Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf

Transkript

1 Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 0 p STS, X Föreläsning, 7/0 00: Genomgånget på föreläsningarna - 5. Om kursen. Vi gick först igenom lite om kursen: Två redovisningsuppgifter till varje lektion, som ger max bonuspoäng på tentan. Dugga i slutet av januari. Ett godkänt resultat på denna innebär att du slipper räkna vissa uppgifter på sluttentan. En övningsdugga ges som julpyssel. Jag tjatade om vikten av att öva andräkning, uvudräkning, rimligetsbedömningar oc figurritning. Dessutom att man ska vara med på (kryssa) alla redovisningsuppgifter oc läsa ordentligt i läroboken. Funktionsbegreppet. En funktion f kan ses som en maskin som accepterar vissa indata x D f oc för varje x producerar entydiga utdata f (x). Mängden D f, av alla acceptabla indata, kallas för f :s definitionsmängd. Mängden V f { f (x) x D f av alla möjliga utdata sägs vara f :s värdemängd. Ofta ges f (x) genom en formel (algoritm). Mängden av alla x för vilka formeln fungerar oc ger ett entydigt resultat sägs vara den naturliga definitionsmängden. Varje definitionsmängd för f måste vara en delmängd av den naturliga definitionsmängden. Vi kommer nästan uteslutande att syssla med reellvärda funktioner av en reell variabel. För en sådan funktion f består den naturliga definitionsmängden av alla reella tal x för vilka f (x) är entydigt definierat oc reellt. Som exempel kalkylerade vi D f oc V f då f (x) x, f (x) 9 x respektive f (x) /( x 3 x). Graferna y x, y x, y x, y x, y x 3, y x 3 skissades. Styckvis definierade funktioner exemplifierades med s(x), där s(x) då x < oc s(x) x då x. Jämna oc udda funktioner. En jämn funktion j utmärks av att j( x) j(x) för alla x D j. För att detta ska vara möjligt måste förstås definitionsmängden vara symmetrisk med avseende på origo, så att x D j om oc endast om x D j. Exempelvis är D j ] 8, ] [, 8[ symmetrisk, medan D j [ 8, ] [, 8[ inte är det. Funktionen u är udda om u( x) u(x) för alla x D u. Även för en udda funktion måste definitionsmängden vara symmetrisk med avseende på origo. Jämna funktioner är till exempel, x, x, /x, x 4, + x m.fl.

2 Udda funktioner är till exempel x, /x, x x, x 3, x 5, x 5x 3 m.fl Normalt är dock en funktion vare sig jämn eller udda ( + x m.fl.). Däremot kan en godtycklig funktion, vars definitionsmängd är symmetrisk med avseende på origo, skrivas som summan av en jämn oc en udda funktion. Närmare bestämt ar vi Vi ser att j( x) u( x) f (x) f (x) + f ( x) f ( x) + f ( ( x)) f ( x) f ( ( x)) så j(x) är jämn medan u(x) är udda. + f (x) f ( x) f ( x) + f (x) f ( x) f (x) Exempel. Skriv den styckvis definierade fknen j(x) + u(x) f (x) + f ( x) f (x) f ( x) j(x) u(x) f (x) {, då x 0 x, då x > 0 f ( x) { x, då x < 0, då x 0 som summan av en jämn oc en udda funktion. Lösning. Vi får direkt j(x) x, då x < 0, då x 0 + x, då x > 0 oc u(x) x +, då x < 0 0, då x 0 x, då x > 0 Kombination av funktioner. De viktigaste sätten att kombinera två funktioner är; f + g, f g, f g, f /g samt (viktigast!) f g. Exempel. Låt f (x) x oc g(x) + x. Beräkna f g oc g f. Lösning. f g(x) f (g(x)) f (g) g + x x x +, D f g R \ [, 0] oc g f (x) g( f (x)) g( f ) + f + x + x, D g f ]0, [ I allmänet gäller alltså att g f f g.

