SF1625 Envariabelanalys

Transkript

1 Modul 2: Derivata Institutionen för matematik KTH 8 september 2015

2 Derivata Innehåll om derivata (bokens kapitel 2). Definition vad begreppet derivata betyder Tolkning hur man kan tolka derivata Deriveringsregler hur man räknar ut derivata Derivatan av några vanliga funktioner Hur derivata förhåller sig till kontinuitet Högre ordningens derivator Medelvärdessatsen och hur man använder derivata

3 Definition Med derivatan av en funktion f i en punkt a, betecknad f (a), menar man gränsvärdet f (a + h) f (a) lim h 0 h under förutsättning att detta gränsvärde existerar. Om gränsvärdet inte existerar så är funktionen inte deriverbar. (Obs: Samma gränsvärde kan skrivas på en miljard olika sätt!)

4 Tolkning Om funktionen f är deriverbar i punkten a, så är f (a) ett mått på funktionens förändringstakt i punkten a. Tangenten till kurvan y = f (x) har då riktningskoefficient f (a) så tangentens ekvation blir y f (a) = f (a)(x a) där förstås a, f (a) och f (a) ska vara de tal som gäller för den funktion och punkt man jobbar med. Ex: f (x) = x 2 och a = 4. Tangent: y 16 = 8(x 4)

5 Linjär approximation Att tangenten approximerar funktionskurvan när x ligger nära punkten a kan då uttryckas som linjär approximation, eller linjarisering: när x ligger nära a. f (x) f (a) + f (a)(x a) I detta, och i tolkningen av derivata som funktionens förändringstakt, ligger att förändringen i funktionens värde är ungefär derivatan gånger förändringen i variabeln. Exempel: Om derivatan i en punkt är 3 så betyder det att om man flyttar variabeln ett litet stycke från punkten, så blir förändringen i funktionens värde ungefär 3 gånger variabelns förändring.

6 Olika skrivsätt Olika beteckningar för derivatan av f med avseende på variabeln x: f (x) df dx (Df )(x) Ibland används också beteckningen df dx för f (3) x=3 Om f beror på flera variabler skriver man ofta f x

7 En viktig sats Sats Om funktionen f är deriverbar i punkten a så är f automatiskt också kontinuerlig i a. Bevis: För h 0 gäller att f (a + h) f (a) = f (a + h) f (a) h och om f är deriverbar i a så går högerledet mot f (a) 0 = 0 när h 0. Dvs f (a + h) f (a) när h 0 vilket betyder att f är kontinuerlig i a. h

8 Ett viktigt exempel Exempel Funktionen f som ges av f (x) = x är kontinuerlig i alla x, men är inte deriverbar i punkten x = 0. På grafen syns detta i att den har en spets i origo. Kontinuerliga funktioner måste alltså inte vara deriverbara. (obs att f i exemplet ovan är deriverbar i alla punkter utom 0)

9 Deriveringsregler Om f och g är deriverbara så gäller d dx (f (x) ± g(x)) = f (x) ± g (x) d dx (f (x)g(x)) = f (x)g(x) + f (x)g (x) (produktregeln) d f (x) dx g(x) = f (x)g(x) f (x)g (x) (g(x)) 2 (kvotregeln) d dx f ((g(x)) = f (g(x))g (x) (kedjeregeln)

10 Lite tips Man måste lära sig de vanligaste funktionernas derivator och man måste bli ruggigt bra på att derivera med hjälp av deriveringsreglerna. Dessutom måste man kunna dra slutsatser av derivatan. Det gäller att öva mycket på detta! Man måste också kunna derivera implicit (står i bokens kap 2.9).

11 Växande och avtagande Vi ska nu definiera vad det betyder att en funktion är strängt växande respektive strängt avtagande. (Senare kommer vi ofta att använda derivata för att avgöra om en funktion är växande eller avtagande, men det är inte derivatan som används i definitionen av dessa begrepp.) Definition. En funktion sägs vara strängt växande i ett intervall I om för varje par av punkter x 1, x 2 I gäller att x 1 < x 2 = f (x 1 ) < f (x 2 ) Definition. En funktion sägs vara strängt avtagande i ett intervall I om för varje par av punkter x 1, x 2 I gäller att x 1 < x 2 = f (x 1 ) > f (x 2 )

12 Medelvärdessatsen Sats. Om f är kontinuerlig på [a, b] och deriverbar på (a, b) så finns en punkt c mellan a och b sådan att f (c) = f (b) f (a). b a Följdsats 1. Om f (x) > 0 för alla x i ett intervall I, så är f strängt växande i I. Följdsats 2. Om f (x) < 0 för alla x i ett intervall I, så är f strängt avtagande i I. Följdsats 3. Om f (x) = 0 för alla x i ett intervall I, så är f konstant i I.

13 Högre ordningens derivator Derivatan till en funktion f är en ny funktion f som ger information om hur f växer eller avtar. Om man deriverar derivatan får man en funktion f som talar om hur f växer eller avtar. Andraderivatan f skrivs också ibland d 2 f dx 2. Vanlig tolkning: om f (t) anger positionen vid tiden t så anger f (t) hastigheten och f (t) accelerationen. På samma sätt kan man derivera andraderivatan och få en tredjederivata. Osv. (Obs: Alla funktioner är förstås inte deriverbara...)

14 Användning av derivata Approximation. Linjarisering: f (x) f (a) + f (a)(x a) för x nära a. Tangent. Tangenten i punkten (a, f (a)) till y = f (x) har ekvation y = f (a) + f (a)(x a). Växande. Om f (x) > 0 för alla x i ett intervall I, så är f strängt växande i I. Avtagande. Om f (x) < 0 för alla x i ett intervall I, så är f strängt avtagande i I. Konstant. Om f (x) = 0 för alla x i ett intervall I, så är f konstant i I.

15 Program nu 1. Vanliga derivator. Vi måste ta fram derivator till de vanligaste och enklaste elementära funktionerna. 2. Deriveringsregler. Vi måste formulera och bevisa och bli bra på att använda deriveringsreglerna. 3. Användning. Med hjälp av punkt 1 och 2 ovan kan vi derivera alla elementära funktioner och använda derivatan för approximation, växande/avtagande osv.