Föreläsning 7. SF1625 Envariabelanalys. Hans Thunberg, 13 november 2018
|
|
- Barbro Samuelsson
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Föreläsning 7 SF1625 Envariabelanalys 13 november 2018 SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 1 / 23
2 Dagens teman: exponentialfunktioner och logaritmer standardgränsvärden tillväxtproblem SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 2 / 23
3 Exponentialfunktioner Diskussionsupppgift Vad betyder, dvs hur definieras a x, t ex 2 x? Om x är ett positivt heltal? Om x = 0? Om x är ett negativt heltal? Om x är ett rationellt tal? Varför? Om x är irrationellt? T ex 2 π Hur ser potenslagarna ut? Varför ser de ut som de gör? Hur definieras log a x, t ex log 2 x eller ln x = log e x? Hur ser logaritmlagarna ut? Varför? SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 3 / 23
4 Exponentialfunktioner och logaritmer Exponentialfunktioner och logaritmer är inversa funktioner till varandra. Med basen e ln(e x ) = x, < x < och e ln x = x, 0 < x Med basen a > 0, a 1 log a (a x ) = x, < x < och a log a x = x, 0 < x SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 4 / 23
5 Potens och logaritmlagarna Graferna y = e x och y = ln x är varandras spegelbilder i y = x SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 5 / 23
6 Potens och logaritmlagarna (sid 173) (sid 174) SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 6 / 23
7 Potens och logaritmlagarna Uppgifter Förenkla: 3.2:4 (1/2) x 4 x 3.2:7 log 1/3 3 2x 3.2:11 log a b log b a 3.2:29 Lös ekvationen log 4 (x + 4) 2 log 4 (x + 1) = 1 2 SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 7 / 23
8 Exponentialfunktioner och logaritmer Uppgifter Det finns flera ekvivalenta vägar att definiera exponentialfunktioner och logaritmer, som alla leder fram till samma funktioner och samma egenskaper och räkneregler. Approach I (enl kapitel 3.2) börja med definiera a x, först för postiva heltal och sedan... Approach II (enl kapitel 3.3) början med definiera natruliga logaritmen ln x, utan att ha definierat e x, som primitiv till 1/x... SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 8 / 23
9 Exponentialfunktioner och logaritmer Approach I, se kap 3.2 För a > 0 kan man i tur och ordning definiera exponentialfunktionen a x med D(f) = R för positiva heltal x härleda potenslagarna för positiva heltalsexponenter definiera a x för icke-positiva heltal och rationella tal på det enda möjlga sätt som gör att potenslagarna fortsätter att gälla. slutligen definera a x för irrationella x genom en gränsvärdesprocess. (Det sista steget är svårt och det blir då svårt att handskas med gränsvärden och derivator!) SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 9 / 23
10 Exponentialfunktioner och logaritmer Approach I, forts., se kap 3.2 Man kan sedan visa att a x är inverterbar om a 1, ty för 0 < a < 1 är a x en strängt avtagande funktion, och för a > 1 strängt växande definierar log a x som invers till a x, a > 0, a 1, dvs y = log a x x = a y, härleda Log-lagarna ur potenslagarna. SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 10 / 23
11 Exponentialfunktioner och logaritmer Approach II, se kap 3.3 Definiera först ln x för x > 0 genom x 1 ln x = t dt = A x, x 1 A x, 0 < x < 1, 1 där A x är arean begränsad av t-axeln, t = 1, t = x och kurvan y = 1/t. d Visa att dx ln x = 1/x, som är > 0, så ln x är strängt växande och därmed inverterbar. Härleda Loglagarna (för ln ) direkt från integraldefinitionen. SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 11 / 23
12 Exponentialfunktioner och logaritmer Approach II, forts, se kap 3.3 Låt exp(x) vara inversen till ln x Härled räkneregler motsvarande potenslagarna för exp(x) från loglagarna Definiera talet e = exp(1) Visa att exp(x) = e x för alla rationella tal och ta sedan denna formel som definition av e x för irrationella exponenter x. Slutligen definieras a x = e x ln a (för a > 0 ), som också visar sig bli inverterbar för a 1, och inversen döper vi till log a x SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 12 / 23
13 Derivator för logaritmer, exponentialfunktioner och potensfunktioner(enl approach II). Från def av ln x fås d dx ln x = 1 x, x > 0. Om f(x) = ln x är f 1 (x) = e x så d dx ex = d dx f 1 (x) = 1 f (f 1 (x)) = 1 1 t t=e x = 1 1 e x = e x, x R. enligt formeln för inversfunktionens derivata. (Alternativt kan man derivera bägge led av identiteten ln e x = x.) SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 13 / 23