3 Exempel. Om F(x) x + x +, G(x) så gäller x + x F G G F I, där I är identitetsavbildningen på R, dvs I(x) x för alla x. Observera dock att F G(x) oc G F(x) ej är definierade för alla x R. Försök bestämma definitionsmängderna för F G oc G F. Exempel. Funktionerna x (avrundning nedåt) oc x (avrundning uppåt) definieras på sidan 37, ex 0, i Adams. Rita kurvan y x x. Lösning. För varje eltal n gäller att x n +, då n < x n + oc x n, då n x < n +. Av detta följer att för varje eltal m gäller oc x m +, då m < x m +, x m +, då m + < x m + x m då m x < m + Sammantaget betyder detta att för varje eltal m ar vi 0, då x m x x, då m < x m +, då m + < x < m + Funktionen x x är därför periodisk med perioden. En skiss av grafen: y x x I eltalspunkterna är funktionen noll, vilket vi ej ritat in. 3

4 Föreläsning, 8/0 00: Gränsvärden: Den istoriska bakgrunden. Gränsvärdesbegreppet växte fram på grund av nödvändigeten att matematiskt beskriva den momentana förändringen av storeter. Antag, till exempel, att en partikel rör sig efter kurva så att den vid tiden t tillryggalagt sträckan s(t). Partikelns medelastiget under tidsintervallet [t, t + t] är då v [t,t+ t] s(t + t) s(t) t För att få den momentana astigeten v(t), vid tiden t, måste t närma sig noll. Vi kan inte sätta t 0, ty då får vi noll i nämnaren. Ur denna motsägelse; för att få den momentana astigeten måste vi sätta t 0, vilket är absolut förbjudet, växte gränsvärdesbegreppet fram. Vi definierar s(t + t) s(t) v(t) v t 0 t [t,t+ t] t 0 där t 0 innebär att t skall närma sig noll, men får inte vara precis lika med noll. Triviala gränsvärden. Exempelvis x + +, x (t + t) t + 0 t t 0 x + x x Ett trivialt gränsvärde fungerar alltså enligt x a f (x) f (a). Icke-triviala gränsvärden. I sådana gränsvärden ar vi komplikationer typ 0 0, eller. Innan vi går i es måste ett sådant gränsvärde manipuleras (omformas) så att det blir trivialt. Exempel. En standardmetod är att faktoruppdela täljare oc nämnare så att man kan förkorta bort en faktor som gör att nämnaren blir noll: Låt s(t) t. Vi ar då Ett annat exempel: { s(t + t) s(t) t 0 t (t + t) t t t + t t t t + t t + t t + 0 t { x (x + )(x ) x + x + x x (x ) t(t + t) t Ofta kan det löna sig att göra ett variabelbyte till en variabel som går mot noll. I ovanstående gränsvärde sätter man då x + t, där t 0: x { ( + t) x x t + t t 0 ( + t) t t( + t) t + t 4

5 Binomialformeln oc Pascals triangel. Pascals triangel är scemat där varje tal, utom ettorna på ytterkanten, är summan av de båda tal som befinner sig snett upp till vänster oc snett upp till öger. Ur Pascals triangel kan man avläsa koefficienterna i utvecklingen av (a + b) n, för små värden på n: (a + b) 0 (a + b) a + b (a + b) a + ab + b (a + b) 3 a 3 + 3a b + 3ab + b 3 (a + b) 4 a 4 + 4a 3 b + 6a b + 4ab 3 + b 4 (a + b) 5 a 5 + 5a 4 b + 0a 3 b + 0a b 3 + 5ab 4 + b 5 (a + b) 6 a 6 + 6a 5 b + 5a 4 b + 0a 3 b 3 + 5a b 4 + 6ab 5 + b 6 Exempel. Ett gränsvärde där vi gör variabelbytet x + t oc använder oss av binomialformeln: x 3 { + ( + t) x x 3 + t 0 ( + t) 3t 3t + t 3 3 3t + t t + t 3 + t Konjugat-trixet. Konjugatregeln (A + B)(A B) A B kan omskrivas som A B A B A + B Detta kan vara användbart för att få bort oönskade rottecken. Exempel. x 0 { x x( + x + ) + x ( + x) x( + x + ) x + x + + x + Ensidiga gränsvärden. I ögergränsvärdet f (x) närmar sig x punkten (talet) a från x a + öger, så x > a under ela processen. I vänstergränsvärdet f (x) närmar sig x punkten (talet) a från vänster, så x < a. Exempel. Genom variabelbytet x + t får vi { { { x ( + t) x ± x t + t t + t, t > 0 ( + t) t 0 ± ( + t) t t t, t < 0 x a Vänstergränsvärdet kan skilja sig från ögergränsvärdet (oc ibland existerar inte ens ett av dem). 5

