkänd på kursen. I den här pdf:en går jag igenom
Läs merPreliminärt lösningsförslag till del I, v1.0
Preinärt lösningsförslag till del I, v1. Högskolan i Skövde SK) Tentamen i matematik Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 215-8-18 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström MVE475 Inledande Matematisk Analys
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 1715 kl. 14. - 18. Tentamen Telefonvakt: Jonny Lindström 733 674 MVE475 Inledande Matematisk Analys Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv
Läs merTENTAMEN. Ten2, Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Fredagen 25 oktober 2013 Tentamen består av 4 sidor
TENTAMEN Ten, Matematik Kurskod HF93 Skrivtid 3:5-7:5 Fredagen 5 oktober 3 Tentamen består av sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa ej tillåten. Tentamen består av uppgifter som totalt kan ge
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö , Ö1.25, Ö1.55, Ö1.59
Moment.0-. Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö.9-., Ö.5, Ö.55, Ö.59 Funktioner Definition. En funktion y = f(x) är ett samband mellan variablerna x och y, sådant att ett x-värde motsvaras av högst ett värde
Läs merMMA127 Differential och integralkalkyl II
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA127 Differential och integralkalkyl II Tentamen Lösningsförslag 211.8.11 14.3 17.3 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004
KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje
Läs merNär vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1
Lathund inför tentan När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort Ekvationer Ekvationer av första och andra graden kommer alltid att kunna
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005
KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd
Läs merMatematik 5000, kurs 3b Grön lärobok. Läraranvisning Textview Verksnummer: 40029
Matematik 5000, kurs 3b Grön lärobok Läraranvisning Textview Verksnummer: 40029 Läraranvisningens innehåll Läraranvisningen är till för att du som undervisande lärare ska få information om hur den pedagogiskt
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN3 Lösningsförslag.6.8 4.3 6.3 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna
Läs merLösningsförslag till Tentamen i SF1602 för CFATE 1 den 20 december 2008 kl 8-13
KTH Matematik Examinator: Lars Filipsson Lösningsförslag till Tentamen i SF60 för CFATE den 0 december 008 kl 8-3 Preliminära betygsgränser: A - 8 poäng varav minst 8 VG-poäng, B - 5 poäng varav minst
Läs merKONTROLLSKRIVNING. Matematik C. Datum: Tid:
KONTROLLSKRIVNING Kursnummer: Moment: Program: Rättande lärare: Eaminator: Datum: Tid: Hjälpmedel: Omfattning oc betygsgränser: HF00 Matematik C KS4 Tekniskt basår Bengt Andersson oc Staffan Linnæus Niclas
Läs mer14 min 60 s min 42 s 49m 2 =18 s m 2, alltså samma tid. Vi kan säga att den tid som mamman behövde åt dammsugning var beroende av husets storlek.
PASS 10. FUNKTIONER 10.1 Grundbegrepp om funktioner Mamman i den finländska modellfamiljen från pass fyra brukade dammsuga det 100 m 2 stora huset varje lördag. Det tog 30 minuter. Efter att pappan hade
Läs mer6. Samband mellan derivata och monotonitet
34 6 SAMBAND MELLAN DERIVATA OCH MONOTONITET 6. Samband mellan derivata och monotonitet Antag att funktionen f är deriverbar på ]a,b[. Vi vet att derivatan f ( 0 ) i 0 ]a,b[ är riktningskoefficienten för
Läs merSAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1
SAMMANFATTNING TATA4 ENVARIABELANALYS LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 04 Senast reviderad: 05-06-0 Författare: Viktor Cheng INNEHÅLLSFÖRTECKNING Diverse knep...3
Läs merDel I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare.
Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Dina lösningar på denna del görs på separat papper som ska lämnas in innan du får tillgång till din miniräknare. Observera
Läs mer4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.
TM-Matematik Mikael Forsberg 73 1 3 31 Pär Hemström 7 3 57 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma3a 1 8 Skrivtid: 9:-1:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att
Läs merBedömningsanvisningar
Bedömningsanvisningar Exempel på ett godtagbart svar anges inom parentes. Till en del uppgifter är bedömda elevlösningar bifogade för att ange nivån på bedömningen. Om bedömda elevlösningar finns i materialet
Läs merMatematik 4 Kap 2 Trigonometri och grafer
Matematik 4 Kap 2 Trigonometri och grafer Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande
Läs merGamla tentemensuppgifter
Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi
Läs merTATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer
TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2012-10-17 DEL A 1. Visa att ekvationen x 3 12x + 1 = 0 har tre lösningar i intervallet 4 x 4. Motivera ordentligt! (4 p) Lösningsförslag. Vi skall
Läs merNATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2005
Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till och med den 10 juni 005. Anvisningar NATIONELLT
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.08.09 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015
SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merTentamen : Lösningar. 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall:
Tentamen 010-10-3 : Lösningar 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall: x 5 0 och 3 x > 0 x 5 och x < 3, en motsägelse, eller x 5 0 och
Läs merPlanering för Matematik kurs D
Planering för Matematik kurs D Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs D Antal timmar: 9 (7 + ) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att D-kursen studeras på 9 klocktimmar.
Läs mer