Viktigaste begrepp, satser och typiska problem från kursen ALA-A år 2013.

Transkript

1 Viktigaste begrepp, satser och typiska problem från kursen ALA-A år Reela tal. Rationella tal. Irrationella tal. Slutna intervall. Öppna interlvall. s.5 Koordinater i plan. a(b+c)=ab+ac; Bråkräkning: a/b+c/d=(ad+bc)/(bd) (ac+bc)/c=(a+b) Egenskaper hos olikheter s. 9 Funktion, definitionsmängd, värdesmängd Def. 1, s. 24. Sammansatta funktioner, s.35 Graf av en funktion s.26, och dess egenskaper. s En-entydiga funktioner. Def. 1 Inversa funktioner Def.2, sid.166. kap. 3.1, Gränsvärde av en funktion. Kap. 1.2, s. 66, s. och s. 89 Def. 8, Höger och vänster - gränsvärde Def.9, s. 91 Kap. 3.1 Cancellation identities: f(f^(-1)(y))=y; f^(- 1)(f(x))=x En-entydiga funktioner har invers. Monotona funktioner är en-entydiga och har invers. Graf till en funktion och dess invers är spegelbild av varandra med avseende på linjen y=x. sid.167 Relation mellan ensidiga gränsvärden och gränsvärde. Th.2, s. 68. Regler för gränvärden. Kap. 1.2, Th.2, sid. 69. Gränsvärde av summa (med bevis), Ex.4, sid. 90 Gränsvärde av produkt (med bevis), Exercise 33 sid. 93 Gränsvärde av sammansatta funktioner Th. 7, s. 82 Squeeze theorem (Satsen om två polismännen) kap. 1.2, Th.4, sid. 71 (med bevis) Exercise 38 sid. 93. Tips för bevis finns i boken och diskuterades på föreläsning. Bråkräkning. Lösa olikheter. s.9-11 Bestäm definitionsmängd och värdesmängd av en funktion Rita grafer till enkla funktioner Bestäm om en funktion har invers. Rita grafen till en funktion och dess invers. Beräkna gränsvärde, höger och vänster gränsvärden av en funktion. Kunna bevisa att en funktion saknar gränsvärde, vänster, eller höger gränsvärde. Måste kunna använda konjugat, Beräkna gränsvärden av rationella funktioner o.s.v. Beräkna ett gränsvärde med hjälp av squeeze theorem (Satsen om två polismännen). Gänsvärden när x går mot oåndlighet. Gränsvärde av: Summa, produkt, kvot av Beräkna gränsvärde när x ± Beräkna gränsvärden då

2 x ±. Def 3, s. 75, def. 10, s.91.oändliga gränsvärden ±. s.75, Def. 11, s.92 Asymptoter till graf Funktion kontinuerlig, vänsterhögerkontinuerlig i en punkt, diskontinuerlig i en punkt. Kap.1.4,Def. 4, 5, 6 sid. 79, 80 Kontinuerlig utvidgning (continuous extension) s. 82 Försumbar (hävbar) diskontinuitet - removable discontinuity s. 32 funktioner. Gänsvärden när x ± Gränsvärde av sammansatta funktioner. Samband mellan vänster, höger kontinuitet och vanlig tvåsidig kontinuitet. Kap.1.4, Th. 5, sid.79 Summa, produkt, kvot av kontinuerliga funktioner och sammansatta kontinuerliga funktioner ger en kontinuerlig funktion. Th. 6, 7 sid. 81,82. Sammansatta kontimuerliga funktioner ger en kontinuerlig funktion. Th. 7, s. 82 f(x) eller f(x) -. Bestäm horisontella, vertikala och lutande asymptoter till graf av en funktion. För en funktion given med formler eller med en graf, bestäm i vilka punkter den är konituniuerlig, diskontinuerlig, väntser, högerkontinuerlig. Bestäm om funktion har en försumbar (hävbar) diskontinuitet i en punkt. Kontinuerliga funktioner på ett begränsat slutet intervall. Lutning av graf kap. 2.1, def. 1 sid. 97 Derivata : kap. 2.2, def. 4, sid.100 singulära punkter, sid Deriverbar funktion, sid. 101 Definition för ln, exp, Def. 6, Th. 1, sid 172, sid Funktion kontinuerlig på ett begränsat slutet intervall [a,b] antar sitt maximalt och sitt minimalt värde på [a,b] kap. 1.4, Th. 8 sid. 83 Intermediate value theorem kap. 1.4, Th. 9, sid. 85 Th. 1 om kontinuitet av deriverbara funktioner. s. 109 Derivata av summa: Th. 2 sid. 109, produkt (med bevis): Th. 3, sid. 110, reciproc Th. 4, s. 112, kvot (med bevis) Th. 5, s.113 Derivator av funktioner: potens, exp, ln, sin, cos, tan, inverser för sin,cos, tan. Kedjeregeln: derivatan av sammansatta deriverbara funktioner. Th. 6, sid Formeln för derivatan av inversa funktion (med bevis) sid. 168 (lär beviset från anteckningar, det är enklare) Bestäm om en funktion f kan utvidgas till en punkt utanför dess definitionsmängd så att funktionen f blir kontinuerlig i den punkten. Använd Th. 9 för att visa att en ekvation f(x)=0 med kontinuerlig f har rötter på ett intervall. Derivera komplicerade funktioner med hjälp av formler för: summa, produkt, reciproc, kvot, kedjeregeln. Beräkna derivatan av inversa funktionen till en given funktion.