6 Gränsvärden i oändligeten. Det är är frågan om x ± f (x). Även är måste funktionsuttrycket omformas så att man ser vad som änder då x. Exempel. Ett exempel med konjugattrix oc bortförkortning av oändligeten: x ( x 5x + 3 x) (x 5x + 3) x x 5x x x( x ) x( 5 x ) 5 x Exempel. Undvik genom variabelbytet x t: x { ( x 5x x) ( t + 5t + 3 t) (som i föreg. ex.) 5 x t Exempel. Bortförkortning av oändligeten betyder alltså att man bryter ut ögstapotensen i täljare oc nämnare oc förkortar: x { x 5 + 3x 4 x 5 + x + x 5 ( + 3 x ) x 5 ( + + ) x 4 x 5 Oändliga gränsvärden. Exempel på sådana är x { x + x x ( + x ) x x + 3 x( + 3 x ) x( + x ) x + 3, x 0 + x x 6

7 Föreläsning 3, 3/ 00: Avsnitt.4, om kontinuitet. Kontinuitet allmänt. Idén är att en funktion f (x) är kontinuerlig om en liten förändring av x alltid ger uppov till en liten förändring av f (x). I det motsatta fallet, då f är diskontinuerlig, finns det (minst) ett x-värde där f (x) gör ett språng, d.v.s f (x + ) f (x) går inte mot noll då 0. För att vara användbar måste denna idé preciseras. Kontinuitet i en punkt. Antag att f (x) är definierad oc reellvärd för a x b. Om a < c < b oc f (c) f (x) sägs f (x) vara kontinuerlig för x c. x c Om f (a) f (x) sägs f (x) vara kontinuerlig för x a. x a + Om f (b) f (x) sägs f (x) vara kontinuerlig för x b. x b Höger- oc vänsterkontinuitet. Antag, som förut, att f (x) är definierad oc reellvärd för a x b. Om a c < b oc f (c) f (x) sägs f (x) vara ögerkontinuerlig för x c. x c + Om a < c b oc f (c) f (x) sägs f (x) vara vänsterkontinuerlig för x c. x c En funktion är alltså, om vi bortser från intervalländpunkter, kontinuerlig i en punkt om oc endast om den är både vänster- oc ögerkontinuerlig i punkten. Exempel. x är ögerkontinuerlig överallt, men diskontinuerlig i eltalspunkterna (oc bara där). x är vänsterkontinuerlig överallt, men diskontinuerlig i eltalspunkterna (oc bara där). Kontinuerliga funktioner. En funktion, vars definitionsmängd är en union av intervall, definieras som kontinuerlig om den är kontinuerlig i varje punkt i definitionsmängden. Exempel. Låt {, då x > 0 f (x) x(x + ), g(x) 0, då x < 0 oc (x) {, då x 0 0, då x < 0 Då är f oc g kontinuerliga medan är diskontinuerlig. En fråga: Du sa att grafen till en kontinuerlig funktion kan uppritas utan att pennan lyfts från papperet. Hur kan då g vara kontinuerlig? Svar: När pennspetsen befinner sig rakt ovanför, eller under, en punkt på x-axeln som inte tillör definitionsmängden är det tillåtet att lyfta pennan! En fråga: Kan du ge exempel på en funktion som är diskontinuerlig i många punkter? Svar: {, då x Q f (x) där Q betecknar de rationella talen. 0, då x / Q Denna funktion är definierad oc diskontinuerlig på ela reella axeln. 7