14 Derivator för logaritmer, exponentialfunktioner och potensfunktioner(enl approach II). För a > 0, a 1 är a x definierad genom a x = e a ln x för alla x och d dx ax = d dx ex ln a = {Kedjeregeln} = e x ln a d dx (x ln a) = (ln a)ax. log a x, a > 0, a 1, är definierad för x > 0 som invers till a x, så a log a x = x. Ledvis derivering ger (ln a)a log a x d dx log a x = 1 = d dx log a x = 1 (ln a)a log a x = 1 (ln a)x. (Alternativt kan man använda formeln för inversens derivata.) SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 14 / 23
15 Derivator för logaritmer, exponentialfunktioner och potensfunktioner(enl approach II). Slutligen får vi också deriveringsregeln för potensfunktioner med reell exponent. För r R är x r definierad för x > 0 och d dx xr = d dx er ln x = {Kedjeregeln} = e r ln x d dx (r ln x) = xr r x = rxr 1. SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 15 / 23
16 Exempel, beräkning av derivator av exponential- och logaritmfunktioner Uppgifter: Beräkna derivatan av följande funktioner a) e 2x b) ln x 2 (på två olika sätt) c) 2 x/2 d) ln 1 1+x 2 e) x cos x (tips: f(x) g(x) = e g(x) ln f(x) ) SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 16 / 23
17 Potens- och logaritmlagarna (sid 173) (sid 174) SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 17 / 23
18 Exponentialfunktioner Vilken är y = (1/2) x, y = (1.1) x, y = 2 x respektivte y = e x? SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 18 / 23
19 Logaritmlfunktioner Vilken är y = log 10 x, y = ln x respektivte y = log 1/2 x? SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 19 / 23
20 Vem växer snabbast? Standardgränsvärden (sidan 185) y = x4 2 x SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 20 / 23
21 Exempel, gränsvärden Uppgifter 3.4: 2 Beräkna lim x x 3 e x 3.4: 8 Beräkna lim x (ln x) 3 x SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 21 / 23
22 Talet e och e x definierade som gränsvärden Sats, Thm 6 (sid 189) Speciellt för x = 1 fås att e x = lim (1 + x ) n n n e = lim (1 + 1 ) n, n n talföljden { ( 2 1) 1, ( 3 2) 2, ( 4 3) 3, ( 5 4) 4,... } konvergerar mot talet e. SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 22 / 23
23 Första ordningens homogena ordinära linjära differntialekvationer - exponentiell tillväxt/sönderfall P = P(t) betecknar storleken vid tidpunkt t hos en viss djurpopulation. Antag att populationstillväxten per tidsenhet är proportionerlig mot populationsstorleken. Då är P(t + t) P(t) P(t + t) P(t) = kp(t) t, = kp(t) t Låter vi t 0 får vi en första ordningens differentialekvation som tillsammans med ett begynneslvillkor bestämmer P(t), dp dt = kp(t) P(0) = P 0 Uppgift: Bestäm funktionen P(t)! SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 23 / 23
Föreläsning 6. SF1625 Envariabelanalys. Hans Thunberg, 9 november 2018
Föreläsning 6 SF1625 Envariabelanalys 9 november 2018 SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F6 1 / 18 Dagens teman: Primitiva funktioner (Antiderivator) och differentialekvationer (2.10) Tillämpningar
SF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 7 Institutionen för matematik KTH 12 september 2016 Injektiva funktioner En funktion är en regel som till varje tal i definitionsmängden ordnar ett bestämt tal i värdemängden. Injektiva funktioner
4 Fler deriveringsregler
4 Fler deriveringsregler 4. Dagens Teori Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: f(x) = 2x4 x3 + 2x
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som
LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014
LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite
Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
v0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik
v0., 08-03-3 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XV. Föreläsning XV. Mikael P. Sundqvist
Föreläsning XV Mikael P. Sundqvist Förändring och lutning Till snälla funktioner kan man prata om förändring. Med det menar vi lutningen på den linje som tangerar grafen (se den blå linjen). Den röda och
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd
x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Upphämtningskurs i matematik
Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)
y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x
Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 211-1-18 DEL A 1. Låt x och y vara två tal vars summa är 6. Ange det minimala värdet som uttrycket 2x 2 + y 2 kan anta. Lösningsförslag. Eftersom vi
Block 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd
Block 4 - Funktioner Funktionsbegreppet Definitionsmängd Värdemängd Grafen för en funktion Polynom Konstanta polynom Linjära polynom Andragradspolynom Potenser, exponential- och logaritmfunktioner Potensfunktioner
Lösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018
Lösningsförslag, preinär version 0., 3 januari 08 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel
Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö , Ö1.25, Ö1.55, Ö1.59
Moment.0-. Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö.9-., Ö.5, Ö.55, Ö.59 Funktioner Definition. En funktion y = f(x) är ett samband mellan variablerna x och y, sådant att ett x-värde motsvaras av högst ett värde
e x x + lnx 5x 3 4e x (0.4) x 0 e 2x 1 a) lim (0.3) b) lim ( 1 ) k. (0.3) c) lim 2. a) Lös ekvationen e x = 0.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS B 00 0 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. Lämna tydliga svar om så är
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
SF1625 Envariabelanalys
Kursmål och pluggtips Institutionen för matematik KTH Kursmål Kursmålen står på sidan Kursplan mm (länk i menyn). De anger vad man ska kunna för att bli godkänd på kursen. I den här pdf:en går jag igenom
Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I
Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer MA71A Matematik för lärare C, delkurs Matematisk
SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016
SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik
Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här
Modul 4 Tillämpningar av derivata
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)
x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Tentamen i Matematisk analys MVE045, Lösningsförslag
Tentamen i Matematisk analys MVE5 26-8-23 Lösningsförslag Kl. 8.3 2.3. Tillåtna hjälpmedel: Mathematics handbook for science and engineering (BE- TA) eller CRC Standard Mathematical Tables. Indexeringar
Meningslöst nonsens. December 14, 2014
December 4, 204 Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Röd: Det är ett
Tentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 202-03-23 kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik
Lösningsförslag v1.1 Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 1-8-8 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt
KTHs Sommarmatematik 2003 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 5.1 Introduktion Introduktion Exponentialfunktionen e x och logaritmfunktionen ln x är bland de viktigaste och vanligast förekommande
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XII. Föreläsning XII. Mikael P. Sundqvist
Föreläsning XII Mikael P. Sundqvist Vad handlar gränsvärden om? Det är en kamp mellan epsilon (ε) och delta (δ) analystens främsta verktyg! Klicka här för bild på Barry Simon Gränsvärde av f (x) då x +
TATM79: Föreläsning 6 Logaritmer och exponentialfunktioner
TATM79: Föreläsning 6 Logaritmer och eponentialfunktioner Johan Thim augusti 06 Den naturliga logaritmen Vi börjar med att introducera den naturliga logaritmen. Definition. Den naturliga logaritmen ln
R AKNE OVNING VECKA 2 David Heintz, 13 november 2002
RÄKNEÖVNING VECKA 2 David Heintz, 3 november 22 Innehåll Uppgift 29.4 2 Uppgift 29. 3 3 Uppgift 29.2 5 4 Uppgift 3. 7 5 Uppgift 3. 9 6 Uppgift 3.2 Uppgift 29.4 Prove that ln( + x) x for x >, and that ln(
DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2
DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23--24 DEL A. Den :a januari 26 låstes kg av ett visst radioaktivt ämne in i en källare. Ämnet sönderfaller i en takt som är direkt proportionell mot
Logaritmer. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Andreas Lillqvist Carlos
Logaritmer Joakim Östlund Patrik Lindegrén Andreas Lillqvist Carlos 24 september 2003 Innehåll 1 Introduktion 2 2 Naturliga logaritmer 3 2.1 Talet e................................. 3 2.2 Den naturliga
Kap Inversfunktion, arcusfunktioner.
