Föreläsning 6. SF1625 Envariabelanalys. Hans Thunberg, 9 november 2018

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Föreläsning 6. SF1625 Envariabelanalys. Hans Thunberg, 9 november 2018"

Gösta Hermansson
för 5 år sedan
Visningar:

1 Föreläsning 6 SF1625 Envariabelanalys 9 november 2018 SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F6 1 / 18

2 Dagens teman: Primitiva funktioner (Antiderivator) och differentialekvationer (2.10) Tillämpningar på sträcka, hastighet och acceleration (2.11) Inverterbara funktioner (3.1) SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F6 2 / 18

3 Primitiv funktion Definition Funktionen F är en primtitiv funktion (anti-derivata) till f om F (x) = f(x). Exempel F(x) = x 3 /3 är en primtiv funktion till f(x) = x 2 ty d dx x3 /3 = x 2 Exempel G(x) = tan x är en primtiv funktion till g(x) = 1/ cos 2 x ty d dx tan x = 1/ cos2 x. SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F6 3 / 18

4 Primitiv funktion Sats F och G är båda är primitiva funktioner till en och samma funktion f på ett intervall I F(x) = G(x) + C på I, C en konstant. Hur skulle man kunna bevisa detta? SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F6 4 / 18

5 Primitiv funktion Den obestämda integralen till f på ett intervall I f(x) dx = F(x) + C på I betecknar den allmänna primitva funktionen till f på I. SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F6 5 / 18

6 Primitiv funktion Uppgift Hitta på en uppgift till din bänkkamrat av formen Bestäm en primitiv funktion till F(x), och försök sedan lösa din bänkkamrats uppgift. SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F6 6 / 18

7 Diffekvationer och begynnelsevärdesproblem Ett problem av typen där vi söker en funktion y(x) sådan att y = f(x) y(x 0 ) = y 0 kallas ett begynnelsevärdesproblem. Den första ekvationen är en differentialekvation, den andra ett begynnelsevärde. Uppgift Bestäm funktionen y om f(x) = x, x 0 = 1 och y 0 = 4. SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F6 7 / 18

8 Sträcka, tid, hastighet och acceleration. Exempel En sten faller fritt under inverkan av gravitation i vaccum. Accelerationen är då g 9.81 [m/s 2 ]. Om y(t) [m] betecknar höjd över marken vid tid t [s], och om stenen vid t = 0 släpps ifrån vila på 100 meters höjd, bestäms y(t) av y = g y (0) = 0 y(0) = 100 SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F6 8 / 18

9 Inverterbara funktioner - inledande exempel Funktionerna k(x) = x + 1 och l(x) = x 1 har egenskapen att k(l(x) = x och l(k(x) = x för alla x, den ena funktionen ogör vad den andra gör. Uppgift 1) Hitta på ett annat par av funktioner med samma egenskap. 2) Om q(x) = x 2 finns det någon funktion p(x) sådan att q(p(x) = x och p(q(x) = x för alla x? I så fall, ange p(x), om inte förklara varför. SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F6 9 / 18

10 Inverterbara funktioner Definition En funktion f sägs vara inverterbar om det finns en annan funktion g med D(g) = R(f) sådan att g f(x) = x för alla x D(f) I så fall följer det också att f g(x) = x för alla x D(g). g kallas då den inversa funktionen till f och skrivs f 1. SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F6 10 / 18

11 Inverterbara funktioner Definition En funktion f sägs vara injektiv (ett-till-ett, eng. one-to-one) om x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ) Exempel k(x) = x + 1 är injektiv, ty x = x = x 1 = x 2. q(x) = x 2 är ej injektiv, t ex är q( 1) = q(1) Q(x) = x 2, D(Q) = [0, ) är injektiv. SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F6 11 / 18

12 Inverterbara funktioner Sats En funktion f är inverterbar om och endast om den är injektiv. Vi kan då definiera inversen f 1 genom f 1 (a) = b f(b) = a f 1 (a) är det tal som man skall ge som input i funktionen f för att få värde a SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F6 12 / 18

13 Inverterbara funktioner - exempel K(x) = x + c, D(f) = R = R(f) är inverterbar med invers K 1 (x) = x c. q(x) = x 2, D(g) = R är inte inverterbar ty ej injektiv. Q(x) = x 2, D(h) = [0, ), R(h) = [0, ) är inverterbar med invers Q 1 (x) = x. p(x) = x 2, D(p) = (, 0], R(p) = [0, ) är inverterbar med invers p 1 (x) = x. g(x) = 1/x, D(g) = (, 0) (0, ) = R(g) är sin egen invers, g 1 (x) = 1/x = g(x) SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F6 13 / 18

14 Inverterbara funktioner Sats En kontinuerlig funktion f är inverterbar på ett intervall I om och endast om f är strängt monton (strängt växande eller strängt avtagande) på intervallet I. Uppgift Hur kan man bevisa denna sats? SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F6 14 / 18

15 Inverterbara funktioner Exempel Funktionen g(x) = 1/x är inverterbar trots att den inte är monton på D(g). Det strider inte mot föregående sats eftersom D(g) inte är intervall. SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F6 15 / 18

16 Inverterbara funktioner - inversfunktionens graf Punkten (a, b) ligger på grafen y = f 1 (x) b = f 1 (a) a = f(b) Punkten (b, a) ligger på grafen y = f(x) Slutsats: Grafen till y = f 1 (x) fås genom att spegla grafen y = f(x) i linjen y = x. SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F6 16 / 18

17 Inverterbara funktioner - inversfunktionens graf SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F6 17 / 18

18 Formel för inversfunktionens derivata Om vi deriverar bägge led i f(f 1 (x)) = x fås m h a kedjeregeln f ( (f 1 (x) ) d dx f 1 (x) = 1 = d dx f 1 (x) = 1 f ((f 1 (x)) Exempel: h(x) = x 2, D(h) = [0, ) har invers h 1 (x) = x. d d x = dx dx h 1 (x) = 1 h ((h 1 (x)) = 1 h ( x ) = 1 2 x, eftersom h(t) = t 2 med derivata h (t) = 2t. SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F6 18 / 18

Relevanta dokument

Föreläsning 7. SF1625 Envariabelanalys. Hans Thunberg, 13 november 2018

Föreläsning 7. SF1625 Envariabelanalys. Hans Thunberg, 13 november 2018 Föreläsning 7 SF1625 Envariabelanalys 13 november 2018 SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 1 / 23 Dagens teman: exponentialfunktioner och logaritmer standardgränsvärden tillväxtproblem SF1625 CDEPR1,