8 Sats. Om f, g är kontinuerliga så är f ± g, f g, f samt f g kontinuerliga. g Genom att först visa att konstanta funktioner oc identitetsfunktionen (I(x) x för alla x R, d.v.s kurvan y x) är kontinuerliga oc sedan utnyttja satsen kan vi dra slutsatsen att alla polynom oc rationella funktioner är kontinuerliga. Exempel. Låt { f (x), då x 0 odef., då x < 0 oc g(x) { odef., då x > 0 + x, då x 0 Då är f oc g kontinuerliga. Enligt satsen skall f + g vara kontinuerlig. Så är också fallet ty odef., då x > 0 ( f + g)(x) f (x) + g(x) +, då x 0 odef., då x < 0 Försök att själv bestämma f g oc g f. Ett ännu mer extremt exempel får vi om vi tar f, g sådana att D f oc D g ej ar någon gemensam punkt. I så fall är f + g (oc f g, f g, f /g) inte definierade någonstans, d.v.s funktionen existerar inte! Detta oc andra exempel visar att i den matematiska världen bör icke-existerande objekt a alla egenskaper. Så om f + g inte existerar räknas f + g som kontinuerlig (oc diskontinuerlig oc... ). En fråga: Satsen säger att om f oc g är kontinuerliga så är f g kontinuerlig. Kan f g vara kontinuerlig trots att f oc/eller g är diskontinuerlig? Svar: Visst! Om f eller g är konstant så kommer f g att vara konstant oc därmed kontinuerlig oavsett ur diskontinuerlig den andra funktionen är. Om vi låter f (x) g(x) så är f g diskontinuerlig överallt, men {, då x Q 0, då x / Q f g(x) f (g(x)) f (0 eller ), för alla x R d.v.s f g är konstant oc alltså kontinuerlig. Ett annat exempel är f (x) g(x) { x, då x Q x, då x / Q Fortfarande är f g diskontinuerlig överallt. För sammansättningen f g gäller f (x) x, då x Q f g(x) f (g(x)) x, då x / Q x för alla x R. Alltså ar vi f g I (I(x) x, x R) som är en i ögsta grad kontinuerlig funktion. x 8

9 Kontinuerlig utvidgning. Se sid. 8 i läroboken. Ett exempel: För x ar vi f (x) x3 + x (x + )(x x + ) x x + F(x) (x + )(x ) x Den kontinuerliga funktionen F är identisk med den kontinuerliga funktionen f på D f oc ar större definitionsmängd D F D f {, F( ) 3. F är därför en kontinuerlig utvidgning av f. Hävbara diskontinuiteter. Ett exempel: Definiera f ( ) oc (se ovan) f (x) x3 + x x x + x då x Då är f (x) diskontinuerlig för x. Denna diskontinuitet försvinner om vi i stället definierar f ( ) 3. Grundsatser om kontinuerliga funktioner: Antag att f (x) är kontinuerlig för a x b. Då gäller: Funktionen f antar ett största värde M (maximum) oc ett minsta värde m (minimum) i intervallet, d.v.s det finns punkter p, q [a, b] sådana att m f (p) f (x) f (q) M för alla x [a, b]. Dessutom antar f alla värden i intervallet [m, M] (för varje y [m, M] finns x [a, b] så att y f (x)). Speciellt antar f alla värden mellan f (a) oc f (b). Se sid Exempel. Visa att det finns precis ett reellt tal c sådant att c 5 9. Lösning. Låt f (x) x 5 9. En kurvskiss (av f (x)/5 för att minska figuröjden): y (x 5 9)/5, 0 x 9