Kap 3. 3.5. Inversfunktion, arcusfunktioner. 30. (A) Förenkla uttrycken så långt som möjligt a. ln 8 ln + ln 8 ln + ln b. ln 3 log 0 3 log 0 e + 3 ln 3 log 3 e 30. (A) Lös ekvationerna a. e x = e x b.
SF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 9 Institutionen för matematik KTH 16 september 2016 Homogena injära ODE m konst koeff Sist: homogena linjära ODE med konstanta koefficienter. Första ordningens sådan ekvation kan skrivas y
f (x) = 8x 3 3x Men hur är det när exponenterna inte är heltal eller är negativ, som till exempel g(x) = x h (x) = n x n 1
Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: Derivatan blir: f(x) = x 4 x + x + 8 f (x) = 8x x + Men hur
x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim 0. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.
Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e x2 /4 2) = 2) =
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 22-2- DEL A. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = xe x2 /4. Lösningsförslag. Standardgränsvärdet xe x, då x ger att lim f(x) = lim x x ± x ± e
Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och
Tentamen : Lösningar. 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall:
Tentamen 010-10-3 : Lösningar 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall: x 5 0 och 3 x > 0 x 5 och x < 3, en motsägelse, eller x 5 0 och
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 6, Differential- och integralkalkyl II, del, envariabel, för F. Tentamen torsdag 3 maj 7, 8.-3. Förslag till lösningar.. Ange definitions- och värdemängderna
Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och
Några saker att tänka på inför dugga 2
LINKÖPINGS UNIVERSITET 17 oktober 017 Matematiska institutionen TATA68 Matematik och tillämpad matematik Några saker att tänka på inför dugga Dugga omfattar HELA kursen, så titta även på de tips som lämnades
MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR
MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 6..019 BESKRIVNING AV GODA SVAR Examensämnets censorsmöte har godkänt följande beskrivningar av goda svar. Av en god prestation framgår det hur examinanden har kommit fram
5. Förklara varför sannolikheten att en slumpvis vald lottorad har 7 rätt är x + x 2 innehåller termen 14x. Bestäm
VECKANS UPPGIFTER MENY FÖR HELA MOMENT 3 5B3 Amelia fr P och T ht 004 Uppgifter till Vecka 4. Förklara hur ett induktionsbevis fungerar.. Bevisa att 4 n är jämnt delbart med 3 för n =,, 3,... 3. Bevisa
SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015
SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015.
Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Begrepp och definitioner Egenskaper och satser Typiska problem Reella tal. Rationella tal. a(b + c) = ab + ac Bråkräkning. Irrationella
4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.
TM-Matematik Mikael Forsberg 73 1 3 31 Pär Hemström 7 3 57 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma3a 1 8 Skrivtid: 9:-1:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att
Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator
Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html
Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23
Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande
Förberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Lektion 1 (första övningen läsvecka 1)
Förberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Läs kapitel 0.10.3. Mycket av detta är nog känt sedan tidigare. Om du känner dig osäker på något, läs detta nogrannare. Kapitel 0.6 behöver inte
Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt
KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 5.1 Introduktion Introduktion Exponentialfunktionen e x och logaritmfunktionen ln x är bland de viktigaste och vanligast förekommande
RIEMANNSUMMOR. Den bestämda integralen definieras med hjälp av Riemannsummor. Låt vara en begränsad funktion,, reella tal och. lim.