3 Växande, avtagande funktioner. Def. 6 sid 139. Kritiska eller stationära punkter. Kap. 2.8, Th. 13, sid. 140 Extrempunkter: absolut maximum, minimum, localt maximum, minimum. Kritiska punkter, endpunkter, singulära punkter. Sid. 234, 235. Högre derivator. Kap. 2.6, sid. 127 Funktion konkav uppåt, neråt, böjningspunkt. Kap. 4.5, def. 3,4, sid. 240, 241. Asymptoter till graf av en funktion Gränsvärde sin(x)/x då x 0 (med geometriska beviset) Th. 8, sid 121 Om f(x) har ett maximum (minimum) i en punkt c på ett öppet intervall (a,b) och f är deriverbar i c så är c en stationär punkt till f: f (c)=0 kap. 2.8, Th. 14, sid. 141 Rolles sats (med bevis): kap. 2.8, Th. 15, sid. 141 Mean Value theorem: kap. 2.8, Th.14, sid. 137, 141. (med bevis): Generalized Mean -Value theorem Kap. 2.8, Th. 16, sid.142. Kap. 4.4, Th.5 sid. 233 (existens sats för extrempunkter). Th. 6, sid. 234 (vilka punkter som kan vara extrempunkter) First derivative test: Kap. 4.4, Th.7, sid. 236 Second derivative test: kap. 4.5, Th.10, sid. 243 Satser om funktion som är konkav uppåt eller neråt. Andra derivata i en böjningspunkt a är noll om f''(a) finns. Kap. 4.5, Th. 9, sid. 242 Bestäm alla kritiska (stationära) punkter av en enkel funktion. Avänd Mean Value theorem för att uppskatta en funktion med en linjär funktion. Bestäm alla lokala och absoluta extrempunkter till en funktion på ett begränsat intervall. Beräkna högre derivator av en funktion. Bestäm på vilka intervall en funktion är konkav uppåt, eller neråt. Ange böjningspunkter. Bestäm horisontella, vertikala och lutande asymptoter till graf av en funktion. Skissa graf till en funktion med alla möjliga detaljer. Linjär approximation kap.4.9, def.8, Felanalys. Kap. 4.9 sid. 269 Taylors polynom, kap. 4.10, sid. 272 Indeterminate forms kap Feluppskattning för linjär approximation (med bevis): Kap.4.9, Th. 11 sid Gränsvärdet av (1+1/n)^n då n + (med bevis) kap. 3.4, Th. 6, sid. 187 Allmän formel för Taylors polynom: sid Restterm på Lagranges form. Kap. 4.10, Th. 12, sid. 275 Ange linjär approximation till en funktion, feluppskattning till den och det intervall där dess värde måste ligga enligt feluppskattningar. Bestäm Taylors polynom av ordning två till en funktion och intervall där funktionens värde måste ligga.