10 Eftersom f är ett polynom är f kontinuerlig på ela R. Dessutom ar vi f () 8 < 0 < 3 f (). Enligt grundsatserna ovan finns därför c sådant att < c < oc f (c) 0, d.v.s c 5 9. Om även d 5 9 så gäller 0 c 5 d 5 (c d)(c 4 + c 3 d + c d + cd 3 + d 4 ) Eftersom både c oc d är positiva så är c 4 + c 3 d + c d + cd 3 + d 4 positivt. Alltså måste c d, så c är unikt. Exempel. Hur många reella nollställen ar polynomet f (x) x 5 5x +? Lösning. En kurvskiss (av f (x)/5 för att minska figuröjden) visar att f ar tre nollställen: y (x 5 5x + )/5, x Att f ar minst tre nollställen följer, som i föregående exempel, av att f ( ) < 0 < f (0) > 0 > 3 f () < 0 < 3 f () För att bekvämt visa att det inte finns fler än tre nollställen ar vi dock beov av skarpare metoder, nämligen derivator, så det får vänta ett tag. 0

11 Föreläsning 4, 5/ 00: Kapitel, derivator, inleds. Derivatans definition. Vi definierade derivatan av en funktion f (x) då x a som f (a) 0 f (a + ) f (a) oc tolkade f (a) som lutningen os tangenten till kurvan y f (x) i punkten (a, f (a)). Som ett första exempel bestämde vi ekvationer för tangentlinjen oc normallinjen till kurvan y f (x) x i punkten (a, a ): Derivatan ges av { f (a + ) f (a) f (a) (a + ) a a + a + a 0 Tangentlinjen är alltså den räta linjen genom punkten (a, a ) med lutningen k a. En ekvation för tangenten är därför y a + a(x a) ax a Vi påminde oss regeln att om k, k är riktningskoefficienterna för två räta linjer som skär varandra vinkelrätt så gäller k k. Normalen ar alltså lutningen En ekvation för normallinjen är därför k n f (a) a y a a (x a) a + x a Vi frågade oss sedan om kurvan y x ar en tangent i (0, 0) oc gav svaret nej (eftersom det inte finns en entydig tangent så finns det ingen tangent). Exempel. Bestäm f (x) om f (x) ax + b, x, x oc notera i vilka punkter (om någon) som f (x) ej är definierad. Lösning. Om f (x) ax + b får vi { f (x + ) f (x) f (x) 0 (a(x + ) + b) (ax + b) a a a Om f (x) x ar vi f (x) x, för x > 0, f (x) x, för x < 0, oc får { { { f (x + ) f (x) f, då x > 0, då x > 0 (x) 0, då x < 0, då x < 0 f (0) existerar inte eftersom f () f (0) {, då > 0, då < 0 Om, slutligen, f (x) x så är det enklast att göra en kurvskiss oc bestämma derivatan med jälp av den. Med samma metod som i problem, till lektion, får vi skissen

12 y x Vi kan från figuren avläsa att f (x) Då x 0, ±, ±3 existerar inte f (x)., då x < 3, då 3 < x <, då < x < 0, då 0 < x <, då < x < 3, då 3 < x Höger- oc vänsterderivata. Dessa derivator definieras genom f +(x) 0 + f (x + ) f (x) respektive f (x) 0 f (x + ) f (x) Högerderivatan mäter kurvans lutning åt öger, sett från punkten (x, f (x)). Derivatan f (x) existerar om oc endast om både f +(x) oc f (x) existerar oc ar samma värde. Exempel. Funktionen f (x) x är öger- oc vänsterderiverbar överallt. Från ovanstående figur avläser vi att, då x < 3, då x 3, då 3 x <, då 3 < x f +(x), då x < 0 f, då 0 x <, då < x 0 (x), då 0 < x, då x < 3, då < x 3, då 3 x, då 3 < x Beteckningar för derivatan. Några beteckningar för derivatan av en funktion y f (x) är f (x) f y D f D x f d f dx dy dx f () (x) f () Deriveringsregler. Om f oc g är deriverbara så är f ± g, f g, g, f g också deriverbara med derivatorna ( ) ( ) ( f ± g) f ± g, ( f g) f g + f g, g f g g, f g f g g g