RIEMANNSUMMOR Låt vara en begränsad funktion,, reella tal och. Den bestämda integralen definieras med hjälp av ä ä, ; lim. Om funktionen har en elementär primitivfunktion då är insättningsformeln (Newton-
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande
Instuderingsfrågor i Funktionsteori
Instuderingsfrågor i Funktionsteori Anvisningar. Avsikten med dessa instuderingsfrågor är att ge Dig möjlighet att fortlöpande kontrollera att Du någorlunda behärskar kursens teori. Om Du märker att Du
10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1
TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift
Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.
Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera
Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.
Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att
Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.
Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik Avsnitt 6.6 ingår inte. Avsnitt 6.1 Detta avsnitt illustrerar hur sekanten övergår i en tangent genom att den ena skärningspunkten rör sig mot den andra.
Kap. P. Detta kapitel utgör Inledande kurs i matematik. I kapitlet beskrivs vilka bakgrundskunskaper som förutsätts.
5B1103, Differential och integralkalkyl II, del 1. LÄSANVISNINGAR TILL R.A. ADAMS, CALCULUS, A COMPLETE COURSE, 4TH ED. OMFATTNING: kapitel 1.1 1.5, Appendix III, 2, 3.1 3.4, 3.5 till def. 13, 17.7 t.o.m.
Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel
Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Detta kapitel är en liten matematisk vägledning om att beräkna tillväxttakten i Excel. Här visas exempel på potenser och logaritmer och hur dessa funktioner beräknas
ENVARIABELANALYS, ht 2003 (version 17 nov) Kursansvarig: tel ,
ENVARIABELANALYS, ht 2003 (version 17 nov) Kursansvarig: Georgi.Tchilikov@ide.hh.se, tel.035-167124, http://www.hh.se/staff/getc Ett försök till "strukturering" av innehållet (skrivet i första hand med
SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1
SAMMANFATTNING TATA4 ENVARIABELANALYS LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 04 Senast reviderad: 05-06-0 Författare: Viktor Cheng INNEHÅLLSFÖRTECKNING Diverse knep...3
Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner
Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet
Teresia Månsson, VFU, Matematik 5, 2014-12-10
Temauppgifter Syfte Det är tänkt att det ska finnas möjlighet med uppgiften att öva på följande förmågor: begrepps-, procedur-, problemlösning, kommunikations-, resonemang, modelleringsförmåga och relevansförmåga
LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664
LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där
2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner
Nr, feb -5, Amelia Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner.1 Funktioner från R n till R m Vi har i tidigare föreläsningar sett olika tolkningar av funktioner från R n till
Föreläsning 1. X kallas för funktionens definitionsmängd, mängden av funktionens alla värden kallas funktionens värdemängd.
Föreläsning 1 Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida http://www.math.uu.se/ rikardo/ envariabelanalys/huvudsidor/index.html Funktioner En funktion f, från mängden
Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60
MATEMATIK Karlstads universitet 2010-11-02, kl 8.15-13.15 Hjälpmedel: Inga Ansvarig lärare: Håkan Granath Tel: 2181, alt. 0735-37 37 34 Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 För uppgift 1 skall endast
MA2001 Envariabelanalys
MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 2 Mikael Hindgren 12 november 2018 Derivatan av inversen till en funktion Exempel 1 y = f (x) = x är strängt växande och har en invers. Bestäm Df (x) och
Envariabelanalys: Vera Koponen. Envariabelanalys, vt Uppsala Universitet. Vera Koponen Föreläsning 5-6
Envariabelanalys: Föreläsning 5-6 Vera Koponen Uppsala Universitet Envariabelanalys, vt 2011 Derivata: allmänt Antag att f (x) är en funktion. Derivata: allmänt Antag att f (x) är en funktion. Derivatan
+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n
Repetition, Matematik I.. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + 2 2 ) 5. 2. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + ) n för n =, 2,,.. Beräkna a 5 5a 2b + 5a 2b 2 5a 2 b + 5a 6b 2b
