Föreläsning 7. SF1625 Envariabelanalys. Hans Thunberg, 13 november 2018

Transkript

1 Föreläsning 7 SF1625 Envariabelanalys 13 november 2018 SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 1 / 23

2 Dagens teman: exponentialfunktioner och logaritmer standardgränsvärden tillväxtproblem SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 2 / 23

3 Exponentialfunktioner Diskussionsupppgift Vad betyder, dvs hur definieras a x, t ex 2 x? Om x är ett positivt heltal? Om x = 0? Om x är ett negativt heltal? Om x är ett rationellt tal? Varför? Om x är irrationellt? T ex 2 π Hur ser potenslagarna ut? Varför ser de ut som de gör? Hur definieras log a x, t ex log 2 x eller ln x = log e x? Hur ser logaritmlagarna ut? Varför? SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 3 / 23

4 Exponentialfunktioner och logaritmer Exponentialfunktioner och logaritmer är inversa funktioner till varandra. Med basen e ln(e x ) = x, < x < och e ln x = x, 0 < x Med basen a > 0, a 1 log a (a x ) = x, < x < och a log a x = x, 0 < x SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 4 / 23

5 Potens och logaritmlagarna Graferna y = e x och y = ln x är varandras spegelbilder i y = x SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 5 / 23

6 Potens och logaritmlagarna (sid 173) (sid 174) SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 6 / 23

7 Potens och logaritmlagarna Uppgifter Förenkla: 3.2:4 (1/2) x 4 x 3.2:7 log 1/3 3 2x 3.2:11 log a b log b a 3.2:29 Lös ekvationen log 4 (x + 4) 2 log 4 (x + 1) = 1 2 SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 7 / 23

8 Exponentialfunktioner och logaritmer Uppgifter Det finns flera ekvivalenta vägar att definiera exponentialfunktioner och logaritmer, som alla leder fram till samma funktioner och samma egenskaper och räkneregler. Approach I (enl kapitel 3.2) börja med definiera a x, först för postiva heltal och sedan... Approach II (enl kapitel 3.3) början med definiera natruliga logaritmen ln x, utan att ha definierat e x, som primitiv till 1/x... SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 8 / 23

9 Exponentialfunktioner och logaritmer Approach I, se kap 3.2 För a > 0 kan man i tur och ordning definiera exponentialfunktionen a x med D(f) = R för positiva heltal x härleda potenslagarna för positiva heltalsexponenter definiera a x för icke-positiva heltal och rationella tal på det enda möjlga sätt som gör att potenslagarna fortsätter att gälla. slutligen definera a x för irrationella x genom en gränsvärdesprocess. (Det sista steget är svårt och det blir då svårt att handskas med gränsvärden och derivator!) SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 9 / 23

10 Exponentialfunktioner och logaritmer Approach I, forts., se kap 3.2 Man kan sedan visa att a x är inverterbar om a 1, ty för 0 < a < 1 är a x en strängt avtagande funktion, och för a > 1 strängt växande definierar log a x som invers till a x, a > 0, a 1, dvs y = log a x x = a y, härleda Log-lagarna ur potenslagarna. SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 10 / 23

11 Exponentialfunktioner och logaritmer Approach II, se kap 3.3 Definiera först ln x för x > 0 genom x 1 ln x = t dt = A x, x 1 A x, 0 < x < 1, 1 där A x är arean begränsad av t-axeln, t = 1, t = x och kurvan y = 1/t. d Visa att dx ln x = 1/x, som är > 0, så ln x är strängt växande och därmed inverterbar. Härleda Loglagarna (för ln ) direkt från integraldefinitionen. SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 11 / 23

12 Exponentialfunktioner och logaritmer Approach II, forts, se kap 3.3 Låt exp(x) vara inversen till ln x Härled räkneregler motsvarande potenslagarna för exp(x) från loglagarna Definiera talet e = exp(1) Visa att exp(x) = e x för alla rationella tal och ta sedan denna formel som definition av e x för irrationella exponenter x. Slutligen definieras a x = e x ln a (för a > 0 ), som också visar sig bli inverterbar för a 1, och inversen döper vi till log a x SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 12 / 23

13 Derivator för logaritmer, exponentialfunktioner och potensfunktioner(enl approach II). Från def av ln x fås d dx ln x = 1 x, x > 0. Om f(x) = ln x är f 1 (x) = e x så d dx ex = d dx f 1 (x) = 1 f (f 1 (x)) = 1 1 t t=e x = 1 1 e x = e x, x R. enligt formeln för inversfunktionens derivata. (Alternativt kan man derivera bägge led av identiteten ln e x = x.) SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 13 / 23

14 Derivator för logaritmer, exponentialfunktioner och potensfunktioner(enl approach II). För a > 0, a 1 är a x definierad genom a x = e a ln x för alla x och d dx ax = d dx ex ln a = {Kedjeregeln} = e x ln a d dx (x ln a) = (ln a)ax. log a x, a > 0, a 1, är definierad för x > 0 som invers till a x, så a log a x = x. Ledvis derivering ger (ln a)a log a x d dx log a x = 1 = d dx log a x = 1 (ln a)a log a x = 1 (ln a)x. (Alternativt kan man använda formeln för inversens derivata.) SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 14 / 23

15 Derivator för logaritmer, exponentialfunktioner och potensfunktioner(enl approach II). Slutligen får vi också deriveringsregeln för potensfunktioner med reell exponent. För r R är x r definierad för x > 0 och d dx xr = d dx er ln x = {Kedjeregeln} = e r ln x d dx (r ln x) = xr r x = rxr 1. SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 15 / 23

16 Exempel, beräkning av derivator av exponential- och logaritmfunktioner Uppgifter: Beräkna derivatan av följande funktioner a) e 2x b) ln x 2 (på två olika sätt) c) 2 x/2 d) ln 1 1+x 2 e) x cos x (tips: f(x) g(x) = e g(x) ln f(x) ) SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 16 / 23

17 Potens- och logaritmlagarna (sid 173) (sid 174) SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 17 / 23

18 Exponentialfunktioner Vilken är y = (1/2) x, y = (1.1) x, y = 2 x respektivte y = e x? SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 18 / 23

19 Logaritmlfunktioner Vilken är y = log 10 x, y = ln x respektivte y = log 1/2 x? SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 19 / 23

20 Vem växer snabbast? Standardgränsvärden (sidan 185) y = x4 2 x SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 20 / 23

21 Exempel, gränsvärden Uppgifter 3.4: 2 Beräkna lim x x 3 e x 3.4: 8 Beräkna lim x (ln x) 3 x SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 21 / 23

22 Talet e och e x definierade som gränsvärden Sats, Thm 6 (sid 189) Speciellt för x = 1 fås att e x = lim (1 + x ) n n n e = lim (1 + 1 ) n, n n talföljden { ( 2 1) 1, ( 3 2) 2, ( 4 3) 3, ( 5 4) 4,... } konvergerar mot talet e. SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 22 / 23

23 Första ordningens homogena ordinära linjära differntialekvationer - exponentiell tillväxt/sönderfall P = P(t) betecknar storleken vid tidpunkt t hos en viss djurpopulation. Antag att populationstillväxten per tidsenhet är proportionerlig mot populationsstorleken. Då är P(t + t) P(t) P(t + t) P(t) = kp(t) t, = kp(t) t Låter vi t 0 får vi en första ordningens differentialekvation som tillsammans med ett begynneslvillkor bestämmer P(t), dp dt = kp(t) P(0) = P 0 Uppgift: Bestäm funktionen P(t)! SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 23 / 23