13 Den viktigaste deriveringsregeln, kedjeregeln, väntar vi med till nästa föreläsning. Exempel. Med jälp av deriveringsreglerna (oc induktion) får vi regeln för derivatan av en eltalspotens (p är ett eltal alltså). Dx p px p x 0 ( ) Exempel. Använd deriveringsreglerna för att derivera f (x) x, x > 0. Lösning. Vi ar x x x f (x) f (x). Produktregeln ger Av detta följer att vilket bättre kan skrivas som Dx f (x) f (x) + f (x) f (x) f (x) f (x) f (x) f (x) x Dx x Regeln ( ) stämmer alltså även för p. Genom likartade resonemang kan vi visa att ( ) stämmer för alla p m n, där m, n är eltal oc n 0. Regeln kan utvidgas till D(x a) p p(x a) p, x > a (p Q, a R) Exempel. Derivera f (x) x x + (x 5) 3. Lösning. Det är ofta lämpligt att, vid derivering, skriva om en kvot som en produkt d.v.s T/N TN eller T/N N T. I detta fall valde vi att skriva f (x) (x 5) 3 (x x + ) AB, där A (x 5) 3, B x x +. Produktregeln ger sedan f (x) A B + AB ( 3)(x 5) 4 (x x + ) + (x 5) 3 (x ) För att förenkla detta bryter vi ut den ögsta negativa potensen ( värstingen ): f (x) (x 5) 4 [( 3)(x x + ) + (x 5) (x )] (x 5) 4 [ 3x + 3x 3 + x x + 5] (x 5) 4 (x + 8x ). 3

14 Föreläsning 5, 0/ 00: Nu andlar det om kedjeregeln. Kedjeregeln, se avsnitt.4, lyder f (g) f (g) g (Yttre derivatan) (Inre derivatan). Exempel. Derivera F(x) x + x +. Lösning. Vi ar är F f (g), där f (g) g oc g(x) x + x +. Kedjeregeln ger F (x) f (g)g (x) g (x + ) (x + x + ) (x + ) (x + x + ) (x + ). Exempel. Derivera F(x) x x + (x + ) 3. Lösning. Här är det mer komplicerat. Först skriver vi F som en produkt: F A B, där A (x + ) 3 oc B (x x + ). Produktregeln ger F A B + AB. För att beräkna derivatorna A oc B använder vi kedjeregeln: A ( 3)(x + ) 4 (x + 0) ( 6x)(x + ) 4, B (x x + ) (x ) (x )(x x + ). Det resulterande uttrycket för F förenklas sedan genom utbrytning av värstingarna (x + ) 4 oc (x x + ). Vi får F (x) ( 6x)(x + ) 4 (x x + ) + (x + ) 3 (x )(x x + ) (x + ) 4 (x x + ) [ ( 6x)(x x + ) + (x + )(x ) ] (x + ) 4 (x x + ) ( 6x 3 + x x + x 3 x + x ) (x + ) 4 (x x + ) ( 5x 3 + x x ) (x + ) 4 (x x + ) (5x 3 x + x + ). 4

15 Några oliketer oc gränsvärden för trigonometriska funktioner. Vi repeterade ur de trigonometriska funktionerna definieras med jälp av enetscirkeln oc ärledde oliketerna cos θ < sin θ <, 0 < θ < π θ Med jälp av dessa ärledde vi gränsvärdet oc beräknade gränsvärdena Se sid sin θ θ 0 θ cos 0, cos 0 0 Derivator av trigonometriska funktioner. Med jälp av ovanstående gränsvärden får vi { cos(x + ) cos x D cos x 0 cos sin x cos x sin cos x cos sin x sin cos x sin x 0 cos x sin x oc D sin x D cos ( π x) sin ( π x) ( ) cos x D tan x D sin x cos x cos x + sin x cos x (cos x)(cos x) (sin x)( sin x) cos x + tan x cos x Så långt ann vi innan vi blev avbrutna av en brandövning. 5