4 Stora O(x^n) beteckning för x 0,Def. 9, sid 276 l'hopitals första och andra regler feluppskattning till den Stora O(x^n) beteckning och dess egenskaper. sid 277 Taylor formler for 1/(1-x), exp(x), sin(x), cos(x), ln(1+x) runt origo. Sid. 278 l'hopitals första regel (med bevis) och l'hopitals andra regel. Anvand Taylors polynom for att berakna gransvarden, som i Examples 9, 10 sid 280 Anvand l'hopitals regel for att berakna gransvarden. Analystisk geometri i planet: kapitel P2 från introduk- tionskursen är bra att kunna! Rummet R^n. Mängder, punkter, vektorer. (utan öppna, slutna mängder, inre, yttre punkter) Kap Vektorer i planet och i rummet Kap s absolupbelopp längden av vektor. s summa, multiplikation med tal. Skalärprodukt av två vektorer Def. 3. S. 576, Avstånd mellan två punkter. Projektion av en vektor på annan vektor Def. 4, s Kryssprodukt, Def. 5 s. 580 geometrisk mening, Determinant. S. 582 Trippelprodukt. Plan i rummet, räta linjer i Plan i rummet, rata linjer i planet, ekvationer for dem. Geometriska mening med Koefficienter. Knipe plan (pencil of planes) s. 589 Formler för summa av två vektorer. Formel för skalärprodukt, cos av vinkel mellan två vektorer, Th. 1, s absolutbelopp, avståndet mellan två punkter. Formler för projektioner. Formler för determinanter, s Formler för kryssprodikt s Geometrisk formel för kryssprodukt, s Def. 5, s. 580 Arean av triangel med kryssprodukt, Ex. 3 s Formeln för trippelprodukt av tre vektorer. Def. 6 s Volum av parallelepiped med trippelprodukt, Ex. 4 s Berakna avstandet mellan två punkter. Berakna skalär och vektorprojektion av en vektor pa annan vektor. Berakna cos av vinkeln mellan två vektorer Bestam koordinatan av mitten av en stracka mellan två punkter i rummet. Användning av kryssprodukt i geometriska problem t.ex. för att beräkna volum, arean, och vinklar mellan vektorer. Bestäm en vektor viklerät mot två givna vektorer eller linjer. Bestäm en vektor som är samtidigt parallell med två givna plan. Beräkna trippelprodukt av tre vektorer. Ekvationer för ett plan på fyra former: standart, genom en given punkt s. 588, med sträckor (intercept form) s. 589, normal form s. 588, och deras geometriska mening. Ekvationer för en linje i rummet: på vektor form s. 590, på scalär parametrisk form s. 590, i form av två ekvationer Ex. 6, i standart form Ex. 5, s Typiska problem med plan och linjer: Ange ekvation for ett plan: a) genom tre givna punkter; b) genom en punkt och en linje; c)

5 genom en punkt och vinkelrat mot en linje; d) genom en punkt och parallelt med annat plan; e) parallelt med två givna linjer. Ange ekvation for en linje: a) genom två punkter; b) genom en punkt och vinkelrät mot ett plan. d) som är skärningslinjen av två givna plan. Bestäm avståndet mellan en punkt och ett plan (Ex. 7, s. 592) eller en linje (Ex. 8, p.592). Bestäm avståndet mellan två linjer (Ex. 9, s. 593). Bestäm avståndet mellan två parallella plan. Bestäm projektion av en punkt på ett plan eller en linje. Bestäm projektion av en linje på ett plan. Bestäm om två linjer korsar varandra. Bestäm om fyra punkter ligger i samma plan. Använd ekvationen for planet for att identifiera hur det ligger med avseende pa koordinataxlarna. Tenta kommer att bestå av följande typer av problem: Formulering av definitioner, begrepp och satser från listan kan komma som en del i alla tentauppgifter. MEST AV FÖLJANDE TYPER AV PROBLEM KOMMER PÅ TENTAN. Formulera och bevisa en sats från listan. Formulera en sats eller definition. Beräkna ett gränsvärde av en funktion. Ange punkter där en given funktion är kontinuerlig, diskontinuerlig, vänster eller högerkontinuerlig, eller en hävbar (removable) diskontinuitet. Använd itermediate value theorem för att visa att en ekvation f(x) =0 har lösningar (eller det är samma att funktionen f harr rötter) på ett intervall. Beräkna derivator av första eller högre ordning av en komplicerad funktion. Använd mellanvärdessatsen för uppskattningar av typ: f(x-a)< L(x-a) för en funktion. Bestäm singulära punkter, absoluta (om de finns) och alla lokala extrempunkter, och böjningspunkter av en funktion. Bestäm och intervall där en funktion är växande, avtagande, konkav upp eller ner. Ange Taylorsformel eller linjär approximation till en given funktioner nära en punkt. Lös ett problem som innebär beräkning av: avstånd mellan punkter, projektioner av vektorer, beräkning av vinklar mellan vektorer o.s.v. i samband med vissa geometriska frågor. Skriv en ekvation för ett plan eller en linje som uppfyller vissa geometriska villkor. Eller tvärtom: bestäm geometriska egenskaper eller parametrar (avståndet, vinklar mellan plan, linjer, eller punkter givna med ekvationer) Beräkning av kryssprodukt kan ingå som delproblem i något av geometriska problem. Varje uppgift kommer att kosta ett visst antal poäng. Maxpoäng på hela tentan är 50. Beroende på hur fullständig lösning du har skrivit, får du en viss del av poäng för varje uppgift. Summan av dina poäng för hela tentan bestämmer ditt betyg: 20 poäng ger betyg 3; 30 poäng ger betyg 4; 40 poäng ger maximala betyget 5. För mindre än 20 poäng kommer du att få underkänd. Oavsett dina poäng för tentan får du inte betyget för kursen före du har redovisat tre obligatoriska laborationer i Matlab.