SF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 5 Institutionen för matematik KTH 5 september 2017 Hur mycket behöver man jobba? Vi har ett gemensamt ansvar: Jag visar vad som behöver göras Men det är ni som måste göra det Viktigt faktum:
MA2001 Envariabelanalys
MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 1 Mikael Hindgren 11 november 2018 Derivatans definition Exempel 1 s-t-graf för ett föremål i rörelse. s(0) = 0. s s = v t Hastigeten konstant: Rät linje
Ekvationer & Funktioner Ekvationer
Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus
2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen
Institutionen för matematik, KTH Mattias Dahl 5B, Dierential- och integralkalkyl I, del, för TIMEH2 Tentamen, tisdag 29 mars 25 kl.9.. Svara med motivering och mellanräkningar. Tillåtet hjälpmedel är formelsamlingen
4x 2 dx = [polynomdivision] 2x x + 1 dx. (sin 2 (x) ) 2. = cos 2 (x) ) 2. t = cos(x),
Lunds Tekniska Högskola Matematik Helsingborg Lösningar Analys, FMAA5 9-8-9. a) e sinx) cosx) dx e sinx) + C. b) 4x dx polynomdivision] x + x + x + dx x x + ] ln x + + ) ln) + ) ln) ln). c) Trigonometriska
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2012-10-17 DEL A 1. Visa att ekvationen x 3 12x + 1 = 0 har tre lösningar i intervallet 4 x 4. Motivera ordentligt! (4 p) Lösningsförslag. Vi skall
Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.
Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer
MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid:
HÖGSKOLAN I HALMSTAD Tentamensskrivning Akademin för informationsteknologi MA00 Envariabelanalys 6 p Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari 08 05-670 Skrivtid: 9.00-.00 Inga jälpmedel. Fyll i omslaget
SF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014
SF65 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den januari, 04 Skrivtid: 9:00-4:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra
M0038M Differentialkalkyl, Lekt 17, H15
M0038M Differentialkalkyl, Lekt 17, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 38 Repetition Lekt 16 Uppskatta (8.2) 1/3 genom att använda differentialer. Svara på bråkform.
SF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 24 oktober 2013 kl Svar och lösningsförslag. z 11. w 3. Lösning. De Moivres formel ger att
SF11 Perspektiv på matematik Tentamen 4 oktober 013 kl 14.00 19.00 Svar och lösningsförslag (1) Låt z = (cos π + i sin π ) och låt w = 1(cos π 3 + i sin π 3 ). Beräkna och markera talet z11 w 3 z 11 w
Lösningar till tentamen TEN1 i Envariabelanalys I (TNIU 22)
Krzysztof Marciniak, ITN Linköings universitet tfn 0-36 33 0 krzma@itn.liu.se Lösningar till tentamen TEN i Envariabelanalys I (TNIU ) för BI 0--4 kl. 08.00 3.00. Enligt den geometriska betydelsen av derivatan
x 1 1/ maximum
a), 1 1 Definitionsmängd: 1,1 En funktion kan ha lokal maximum eller lokal minimum endast i punkter x av följande tre typer: (i) stationära punkter (punkter där 0) (ii) ändpunkter till (endast de ändpunkter
Modul 1 Mål och Sammanfattning
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation
5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004
KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje
UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER
UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER 1. Figuren visar grafen till funktionen f där f(x) = x 3 3x 2. I punkter där xkoordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till
Ledtrå dår till lektionsuppgifter
Ledtrå dår till lektionsuppgifter Allmänna råd vid lösning av lektionsuppgifter: Försök inledningsvis att lösa uppgiften på egen hand, genom att omsätta innehållet i den tillhörande föreläsningen samt
ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson
ATT KUNNA TILL MA1203 Matte C 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson Sida 2 av 5 Att kunna till prov C1 Kunna kvadreringsreglerna! (...utan att titta i formelsamlingen) Kunna konjugatregeln! (...utan
Om exponentialfunktioner och logaritmer
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok Om exponentialfunktioner och logaritmer Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om exponentialfunktioner och logaritmer 1 (14) Introduktion